8.3.23. Замечания о применении формулы обращения.

Мы доказали с помощью преобразования Лапласа формулу (56):

Эта формула, где -вещественное число, была доказана для случая, когда Если интеграл Лапласа не сходится. Докажем теперь формулу (56), применяя теорему обращения.

Рассмотрим сначала случай, когда Функция многозначна в плоскости и нетрудно заметить, что в интересующем нас случае контур Бромвича эквивалентен контуру С на рис. 7.12. При этом достаточно заменить z на в формуле (10) п. 7.4.5, чтобы получить искомое выражение (56).

Здесь следует сделать одно существенное замечание. Функция имеет в начале координат точку разветвления. Формулу (56) можно получить из теоремы обращения, если из всех ветвей функции ограничиться рассмотрением только первой ветви. Если выбрать вторую ветвь, то вместо правой части формулы (56) мы получим выражение

К многозначным функциям, имеющим точку разветвления, теорему обращения следует применять, пользуясь только первой ветвью, т. е. такой, для которой

Это замечание будет учтено в дальнейшем.

Рассмотрим теперь случай, когда Достаточно приравнять обозначив через целое число, а через такое число, чтобы

Интегрируя по частям, получаем

и т. д., повторяя раз это интегрирование по частям, имеем

Отсюда и получается искомая формула (56).

Итак, мы нашли формулу (56), применяя теорему обращения в случае, когда т. е. при тех же условиях, что и применяя преобразование Лапласа. Было бы желательно распространить формулу (56) на случай, когда Действительно, если не целое отрицательное число, обе части формулы имеют смысл. Однако интегралы Лапласа и Меллина — Фурье не сходятся. Тем не менее можно применить интеграл, аналогичный интегралу Меллина — Фурье, пользуясь вместо контура Бромвича контуром, изображенным на рис. 7.12, что приведет к сходящемуся интегралу. Формула (10) п. 7.4.5 позволяет тогда написать, считая

но при соотношении

Итак, мы обобщили формулу - (56) для всех значений пользуясь то контуром Бромвича, то контуром С, так как оба они эквивалентны

в области Нужно заметить, что основное свойство операционного равенства заключается в том, что некоторые преобразования одной функции отражаются известным образом на другой функции, и наоборот. Переход от фуйкций к функциям и обратно не обязательно ограничивается формулами преобразования Лапласа — Карсона или Меллина — Фурье. Поясним это примером, так как развитие теории вышло бы за рамки настоящей книги. Контур, который можно свести к контуру С в случае, когда имеется только одна особая точка в начале координат, был предложен Лоури. Этот контур соединяет и охватывает особые точки функции.

Пример. Требуется найти функцию оригинал для

Применяем теорему обращения.

Особые точки подынтегральной функции — это

1) точка разветвления при ;

2) полюсы при значениях обращающих в нуль

Мы должны провести разрез от до чтобы сделать функцию однозначной в плоскости

Если придать значение то мы будем иметь два значения для Одно соответствует значению аргумента заключенному между — второе — значению аргумента заключенному между

Рис. 8.15.

Полюсы определяются значениями являющимися корнями уравнения т.е. такими значениями аргументы которых соответственно равны

Для первой ветви следует рассматривать только два первых значения. В случае второй ветви следует оставить только третье значение.

Мы уже видели, что при нахождении оригинала с помощью теоремы обращения следует оставлять только такое значение аргумент которого заключен между — Поэтому нам нужно исследовать только два полюса:

Контур, эквивалентный контуру Бромвича, будет, следовательно, таким, как изображено на рис. 8.15, так как вклад бесконечной полуокружности, находящейся слева, равен нулю.

Легко заметить, что вклад малой окружности с центром в начале координат равен нулю. Действительно, положим, что Тогда интеграл

стремится к нулю вместе с Поэтому искомый интеграл будет состоять из вычетов, относящихся к обоим полюсам, и интегралов вдоль верхнего и нижнего края разреза.

1. Вычеты. В полюсе вычет равен

Точно так же вычет в полюсе равен Отсюда сумма вычетов равна

2. Интеграл вдоль нижнего края разреза, если считать равен

Вдоль верхнего края разреза, если считать интеграл равен

Отсюда в сумме получаем

и в результате

В случае численного вычисления может оказаться интересным разложить последний интеграл в асимптотический ряд. Напишем для этого

Если обратиться к определению факториальной функции, данному в формуле (3) п. 7.4.1, и подставить в искомый интеграл, то мы получим разложение в ряд, общий член которого равен

Остается показать, что этот ряд асимптотичен, т. е. что стремится к нулю, когда постоянно, стремится к бесконечности. Имеем

Значит, ряд действительно асимптотичен.