§ 82. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
По аналогии с введением трехмерных скалярного 
и векторного А потенциалов электромагнитного поля, для решения системы уравнений Максвелла в четырехмерной форме удобно ввести четырехмерный векторный потенциал А электромагнитного поля, положив
Нетрудно видеть, что уравнение (82.1) является ковариантной записью соответствующих трехмерных уравнений 
если считать, что 4-потенциал А имеет компоненты
Заметим, что подстановкой (82.1) автоматически удовлетворяется вторая группа уравнений Максвелла. В самом деле,
как свертка антисимметричного тензора с симметричными тензорами 
Обратим внимание на то, что соотношением 
-потенциал А определен неоднозначно, а именно: новый 4-потенциал с компонентами
отличающийся от старого на 4-градиент произвольного скаляра 
тоже удовлетворяет (82.1), поскольку
Это свойство 4-потенциала является выражением градиентной, или калибровочной, инвариантности электромагнитного поля
Чтобы уменьшить произвольность выбора 4-потенциала, на него можно наложить некоторое дополнительное условие. Если считать это условие линейным и лоренц-ковариантным, то оно определяется однозначно и известно как условие Лоренца
Очевидно, ему всегда можно удовлетворить, совершив калибровочное преобразование (82.3) с подходящей скалярной функцией 
В самом деле, подстановка (82.3) в (82.4) дает
т. е. скаляр 
удовлетворяет неоднородному уравнению Даламбера, решение которого задается с точностью до произвольного решения 
свободного уравнения Даламбера 
Таким образом, даже при наложенном условии Лоренца 
-потенциал А остается определенным с точностью до 4-градиента 
где 
-скалярное решение уравнения Даламбера.
Перепишем теперь в терминах 4 - потенциала первую группу уравнений Максвелла в вакууме. Подставляя (82.1) в (79.2), имеем
или с учетом условия Лоренца (82.4)
Очевидно, что уравнения (82.5) являются ковариантной записью трехмерных уравнений (41.8) для потенциалов электромагнитного поля:
(см. скан)
