8.5.8. Применение операционного исчисления к разложению в асимптотический ряд.

Рассмотрим функцию и ее изображение Между этими двумя функциями имеется соотношение

Предположим, что функция голоморфна в полуплоскости находящейся справа от вертикальной прямой с абсциссой за исключением некоторого числа особых точек, находящихся на вертикали с абсциссой

Пусть эти особые точки. Если они являются точками разветвления, то можно написать вблизи них

при

Если обозначает радиус сходимости рядов, входящих в (139), то следует предполагать условие

Если стремится к нулю при у, стремящемся к бесконечности по своим положительным или отрицательным значениям между двумя абсциссами таким образом, что интеграл сходится, то можно показать, что при

Формула (140) дает искомый асимптотический ряд.

Примечания. Коэффициенты не входят в окончательную формулу (140), кроме первого Если точка простой полюс, а не точка разветвления, в формуле (139) второй ряд исчезает, а коэффициент равен вычету, относящемуся к точке

Если все точки разветвления сводятся к единственной точке, находящейся в начале и вызванной наличием то

Отсюда получим асимптотический ряд

Эта формула была предложена Хевисайдом и называется иногда "третьим правилом Хевисайда".

Пример. Вернемся снова к примеру II. 8.3.23. Найдем асимптотический ряд функции изображением которой будет

В этом примере мы сначала находили оригинал функции (142) и из него выводили асимптотический ряд. Воспользуемся только что найденными результатами, чтобы получить этот ряд непосредственно. Можно написать

Отсюда

и

Получаем ряд