ГЛАВА I. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.1. КОМПЛЕКСНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

1.1.1. Определения.

Вещественное число можно изобразить графически. В самом деле, пусть (рис. 1. 1) — бесконечная прямая, на которой выбрано положительное направление. От точки О, принятой за начало, отложим в определенном масштабе отрезок, длина которого пропорциональна рассматриваемому вещественному числу. На рис. 1.1 отрезок представляет положительное число, а отрицательное. На прямой размещаются все вещественные числа: целые, дробные, алгебраические, трансцендентные, причем как положительные, так и отрицательные.

Рис. 1.1.

Понятие вещественного числа можно обобщить, если ввести в рассмотрение число z, образованное парой вещественных чисел х и у, взятых в определенном порядке. Такое число назовем комплексным. Временно будем записывать его в виде

Вещественные числа х и у составляют соответственно вещественную и мнимую части комплексного числа z. Часто используются обозначения

Комплексные числа также можно изобразить графически. Это изображение будет двухмерным на плоскости, образованной двумя взаимно перпендикулярными осями

Рис. 1.2.

Комплексное число на плоскости (рис. 1.2) представляется точкой с координатами х, у; эту точку называют также изображением комплексного числа. И обратно, пару чисел [х, у], образующих комплексное число z, называют аффиксом точки

Два комплексных числа и считаются равными, если совпадают изображающие их точки. Это означает, что равенство имеет место в том, и только в том случае, когда

Если изображение комплексного числа совпадает с началом координат, то его вещественная и мнимая части равны нулю. Такое комплексное число называют нулем. Следовательно, равенства равносильны.

Положительное число равное длине отрезка (рис. 1.2), называется модулем комплексного числа модуль z обычно обозначают Угол на который нужно повернуть ось в положительном направлении (против часовой стрелки) до совпадения с направлением называется аргументом комплексного числа z. Этот угол определяется с точностью до целого числа оборотов; углы также будут представлять собой аргументы может принимать все возможные целые значения: положительные, отрицательные и нуль).

Если заменить х на а у на то комплексное число можно написать в таком виде:

Вместо того чтобы изображать комплексное число точкой мы можем представить его отрезком . И обратно, отрезок изображает комплексное число [х, у].