§ 6. СИСТЕМЫ ЦЕЛЫХ И РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

6.1. Первичные термины и аксиомы аксиоматической теории целых чисел

Мы исходим из определения:

Системой целых чисел называется минимальное кольцо, которое является расширением полукольца натуральных чисел.

Следующие термины принимаются в качестве первичных:

а) Z — множество, его элементы называем целыми числами;

б) - сложение и умножение — бинарные операции на

в) 0 — нуль — нейтральный элемент сложения на

г) N — подмножество Z, его элементы называем натуральными числами;

д) — сложение и умножение — бинарные операции на

В согласии с данным определением называем системой целых чисел систему

если она удовлетворяет тринадцати аксиомам, составляющим следующие три группы:

(аксиома минимальности). Всякое подмножество М множества Z, если:

а) оно включает N и б) совпадает с

Если — система целых чисел, то систему назовем кольцом целых чисел, систему — аддитивной группой целых чисел, систему — мультипликативной полугруппой целых чисел.