7.1.2. Оценки убывания, полученные из инвариантных циклов

Из значений на инвариантном цикле возникают нижние границы убывания

Лемма 7.1.5. Если — какой-нибудь нетривиальный инвариантный цикл (т.е. ) для отображения

модулю , где тогда для всех к

где не зависит от k.

Доказательство.

1. Для начала заметим, что существует такая что для всех

В самом деле, Поэтому (7.1.10) выполняется, если или Мы уже знаем, что . Если , и тогда , что невозможно.

2. Теперь

Так как является тригонометрическим полиномом и существует такая что для достаточно малых Тогда для достаточно большого

Отсюда

Мы можем применить это к примеру из конца предыдущей части: лемма 7.1.5 влечет оценку где Если имеет вещественные коэффициенты (как в случае большинства приложений, представляющих практический интерес), то и

Следующими короткими инвариантными циклами являются Каждый из них дает верхнюю оценку показателя убывания для

В некоторых случаях можно доказать, что одна из верхних границ для а становится и нижней тоже. Но вначале докажем следующую лемму.

Лемма 7.1.6. Предположим, что существует такое что

Тогда где

Доказательство.

1. Оценим для некоторого большого, но пока произвольного Поскольку для некоторого мы имеем

Такой же трюк можно применять далее к до тех пор, пока продолжение не станет невозможным. На этой стадии мы имеем

где число оставшихся -множителей не превышает Отсюда

определено с помощью (7.1.5). Следовательно, привлекая определение (7.1.6), имеем

Теперь оценка для следует из леммы 7.1.2.

В частности, получается следующая лемма.

Лемма 7.1.7. Предположим, что

Тогда где и такое убывание является оптимальным.

Доказательство непосредственно следует из лемм 7.1.5 и 7.1.6. Конечно, лемма 7.1.7 применима лишь к очень частным . В большинстве случаев условия (7.1.11) не будут выполняться: существуют даже такие для которых Подобные оптимальные оценки могут быть выведены после применения леммы 7.1.6 с использованием других инвариантных циклов при разбиении . Вернемся к нашему «обычному» примеру . В этом случае Коэн и Конзе [37] доказали, что на самом деле удовлетворяет (7.1.11).

Лемма 7.1.8. Для всех полином удовлетворяет условиям

Начнем, однако, с доказательства другого свойства.

Лемма 7.1.9.

Доказательство.

3. Объединение (7.1.15) и (7.1.16) дает

Поскольку получаем (7-1-14).

Теперь приступим к доказательству леммы 7.1.8.

Доказательство леммы 7.1.8.

1. Поскольку возрастает на интервале [0, 1], нам нужно лишь доказать (7.1.13).

2. Определим Применяя лемму 7.1.9, приходим к выражению

где

3. Поскольку для , мы можем применить (7.1.8), чтобы получить

или

Подставляя это в (7.1.17), приходим к неравенству

Величина в квадратных скобках равняется для , тогда при Следовательно, возрастает на интервале что доказывает (7.1.13) для

4. При мы следуем другой стратегии. Поскольку ввиду леммы 7.1.4, достаточно доказать, что

Но потому что и

Здесь мы снова использовали лемму 7.1.4 и оценку

Таким образом, для доказательства (7.1.18) достаточно показать

Поскольку убывают на интервале достаточно проверить, что (7.1.20) выполняется для т.е. что

Это верно для

5. Осталось доказать (7.1.13) для Сделаем это за два шага: Для выполняется откуда, снова по лемме 7.1.4,

Аналогично, так что

потому что убывает на интервале Численно проверяется, что (7.1.21) в самом деле меньше, чем для .

6. Если мы используем оценки чтобы вывести

Для последнего неравенства используется, что обе функции убывают на интервале Численно проверяется, что (7.1.22) меньше, чем для .

7. Осталось доказать (7.1.13) для и При таких малых значениях полином имеет степень не более, чем 9, и его корни легко вычисляются (численным способом). Получается, что ни один из них не лежит в интервале Это завершает доказательство, потому что (7.1.13) выполняется при Из лемм 7.1.8 и 7.1.7 мы получаем точное асимптотическое убывание

Для нескольких первых значений это превращается в утверждение со следующими оценками для а:

Мы также можем использовать лемму 7.1.7 для оценки гладкости при . Поскольку

(для верхней оценки используется лемма 7.1.4, для нижней — 7.1.9),

в предположении, что асимптотически для больших при этом На самом деле не нужно использовать лемму 7.1.8 в полную силу, чтобы доказать этот асимптотический результат: достаточно доказать, что

где С не зависит от Тогда асимптотический результат немедленно следует из леммы 7.1.6. Оценка (7.1.24) — это непосредственное следствие неравенства при Оценка (7.1.25) легко получается из леммы 7.1.4 следующим образом. Если потому что убывает на интервале Если 1, то . Это значительно более простое рассуждение о точном асимптотическом убывании проведено Волкмером в [183], который получил его независимо от Коэна и Конзе.