§ 12. ИНВАРИАНТЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОСЕЙ
1. Инварианты преобразования.
Непосредственно из определения следует, что проекция вектора на ось зависит от выбора оси проекций. Поэтому в различных системах координат проекции одного и того же вектора будут различны. Несмотря на это, из проекций векторов можно построить алгебраические выражения, которые не будут зависеть от выбора системы координат; такие выражения называются векторными инвариантами относительно преоб разования или выбора осей координат.
Приведем некоторые примеры инвариантов, рассматривая их относительно прямоугольной системы координат.
2. Первый инвариант.
Модуль вектора (а следовательно, и его квадрат) как длина отрезка не зависит от того, что в пространстве будет построена какая-либо система координат. Поэтому выражение для квадрата модуля вектора через его проекции (см. (7.8)):
не будет зависеть от выбора системы координат, хотя отдельные слагаемые и зависят. Следовательно, выражение (12.1) есть инвариант (он называется первым инвариантом). Независимость этого выражения от выбора системы координат можно проверить непосредственно с помощью формул преобразования (8.24).
Действительно, пусть произведено преобразование координат и вектор а в новой системе имеет проекции 
, а в старой системе 
Составим выражение
и воспользуемся формулами преобразования (8.24):
или, раскрывая скобки и группируя члены,
Учитывая (8.22), будем иметь
что подтверждает утверждение о независимости выражения 
от выбора системы координат.
3. Второй инвариант.
Скалярное произведение двух векторов по своему определению не связано с системой координат, поэтому выражение.(см. (8.10))
есть инвариант относительно преобразования осей (второй инвариант).
Естественно, что первый инвариант можно рассматривать как частный случай второго (при 
).
4. Третий инвариант.
Смешанное произведение трех векторов по своему определению также не зависит от системы координат. Поэтому выражение (см. (10.1))
является инвариантным относительно преобразования осей.
5. Производные инварианты.
Рассмотренные три инварианта независимы друг от друга, причем первый инвариант
относится к проекциям одного вектора, второй — к проекциям двух векторов, третий — к проекциям трех векторов. Последние два инварианта были получены из независимости произведений (скалярного и смешанного) от системы координат. Естественно, что можно поставить вопрос об использовании других произведений (например, векторного и двойного векторного) для нахождения новых инвариантов. Отметим, что ни векторное, ни двойное векторное произведения не дают новых независимых инвариантов. Действительно, векторное произведение двух векторов а и b по своему определению не зависит от системы координат. Поэтому модуль этого произведения (будем рассматривать его квадрат) есть инвариант относительно преобразования системы координат (см. (7.8) и (9.15)):
Покажем, что этот инвариант есть следствие первых двух. Для этого воспользуемся тождеством Лагранжа (9.19) и перепишем его в следующем виде:
или, на основании (12.1) и (12.2),
Читатель без труда докажет, что двойное векторное произведение также не дает независимого инварианта.
