§ 81. ИНВАРИАНТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Во многих приложениях неоценимую пользу может оказать знание инвариантных комбинаций, составленных из компонент электромагнитного поля. Можно указать две такие инвариантные комбинации

в которых для удобства выбраны числовые коэффициенты и . Воспользовавшись матричными представлениями (79.3) и (79.5) для тензоров и электромагнитного поля, инварианты (81.1) можно выразить через и В:

Отметим, что, согласно (81.1), только является истинным скаляром, тогда как является псевдоскаляром, т. е. изменяет знак при пространственном отражении.

(см. скан)

Из существования инвариантов (81.2) можно вывести ряд полезных свойств электромагнитного поля. Например, из явного вида следует, что с помощью преобразования Лоренца нельзя перевести чисто магнитное поле в чисто электрическое, и наоборот. Это связано с тем, что инвариант изменил бы при этом знак, что невозможно. Далее, из явного вида инварианта вытекает, что если векторы ортогональны в некоторой системе отсчета, т. е. то и в любой другой системе отсчета они будут оставаться ортогональными. Таким образом, свойство ортогональности векторов является инвариантным относительно преобразований Лоренца.

Интересной особенностью обладает плоская электромагнитная волна. Так как для нее и то Поэтому в любой инерциальной системе отсчета плоская электромагнитная волна остается плоской волной.

(см. скан)

Существует и другой способ вывода инвариантов (81.2), основанный на использовании формул преобразования электромагнитного поля (80.3) и позволяющий просто установить отсутствие других инвариантов, кроме и Именно: применим формулы (80.3) к комплексному вектору

впервые введенному английским физиком Зилъберштейном в 1907 г. Тогда для преобразованного вектора X найдем

Воспользуемся теперь комплексным представлением (72.9) для гиперболического поворота, положив

Тогда формулы (81.4) примут вид

Нетрудно видеть, что преобразование (81.5) представляет собой трехмерный поворот вокруг направления у, при котором, как известно, квадрат вектора остается неизменным, т. е.

или

Разделяя в (81.6) действительную и мнимую части, убеждаемся, что существуют только два независимых инварианта (81.2) электромагнитного поля.