§ 17. ПОТЕНЦИАЛ ПРОСТРАНСТВЕННО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЗАРЯДОВ

Потенциал точечного заряда помещенного в начале координат, согласно (3.9), равен

Убедимся, что это решение можно использовать для нахождения потенциала пространственно распределенных зарядов. С этой целью представим с помощью -функции плотность произвольно распределенного заряда в виде

и подставим в уравнение Пуассона (16.3):

С другой стороны, из (3.9)

поэтому (17.1) можно переписать:

Следовательно, решение уравнения Пуассона (16.3) во всем пространстве имеет вид

где некоторое решение уравнения Лапласа. По своему физическому смыслу потенциал должен задаваться распределением бесконечно удаленных зарядов, не входящих в Поэтому если считать, что в плотности учтен вклад всех имеющихся зарядов, в том числе и находящихся в бесконечности, то можно положить и

Такой выбор согласуется и с законом Кулона (3.3), который не противоречит (17.3) только при условии

(см. скан)

В физических приложениях часто приходится искать решение уравнения Пуассона в некоторой области V, ограниченной замкнутой поверхностью В этом случае по аналогии с (17.3) положим

Как видно, (17.5) является решением уравнения Пуассона и удовлетворяет заданным граничным условиям на если удовлетворяет уравнению Лапласа и определенным граничным условиям на В итоге задача сводится к решению уравнения Лапласа в области V при некоторых граничных условиях на

Как мы убедимся позже, в физических задачах могут встречаться три типа граничных условий:

1) на задан потенциал (задача Дирихле);

2) на задана нормальная составляющая поля (задача Неймана);

3) на одной части задан потенциал а на другой ее части — нормальная составляющая поля (смешанная граничная задача).

Покажем, что в любом случае эти условия определяют напряженность поля однозначно. В самом деле, если это не так и существует два разных решения уравнения Лапласа то их разность также удовлетворяет уравнению причем на либо либо Поэтому если применить теорему Гаусса — Остроградского к вектору для которого то

что возможно только при Доказанная теорема единственности очень важна, так как вызывает уверенность в правильности найденных частных решений, если они удовлетворяют граничным условиям.