§ 4. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

1. Задача разложения.

В векторном исчислении и его приложениях большое значение имеет задача разложения, состоящая в представлении данного вектора в виде суммы нескольких векторов, называемых составляющими данного

вектора. Эта задача, имеющая в общем случае бесчисленное множество решений, становится вполне определенной, если задать некоторые элементы составляющих векторов.

2. Примеры разложения.

Рассмотрим несколько весьма часто встречающихся случаев разложения.

1. Разложить данный вектор с на два составляющих вектора из которых один, например а, задан по величине и направлению.

Задача сводится к определению разности двух векторов. Действительно, если векторы являются составляющими вектора с, то должно выполняться равенство

Отсюда определяется второй составляющий вектор

2. Разложить данный вектор с на два составляющих, из которых один должен лежать в заданной плоскости а второй должен лежать на заданной прямой а.

Рис. 18.

Для определения составляющих векторов перенесем вектор с так, чтобы его начало совпало с точкой пересечения заданной прямой с плоскостью (точка О — см. рис. 18). Из конца вектора с (точка С) проведем прямую до

пересечения с плоскостью {В - точка пересечения), а затем из точки С проведем прямую параллельно

Векторы и будут искомыми, т. е. Естественно, что указанное разложение возможно, если прямая а и плоскость не параллельны.

3. Даны три компланарных вектора а, b и с, причем векторы не коллинеарны. Требуется разложить вектор с по векторам

Приведем все три заданных вектора к одной точке О. Тогда в силу их компланарности они расположатся в одной плоскости. На данном векторе с как на диагонали построим параллелограмм, стороны которого параллельны линиям действия векторов (рис. 19). Это построение всегда возможно (если только векторы не коллинеарны) и единственно. Из рис. 19 видно, что

Рис. 19.

Но векторы и а по построению параллельны, следовательно, (см. (3.6)), аналогично: где X и — некоторые числа, называемые коэффициентами разложения. Внося полученные значения составляющих векторов и в последнее равенство, получим:

Это выражение и определяет разложение вектора с по двум неколлинеарным векторам.