§ 82. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

По аналогии с введением трехмерных скалярного и векторного А потенциалов электромагнитного поля, для решения системы уравнений Максвелла в четырехмерной форме удобно ввести четырехмерный векторный потенциал А электромагнитного поля, положив

Нетрудно видеть, что уравнение (82.1) является ковариантной записью соответствующих трехмерных уравнений если считать, что 4-потенциал А имеет компоненты

Заметим, что подстановкой (82.1) автоматически удовлетворяется вторая группа уравнений Максвелла. В самом деле,

как свертка антисимметричного тензора с симметричными тензорами

Обратим внимание на то, что соотношением -потенциал А определен неоднозначно, а именно: новый 4-потенциал с компонентами

отличающийся от старого на 4-градиент произвольного скаляра тоже удовлетворяет (82.1), поскольку

Это свойство 4-потенциала является выражением градиентной, или калибровочной, инвариантности электромагнитного поля

Чтобы уменьшить произвольность выбора 4-потенциала, на него можно наложить некоторое дополнительное условие. Если считать это условие линейным и лоренц-ковариантным, то оно определяется однозначно и известно как условие Лоренца

Очевидно, ему всегда можно удовлетворить, совершив калибровочное преобразование (82.3) с подходящей скалярной функцией В самом деле, подстановка (82.3) в (82.4) дает

т. е. скаляр удовлетворяет неоднородному уравнению Даламбера, решение которого задается с точностью до произвольного решения свободного уравнения Даламбера Таким образом, даже при наложенном условии Лоренца -потенциал А остается определенным с точностью до 4-градиента где -скалярное решение уравнения Даламбера.

Перепишем теперь в терминах 4 - потенциала первую группу уравнений Максвелла в вакууме. Подставляя (82.1) в (79.2), имеем

или с учетом условия Лоренца (82.4)

Очевидно, что уравнения (82.5) являются ковариантной записью трехмерных уравнений (41.8) для потенциалов электромагнитного поля:

(см. скан)

(см. скан)