Глава 10. ПОЛНЫЙ ДВОИЧНЫЙ КОД

10.1. Распределение корреляционных функций

Полный код с основанием манипуляции назовем полным двоичным кодом. Хотя он является частным случаем полного произвольного кода с и для него будут справедливы все результаты гл. 9 (при отдельное исследование такого кода имеет большое значение по следующим причинам. Во-первых, многие применяемые системы сигналов являются двоичными — они позволяют широко использовать цифровую технику для формирования и обработки. Во-вторых, для полного двоичного кода получены некоторые дополнительные результаты, которые для в настоящее время не получены.

Исследование некоторых свойств полного кода можно найти в работах [37, 85, 110, 111, 121, 138, 160, 205, 229]. Интересные закономерности двоичных систем сигналов, близкие к свойствам полного кода, отмечены в работах [141, 142].

Периодические корреляционные функции. Положим, что двоичный алфавит является мультипликативной двоичной группой, т. е. состоит из символов 1 и — 1. Поэтому символы кодовых последовательностей равны 1 или — 1. Периодическая КФ, как было отмечено в гл. 9, содержит постоянное число слагаемых в своей сумме. Пусть оно равно Произведение при любых равно или 1, или — 1. Вес кодовой последовательности (9.30) в таком случае равен разности между суммой 1 и суммой — число 1 в

сумме (9.30) равно а число — 1 равно так как всего слагаемых в В результате вес

причем Если то если то Шаг изменения веса равен 2. В соответствии с если она содержит слагаемых, выражается следующим образом:

Число кодовых последовательностей, имеющих данный вес, т. е. заданное число 1, находится как число сочетаний из элементов по и равно Из (10.1) имеем равенство Общее число кодовых последовательностей согласно (8.2) равно Вероятность появления кодовой последовательности с данным весом, т. е. с заданным значением КФ, равна [110]

Распределение (10.3) является биномиальным. Следует учитывать только, что вес изменяется с шагом, равным 2. Так как КФ и вес связаны соотношением (10.2), то распределение (10.3) однозначно определяет распределение КФ.

Апериодические корреляционные функции. Распределение апериодических КФ можно найти, используя распределение (10.3). Апериодические КФ содержат число слагаемых где X — сдвиг. Заменяя на находим число появлений данного веса при произвольном периоде

причем

При распределение весов (10.4) совпадает с (10.3). Перейдем к следующему значению При такой длине объем полного кода равен но число последовательностей остается равным Это приводит к тому, что каждая последовательность повторяется дважды. В результате каждый вес при встречается вдвое чаще, чем согласно формуле (10.4). При объем полученного полного кода равен и в результате каждый вес встречается в раза чаще, чем согласно формуле (10.4). Например, при матрица имеет следующий вид:

Здесь каждый столбец встречается один раз. Если отбросить верхнюю или нижнюю строку, что эквивалентно то в оставшейся матрице каждый столбец встретится дважды. Если отбросить две строки или сверху, или снизу, то в оставшейся матрице каждый столбец встретится в четыре раза чаще по сравнению с первоначальной матрицей и т. д.

Помимо увеличения числа появления данного веса, с уменьшением следует учитывать также, что при имеет два значения: одно при а другое при Хотя конкретные значения могут быть различными, получаемые при этом полные коды с одинаковы. В результате необходимо удвоить число появлений заданного веса. Таким образом, в общем случае, если и то величину (10.4) необходимо умножить на

Далее поступим следующим образом. Умножим значения на соответствующий множитель и просуммируем те значения которых вес одинаков. Поскольку, общее число слагаемых равно то, разделив полученную сумму на этот нормирующий множитель, получим вероятность появления данного веса в апериодической КФ. Для большей наглядности в табл. 10.1 приведены значения соответствующих биномиальных коэффициентов и их множители.

После умножения каждого биномиального коэффициента на соответствующий множитель суммирование необходимо производить по столбцам, а полученные суммы разделить на Структура табл. 10.1 такова, что ее можно достаточно просто построить и рассчитать. Например, в табл. 10.2 приведены результаты для

На рис. 10.1, а вертикальными линиями показано распределение вероятностей приведенное в табл. 10.2 в последней строке. На рис. 10.1, б вертикальными линиями представлено распределение весов, близких к в более крупном масштабе. Кривые рис. 10.1, изображают нормальный закон распределения

с дисперсией Такая дисперсия веса кодовой последовательности соответствует дисперсии апериодической Из рис. 10.1 видно, что наибольшие отклонения распределения вероятностей от нормального закона имеют место в центре и на краях. Хотя такими отклонениями в некоторых случаях пренебрегать нельзя, но в большинстве случаев можно считать распределение весов нормальным с плотностью вероятности (10.6). Переходя от весов к значениям КФ, получаем

(см. скан)

Формула (10.7) позволяет достаточно просто учитывать боковые пики КФ при расчете характеристик СПИ со сложными сигналами.

Значения вероятностей можно записать в аналитическом виде, используя табл. 10.1. Например, для четного вес встречается

раз, а для веса имеем

Рис. 10.1

Аналогично можно получить аналитические представления и для других