3.3.3. Двойственный фрейм
Как мы видели в § 3.2, двойственный фрейм определяется так:
где 
. У нас есть явная формула для нахождения обратного к 
которая сходится с экспоненциальной скороестью, т. е. как 
с отношением сходимости а, пропорциональным — 
Таким образом, полезно иметь границы фрейма А и В, близкие друг другу. Тем не менее для (3.2.8) в принципе необходимо знать бесконечное число 
Ситуация не так плоха, как можно было ожидать: если ввести обозначение
то легко проверить, что для всех 
Следовательно, 
перестановочны. В частности, 
тогда
или
К сожалению, 
и 
не перестановочны, так что нам по-прежнему необходимо вычислять бесконечно много 
Практический интерес представляют лишь функции, «живущие» на конечном числе шкал, где 
достаточно хорошо аппроксимируется комбинациями
(см. пункт о частотно-временной локализации, § 3.5). Если 
целое, 
то легко проверить, что такой усеченный 
перестановочен с 
Тогда остается вычислить лишь 
различных 
Однако во многих практических приложениях это число по-прежнему достаточно велико. Таким образом, становится особенно выгодно работать с почти жесткими фреймами, т. е. такими, для которых 
: мы можем ограничиться лишь членом нулевого порядка в формуле восстановления (3.2.11), избежать всех сложностей, связанных с двойственным фреймом и по-прежнему будем иметь высокое качество восстановления произвольной 
. С другой стороны, при специальном выборе 
можно получить фрейм 
не являющийся близким жесткому фрейму, для которого все 
порождаются одной единственной функцией
В главе 8 мы рассмотрим такой пример — некоторые биортогональные базисы. Другим примером является 
-преобразование из работы Фразиера и Яверта [82] (см. также работу Фразиера, Яверта и Вайса [83]).
Важно осознать, что 
могут иметь очень разные свойства регулярности. Например, существуют фреймы, для которых сама 
принадлежит 
и убывает быстрее, чем любой обратный полином, в то время как некоторые из 
не принадлежат 
для маленьких 
(что предполагает их очень медленное убывание). Пример Лемарье приведен Добеши во всех подробностях в [54], стр. 988-989.10 Нечто подобное может произойти, даже если все 
порождены одной функцией 
существуют примеры, в которых 
(к — произвольно большое), а 
не является непрерывной. (Примерами такого рода являются биортогональные базисы из главы 8, первый пример был построен Чамичаном в 
Такое несоответствие можно исключить, накладывая дополнительные условия на 
(см. Добеши [54], § II.D.2, стр. 991-992).
