3.4.2. Достаточное условие и оценки для границ фрейма

Даже если , то не обязательно образуют фрейм. Простым контрпримером является для в противном случае. Тогда любая определенная на ортогональна всем хотя значение выбрано малым. В этом примере По этой причине не могут быть фреймом. (Нечто подобное происходит в случае вейвлетов, см. § 3.3.)

Вычисления, полностью сходные с проведенными для вейвлетов, показывают, что

где определяется формулой

Так же, как и в случае вейвлетов, достаточно быстрое убывание ведет к убыванию Тогда, выбрав достаточно малым, можно сделать второй член в правых частях (3.4.3), (3.4.4) произвольно малым. Если ряд ограничен, причем снизу ограничен строго положительной константой (нули не «вступают в заговор»), то образуют фрейм при достаточно малых с границами, данными неравенствами (3.4.3), (3.4.4). Точнее, мы имеем следующее предложение.

Предложение 3.4.1. Если такие, что

и если убывает крайней мере со скоростью где тогда существует такое , что образуют фрейм для любого из а правые части (3.4.3), (3.4.4) являются его границами.

Условия на и (3.4.5) выполняются, если, например, где

Замечание. В случае оконного преобразования Фурье наблюдается симметрия под действием преобразования Фурье, отсутствующая в случае вейвлетов. Имеем

что влечет выполнение (3.4.3), (3.4.4), даже если мы заменим на соответственно повсюду в правых частях (включая определение ). С использованием этого замечания мы можем вычислить две оценки на А и В и взять наибольшую для А и наименьшую для В.