9.3. Вейвлеты для L1([0,1])

Поскольку в -пространствах нет безусловных базисов, не смогут его обеспечить и вейвлеты. Тем не менее, они все же превосходят анализ Фурье в некотором смысле. Мы покажем это, сравнивая разложения -функций по вейвлетам и в ряды Фурье. Но вначале мы введем «периодизованные вейвлеты» («periodized wavelets»).

Для данного кратномасштабного анализа с масштабирующей функцией и вейвлетом имеющих разумное убывание (скажем, ), мы определим

и

Поскольку мы имеем для так что все для представляют идентичные одномерные пространства, содержащие лишь постоянные функции. Аналогично, поскольку мы имеем для Таким образом, мы ограничиваем свое внимание пространствами где . Очевидно, свойство наследуется от непериодизованных пространств. Более того, по-прежнему ортогонально пространству потому что

Следовательно, в непериодизованном случае Все пространства — конечномерные: так как для то же верно и для оба и натянуты на функций, полученных для . Более того, эти функций ортонормированы. Например, в пространстве для мы имеем

Таким образом, мы получаем цепочку кратномасштабных пространств

с последовательными ортогональными дополнениями до и ортонормированные базисы

Поскольку снова следует из соответствующего непериодизован-ного варианта), функции из образуют ортонормированный базис в Переобозначим этот базис:

Этот базис имеет следующее замечательное свойство.

Теорема 9.3.1. Если — непрерывная периодическая функция с периодом 1, то существует такая , что

Доказательство.

1. Поскольку — ортонормированные, мы с необходимостью имеем Определим с помощью формулы

На первом шаге докажем равномерную ограниченность т. е. оценку

где С не зависит от или

2. Если то откуда

где

Следовательно,

Теперь

и равномерная ограниченность имеет место, если . Этим устанавливается (9.3.2) для

3. Если , то

Оценки, в точности такие же, как в пункте 2, показывают, что -норма второй суммы тоже ограничена величиной равномерно по что доказывает (9.3.2) для всех

4. Теперь возьмем . Тогда для некоторого для т.е. для

Следовательно, если и (9.3.1) очевидно выполняется. Поскольку Е плотно в пространстве непрерывных периодических функций, наделенном нормой теорема доказана.

В силу сопряженности мы получаем аналогичную теорему для .

Теорема 9.3.2. Если то

Доказательство. содержится в сопряженном к пространстве, т.е. — непрерывная, с периодом Это немедленно приводит к оценке

(в силу равномерной оценки (9.3.2) и

Поскольку тоже плотно в равномерной оценки (9.3.3) достаточно для доказательства теоремы.

Примечательность теорем 9.3.1 и 9.3.2 в том, что такое свойство не выполняется для рядов Фурье: например, для получения равномерной сходимости ряда Фурье для к самой необходимо потребовать больше условий, чем просто непрерывность (например,

Заметим, что порядок важен для теорем 9.3.1 и 9.3.2: мы имеем базис Шаудера, а не безусловный базис!