§ 114°. Примеры применения уравнения моментов

Рассмотрим несколько примеров применения уравнения моментов для расчета движения тел.

Пример 1. Маховое колесо некоторой машины имеет радиус и массу (рис. 6.12). Маховик вращается, делая 120 оборотов в минуту. При окончании работы маховик тормозится колодками, которые действуют на обод маховика с силой Определить, через какое время после начала торможения остановится маховик.

Для простоты будем считать, что вся масса маховика сосредоточена на ободе и кроме колодок ничто не мешает его движению. Маховик совершает вращательное движение. Его начальная угловая скорость равна где число оборотов в секунду. Сила действия колодок создает момент силы тормозящий движение этого маховика.

Вращательное движение маховика будет замедляться.

Рис. 291.8.

Для решения задачи нужно применять уравнение моментов. Условимся считать направление вращения маховика положительным. Тогда момент силы, создаваемой колодками, будет отрицательным. Уравнение вращательного движения маховика будет иметь вид

где момент инерции маховика, его угловое ускорение. Так как по условию задачи вся масса маховика сосредоточена на ободе, то его момент инерции равен

Используя эти два уравнения, найдем, что угловое ускорение маховика отрицательно и равно

По условию ускорение постоянно. Поэтому вращение маховика будет равнозамедленным, и его угловую скорость можно вычислить из уравнения

Также по условию конечная скорость маховика должна быть равна нулю: Поэтому, зная угловое ускорение можно найти полное время, необходимое для остановки машины. Уравнения для момента остановки примут вид

отсюда

Как мы видим, общий порядок рассуждений и действий оказывается точно таким же, как и при применении законов Ньютона к расчету поступательного движения. Сначала анализируется характер возможных движений. Затем находится момент силы, действующей на тело. После этого уговариваются о положительных и отрицательных направлениях. Записывается уравнение моментов. Находятся необходимые дополнительные уравнения. И, наконец, делается алгебраический расчет и переход к кинематической части задачи.

Пример 2. На блок радиуса и массы намотана нить (рис. 6.13). К концу нити привязан груз массы Вначале система неподвижна Определить, какую скорость будет иметь груз через время считая, что вся масса блока сосредоточена на его ободе.

И груз, и блок совершают ускоренное движение без начальной скорости.

Рис. 6.13.

Блок раскручивается под действием момента силы натяжения нити а груз совершает прямолинейное ускоренное движение по вертикали. Придется применять уравнение моментов для движения блока и уравнение второго закона Ньютона для движения груза При этом оба движения будут связаны друг с другом.

Условимся считать положительными направление движения груза вниз, а вращение блока — по часовой стрелке. На груз действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити Эти силы сообщают грузу ускорение а, направленное вниз. Уравнение поступательного движения груза имеет вид:

Под действием момента силы натяжения блок приобретает угловое ускорение Уравнение вращательного движения блока имеет вид

Так как по условию задачи вся масса блока сосредоточена на его ободе, то момент инерции этого блока Подставляя это значение момента инерции, получим следующую систему уравнений:

Уравнений два, неизвестных три система не решается. Но из кинематики мы знаем, что тангенциальное ускорение точки, которая участвует во вращательном движении, равно Тангенциальное ускорение точки обода А равно ускорению движения груза: Поэтому к двум уравнениям динамики мы можем добавить уравнение кинематической связи:

Теперь система полная. Можно рассчитать ускорение груза, угловое ускорение блока и силу натяжения нити. Расчет дает:

Итак, мы смогли, применяя законы Ньютона и уравнение моментов, рассчитать все ускорения в движениях тел. Теперь для получения окончательного ответа остается решить чисто кинематическую

задачу: зная, что тело имело начальную скорость и ускорение а, определить время за которое оно пройдет путь

Тело, движущееся равноускоренно без начальной скорости, подчиняется закону:

Отсюда время прохождения телом заданного расстояния равно:

Используя ранее найденное значение а, получаем, что

Таким образом, на этих двух примерах мы убедились в том, что:

1) использование уравнения Моментов и законов Ньютона позволяет решить любую задачу; к этим законам нужно только добавлять уравнения кинематических связей и уравнения, выражающие особые свойства сил, действующих между телами;

2) общий порядок действий при применении законов Ньютона и уравнения моментов совершенно одинаков; в обоих случаях очень важно уметь увидеть все действующие силы, определить характер возможных движений, правильно учесть все связи между движениями различных тел.