3.2. Приближенные уравнения для описания динамики процессов в лазерах (балансные уравнения)

В первом приближении динамика процессов может быть описана на основе так называемых уравнений баланса. Подобные уравнения уже применялись ранее — при рассмотрении заселенностей рабочих уровней в стационарных условиях (см. § 1.1, 1.2). Система балансных уравнений позволяет найти зависимость от времени для плотности инверсной заселенности рабочих уровней и мощности генерируемого излучения.

Дифференциальное уравнение для плотности светового потока.

Будем рассматривать одномерную ситуацию — монохроматическое излучение распространяется в активной среде вдоль -оси (вдоль оптической оси лазера). Плотность светового потока, распространяющегося в положительном направлении -оси, обозначим как а плотность потока, распространяющегося в противоположном направлении, — как Рассмотрим приращение потока при его распространении от точки до точки Используя дифференциальный закон Бугера, представим

Согласно (3.2.1), приращение плотности потока на пути от точки до точки содержит три слагаемых:

— приращение плотности потока за счет усиления излучения активными центрами (напомним: есть коэффициент усиления активной среды);

— уменьшение плотности потока за счет поглощения неактивными центрами, а также за счет рассеяния излучения — коэффициент вредных потерь);

— приращение плотности потока за счет люминесценции (за счет процессов спонтанного испускания).

Последним слагаемым ввиду его относительной малости часто пренебрегают и пользуются более простым уравнением:

Процесс распространения потока от точки до точки требует времени , где — скорость света в активной среде. Таким образом,

Приращение плотности потока обусловлено двумя причинами: изменением плотности потока с расстоянием и изменением во времени. Первая причина приводит к появлению в выражении для приращения слагаемого а вторая — слагаемого . Таким образом,

С учетом (3.2.3) перепишем уравнение (3.2.2) в виде

Обозначим через о сечение вынужденного перехода в канале генерации. В соответствии с (1.1.3), представим

где — плотность инверсной заселенности рабочих уровней. В результате дифференциальное уравнение (3.2.4) для плотности потока принимает вид

Дифференциальное уравнение для плотности потока имеет аналогичный вид:

Уравнения (3.2.6) содержат три неизвестные функции: Перейдем к рассмотрению недостающего третьего уравнения.