3.4.11. Системы тороидальных и бисферических координат.

1. При вращении фигуры на рис. 3.31 вокруг оси окружности и образуют ортогональные семейства торов и сфер. Третья система координатных поверхностей рассматриваемой тороидальной системы координат состоит из полуплоскостей, проходящих через ось вращения. Примем оси соответственно за оси Уравнения координатных поверхностей

в прямоугольной и тороидальной системах имеют вид:

Координаты связаны с координатами х, у, z соотношениями

Все точки пространства пробегаются по одному разу, если изменение координат ограничить интервалами

Уравнение соответствует вырожденному тору — кругу с диаметром Этот же круг получится, если мы примем Внешность этого круга (плоскость, из которой вырезан рассматриваемый круг) выражается уравнениями

Квадрат элемента длины и локальные единицы равны

Положим Согласно формулам п. 3.4.2 имеем:

2. При вращении фигуры на рис. 3.31 вокруг оси окружности (а) и (б) образуют соответственно две сферы и ортогональные им тороидальные поверхности. Эти тороидальные поверхности отличаются от торов, полученных выше при вращении рис. 3.31 вокруг оси так как окружности семейства (б) пересекают ось вращения. Третья система координатных поверхностей бисферической системы координат состоит из полуплоскостей, проходящих через ось вращения. Отметим, что при определенных условиях сферы вырождаются в две точки играющие роль полюсов. Поэтому

бисферическая система координат называется также биполярной системой координат (в пространстве). Если принять соответственно за оси то уравнения координатных поверхностей в прямоугольной и бисферической системах имеют вид:

Координаты связаны соотношениями

Все точки пространства пробегаются по одному разу, если изменения координат ограничить, следующими интервалами:

Квадрат элемента длины и локальные единицы длины равны

Положим Согласно формулам п. 3.4.2 имеем: