2. МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ

(Следует читать после гл. 2)

Различные функции, которые были введены во второй главе и которые использовались во всем дальнейшем изложении, могут быть рассмотрены весьма общим способом, если определить понятие множества. Множество (как следует и из названия) есть набор объектов; его можно определить двумя способами. Один способ состоит в перечислении всех элементов, являющихся членами набора. Другой же способ состоит в введении правила, с помощью которого можно определять, является ли данный элемент членом множества. Например, рассмотрим множество пьес, написанных Шекспиром. Для определения множества первым способом следует перечислить все пьесы Шекспира. Для определения же вторым способом можно ввести следующее правило: членами множества являются все пьесы, написанные человеком, известным как Бард Эйвона.

Понятие точно определенного набора объектов оказывается чрезвычайно полезным. Множества, содержащие конечное число элементов, всегда можно определить простым перечислением их членов. Однако если элементов бесконечное число, т. е. их нельзя все перечислить, приходится вводить определенное правило. В качестве примера можно назвать множество всех целых положительных чисел. Это множество хорошо определено, хотя перечислить все его элементы 1, 2, 3, 4, 5, ... невозможно.

Предположим, что имеются два множества, обозначенные символами X и причем элементами первого множества являются а второго — Мы никак не уточняем смысл этих элементов; мы только называем их и вводим различие между ними, а также умеем определять, является ли какой-то элемент членом того или иного множества. (Вероятно, поэтому иногда говорят, что математики сами не знают, о чем они пишут.) Тогда мы говорим, что функция (или у есть функция определена на множестве X, если существует правило, связывающее элементы множества с элементами множества X. Множество X называется областью существования функции, а множество ее значений — областью значений функции. Функцию теперь можно трактовать по-разному: мы можем считать, что она переводит элементы множества X в элементы множества У, либо что функция просто связывает элементы X с элементами

Если множества X и содержат одинаковое число элементов и если каждый элемент из X связан только с одним элементом из и наоборот, то функцию можно рассматривать как соответствие между теми элементами из X и Y, которые эта функция связывает; такая зависимость называется взаимно-однозначным соответствием между множеством X и множеством У. Рассмотрим, например, в качестве множества X всех мужей, а в качестве множества всех жен в каком-то районе земного шара. Для моногамного общества существует однозначная функция, связывающая каждого мужа с определенной женой. Для общества же, где распространена полигамия, функция, связывающая мужей и жен, уже не будет однозначной, так как в таком обществе мужья предпочитают иметь по нескольку жен.

ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

Среди математических функций ведущую роль играют функции, областями существования и значений которых являются числа. Таких функций бесчисленное множество. Представьте хорошо отрегулированный гоночный автомобиль «Феррари», проезжающий мимо пункта на автостраде, который мы принимаем за нуль отсчета. Если теперь измерять расстояния от этого пункта до автомобиля через каждую секунду или несколько секунд, то мы получим две колонки цифр (как, например, в табл. в одной из которых записаны отсчеты времени, а в другой — расстояния. Времена можно считать элементами множества X, а расстояния — элементами множества оба эти множества числовые, и у нас есть правило, связывающее элементы множеств X и Можно также сказать, что расстояние есть функция времени. Отметим, что это утверждение является совершенно произвольным. Если бы автомобиль ехал быстрее, расстояние было бы другой функцией времени; если бы он стоял на месте — третьей функцией и т. д. Иными словами, при отсутствии какой-либо дополнительной информации можно лишь утверждать, что расстояние является абсолютно произвольной функцией времени. Нас как математиков такое положение не должно беспокоить. Мы можем спокойно утверждать, что полученная выше функциональная зависимость является одной из бесчисленного количества возможных зависимостей.

Таблица 12

Если, однако, эта зависимость описывает физический процесс (расстояние, время), то оказываются возможными не любые функции. Мы знаем, например, что даже на лучшем бензине автомобиль не сможет пройти 30 км за 1 с. Но это ограничение отражает свойства физического мира (которые нас как физиков и интересуют).

В приведенной выше таблице мы дали конкретную иллюстрацию функциональной зависимости. Иногда поступают именно так. Но существует и другой способ, имеющий перед перв! такое же преимущество, как любая картинка перед словами, и состоящий в том, что время отмечается вдоль горизонтальной линии, расстояние — вдоль вертикальной, а функцию изображают в виде линии; такой способ представления называется графическим (фиг. 391).

Фиг. 391.

Строго говоря, нашим измерениям отвечают лишь те точки, которые соответствуют на графике парам чисел (время, расстояние), взятым из таблицы. Однако мы проводим через эти точки гладкую линию, предполагая, что в промежутке между второй и, скажем, третьей секундами расстояние принимало значения в интервале от 120 до 180 м. Конечно, мы можем при этом и ошибиться. Однако нам кажется, что, если мы получим достаточное число точек, нам удастся соединить их непрерывной кривой, в данном случае прямой. Конечно, это возможно не всегда, но разговор на языке функций подразумевает выполнимость такой процедуры. Позже мы встретимся с трудностями, связанными с этим.

Отметим также, что, проведя прямую через опытные точки, мы тем самым связали бесчисленное множество значений времени с бесчисленным количеством значений расстояния. Все эти данные невозможно представить в виде таблицы. Поэтому требуется ввести определенное правило, с помощью которого можно было бы для любого значения времени находить соответствующее значение расстояния. В данном случае такое правило имеет следующий вид:

Это правило можно также представить в чрезвычайно содержательной, но краткой символической форме:

где единицы измерений — метры и секунды — подразумеваются, но явно не пишутся. Это соотношение называется линейной функцией, так как его график представляет собой прямую линию.

Наиболее общий вид уравнения, графиком которого является прямая линия, следующий:

это уравнение означает, что расстояние как функция времени равно произведению а на время плюс где — постоянные числа. Для рассмотренного выше примера

Фиг. 392.

Для выяснения смысла величин начертим график линейной функции (фиг. 392). Когда значение времени равно нулю,

т. е. b есть точка, в которой прямая пересекает прямую линию (ось) расстояний, иными словами, равно расстоянию при поэтому эту величину можно обозначить через чтобы ее смысл был более наглядным. Остается определить лишь угол, который составляет прямая с прямой линией (осью) времени. Этот угол связан с величиной а, которая равна скорости (величине скорости), поэтому а удобно обозначить через V.

Фиг. 393.

В результате общее линейное уравнение можно представить в виде

Смысл этого уравнения таков: величина пройденного пути есть линейная функция времени, причем постоянная скорость равна а расстояние при равно

Ясно, что такая функция является весьма частным случаем функций. Существует бесчисленное количество нелинейных функций (соответствующих всем кривым, какие только можно нарисовать). Если тот же «Феррари» трогается с места с постоянным ускорением (для него это нетрудно), то связь между пройденным им расстоянием и временем будет иметь следующий вид (фиг. 393):

В таком случае говорят, что расстояние есть квадратичная функция

времени (функция времени в квадрате). График этой функции — парабола.

В школьном курсе алгебры в основном изучают линейные и квадратные уравнения; с этими уравнениями просто оперировать, и можно бесконечно развлекаться нахождением корней квадратных уравнений. При этом, однако, забывают, что эти уравнения являются лишь частными случаями неограниченного класса функций, а интерес к ним обусловлен их простотой.