§ 112°. Уравнение моментов

Подведем первые итоги рассмотрения вращательных движений и найдем основной закон динамики этих движений. В § 110 было показано, что угловое ускорение прямо пропорционально моменту действующих сил: . В § 111 было найдено, что угловое ускорение обратно пропорционально моменту инерции тела:

Опыты, о которых рассказывалось в § 109, показали, что угловые ускорения больше ни от чего не зависят. Поэтому эти пропорциональности можно объединить и быть уверенным, что они вместе выражают основной закон вращательных движений:

угловые ускорения прямо пропорциональны моментам сил и обратно пропорциональны моменту инерции тела:

Если провести необходимое согласование единиц физических величин, т. е. взять их в одной системе, то эта пропорциональность может быть записана в виде равенства:

Для решения практических задач эту формулу удобнее записать в следующем виде:

Это уравнение является основным законом динамики вращательных движений и называется уравнением моментов.

К отысканию уравнения моментов можно подойти и другим путем: Для примера рассмотрим простейший случай. Пусть точка массы движется по окружности вокруг оси О, перпендикулярной листу бумаги, так, как показано на рис. 6.10. Расстояние точки от оси вращения На точку действует сила перпендикулярная радиус-вектору и лежащая в плоскости листа.

Движение точки можно рассматривать по-разному. Можно считать, что радиус-вектор точки вместе с ней совершает вращение вокруг оси О. Но можно также просто рассматривать поступательное ускоренное движение самой точки по окружности радиуса . В первом случае для расчета нужно применять уравнение моментов. Во втором — применять закон Ньютона для расчета тангенциального ускорения. Следовательно, между этими законами должна существовать связь, и можно путем расчета перейти от одного из них к другому.

Будем рассматривать движение точки по окружности. Тогда уравнение второго закона Ньютона запишется в следующем виде:

Для перехода к уравнению моментов умножим обе части этого уравнения на

Сразу заметим, что равно моменту силы относительно оси .

Рис. 6.10.

В § 108 было показано, что где — угловое ускорение точки во вращательном движении. Подставляя значение в уравнение моментов, найдем:

Но как было показано раньше, равно моменту инерции точки относительно оси Используя это, окончательно получаем уравнение моментов для вращательного движения точки:

Такой расчет можно провести в общем виде. Он подтверждает правильность найденного нами из опытов выражения для уравнения моментов и указывает на особенности связей между описанием поступательных и вращательных движений.

Уравнение моментов для вращательных движений играет такую же роль, как и второй закон Ньютона для поступательных Движений. Порядок действий при применении этого уравнения такой же, как и при применении законов Ньютона.

Напомним, что в системе СИ моменты сил выражаются в моменты инерции — в и угловые ускорения — в В системе СГС моменты сил выражаются в моменты инерции — в и угловые ускорения — в