§ 35. СИСТЕМА ИДЕАЛЬНЫХ ПРОВОДНИКОВ В СРЕДЕ С МАЛОЙ ПРОВОДИМОСТЬЮ

Рассмотрим систему хороших проводников-электродов с удельной проводимостью погруженных в плохо проводящую среду с удельной проводимостью В этом случае определение потенциала в проводящей среде сводится к основной задаче электростатики. В самом деле, поверхностная плотность заряда на электродах [см. (34.21)] равна

как и в электростатике. Кроме того, токи стекающие с электродов, обычно бывают известны, поэтому плотность тока является ограниченной величиной, порядок которой где площадь поверхности электрода. Отсюда следует, что внутри электродов напряженность поля оказывается исчезающе малой, т. е.

и потенциал можно считать постоянным:

При этом силы токов стекающих с электродов, зависят от напряженности поля в окружающей среде:

Таким образом, задача нахождения потенциала в проводящей среде сводится к решению уравнения с

граничными условиями (35.1) — (35.3). Но в § 22 для этой задачи была доказана теорема единственности, по которой потенциал однозначно определяется либо заданием потенциалов электродов либо заданием стекающих с них токов В связи с этим ясно, что между силами токов и потенциалами должна существовать линейная связь, аналогичная связи зарядов и потенциалов в электростатике:

Коэффициенты определяемые геометрией электродов и удельной проводимостью среды называются коэффициентами сопротивления.

(см. скан)

Если среда однородна и изотропна, т. е. ее электропроводимость а и диэлектрическая проницаемость в постоянны, то сила стекающего с электрода тока может быть выражена через заряд электрода:

Подставляя (35.7) в (35.4), находим

Сравнение (35.8) с (24.3) показывает, что коэффициенты сопротивления для однородной среды оказываются пропорциональными потенциальным коэффициентам

Рассмотрим теперь важный случай двух проводников-электродов. Задавая силу токов мы предполагаем, что

Рис. 35.1

Рис. 35.2

проводники имеют «стоки» (рис. 35.1). Используя соотношение (35.4), нетрудно найти, что в данном случае

что по форме совпадает с законом Ома. Введенная здесь величина

называется полным сопротивлением системы двух электродов. Нетрудно видеть, что в однородной среде сопротивление системы [см. (35.9)] обратно пропорционально ее емкости:

Если электроды 1 и 2 заземлены и поверхность земли является плоскостью симметрии системы (рис. 35.2), то вместо (35.12) имеем

В заключение подсчитаем тепловую мощность, выделяемую в проводящей среде при наличии системы идеальных проводников-электродов. Если проводящая среда занимает область V, то выделяемая тепловая мощность (14.4) равна

Делая подстановку и интегрируя (34.14) по частям, находим с учетом уравнения и граничного условия (35.2)

Полученная квадратичная форма должна быть положительна, откуда вытекают полезные ограничения на коэффициенты т. е.

а также еще одно важное представление этих коэффициентов:

(см. скан)