Примечания

1. Здесь мною выбран тот же порядок вложения (чем больше отрицательный индекс, тем больше пространство), что и в цепочке пространств Соболева. Такой порядок естественно следует из обозначения неортогональных вейвлетов, введенного Гроссманом и Морле. Однако это не является общепринятым: Мейер в [142] использует обратный порядок, скорее в соответствии с установленной в гармоническом анализе практикой. Бейлкин, Койфман и Рохлин ([24]) считают порядок, представленный здесь, более практичным для приложений в численном анализе.

2. В отличие, например, от Мейера ([142]), здесь мы заранее не накладываем требование регулярности на

3. Уравнение (5.1.33) характеризует все возможные Это следует из леммы 8.1.1 главы 8.

4. Если имеет компактный носитель, и нам хотелось бы иметь компактный носитель и для то (5.1.35) — это единственно возможный выбор.

5. Считается, что для непрерывной такого «патологического» примера нет. Еще одно упражнение для читателя!

На последних стадиях подготовки этой книги я узнала, что Лемарье ([126]) доказал, что если функция (непрерывная или нет) имеет

компактный носитель, то она автоматически связана с кратномасштабным анализом. Это решает проблему для одного очень важного специального случая.

6. Заметим, что существует такая что функции образуют ортонормированный базис для в отличие от Достаточно взять где — -периодическая и для . Такая снова является функцией Шварца. Аналогичный трюк с преобразованием Гильберта можно применить и к другим кратномасштабным анализам, таким, как случай Батла-Лемарье или КМА с , имеющей компактный носитель, из следующей главы.

7. Если мы требуем непрерывности то то действительно определяет единственным образом.

8. Из того, что непрерывна и мы имеем и непрерывность то в Следовательно, непрерывна в Поскольку то непрерывна в Тогда непрерывна в поскольку должна быть допустимой. Это влечет откуда Так получен другой вывод (5.3.20).

9. Доказательство. Докажем, что если непрерывна.

Определим Условия на гарантируют, что корректно определена и непрерывна. Имеем

Тогда непрерывна, имеет период 1 и

Следовательно, — постоянная.

Равенство влечет . Но отсюда

Если то равенство должно выполняться для всех что противоречит . Отсюда или Коэффициенты Фурье для можно легко вычислить следующим образом:

Для В-сплайна это легко вычисляется; явная формула приведена Чуй в [30].

11. Доказательство.

12. Если задана своими отсчетами, т. e. мы знаем только то скалярные произведения можно вычислить с помощью операции свертки (или фильтрации), предполагая вначале, что (компоненты , ортогональные , не могут быть восстановлены). Мы имеем , отсюда . Тогда

т. е. являются коэффициентами Фурье Следовательно, где

13. Для удобства они выбрали вместо (5.6.13), где подобрано так, чтобы все были полиномами по (отрицательные степени отсутствуют). Тогда получается

14. Такие рассуждения используются фанами типа фильтров Эстебана-Геланда: это не дает точного восстановления с самого начала, но отклонение от точного восстановления можно сделать малым в сравнении с искажениями, наведенными квантованием.