6.1.10. Общий случай f(x,y,dy/dx)=0

Общего метода для решения такого уравнения не существует. Отметим два искусственных приема, которые могут оказаться полезными в некоторых случаях.

Дифференцирование. Рассмотрим уравнение Положим и продифференцируем по х. Тогда

Если мы сможем решить это дифференциальное уравнение, рассматривая здесь х как функцию то получим искомые интегральные кривые в параметрической форме

Отметим, что этим приемом решалось уравнение Лагранжа.

Преобразование Лежандра. Рассмотрим уравнение Положим

здесь новая функция, новая независимая переменная. Это преобразование называется преобразованием Лежандра. Получаем

Отсюда

Исходное уравнение переходит в уравнение которое часто оказывается проще заданного. Если его решение имеет вид

то переход к старым переменным осуществляется по формулам

Не следует преувеличивать значения искусственных приемов. Они редко удаются. В инженерной практике основным является метод численного решения дифференциального уравнения (см. гл. X).