Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ2.3.4. Рассмотреть отображение
2.3.11. 1) Воспользоваться свойством 1.3.17. 2) 2.3.13. Из 2.3.11 и 2.3.12 следует существование взаимно-однозначного отображения множества А на подмножество 0 (В) этого множества. 2.6.7. Определение 2.5.2. 2.6.13. Пусть сначала
Далее, следует проверить, что из (2.6.1) и
следует
2.6.21. Прежде всего нужно доказать, что
Рассматривая произведение 2.8.6. Ввести в рассмотрение множество Р всех элементов
чего нет в кольце с единицей. Окончание доказательства несложно. 2.10.1. Воспользоваться результатом вопроса 2.94. 3.5.2. Из аксиом Поэтому имеем
4.6.19. Сначала докажем, что
Из
и доказываем, что
Пусть теперь
в противоречии с теоремой 4.5.3. 4.6.20. Первое утверждение доказывается при помощи рассуждений, сходных с теми., которые проводятся при доказательстве утверждения вопроса 4.6.19. Чтобы доказать, что ни одно из условий не является лишним, достаточно привести примеры четырех бинарных отношений на множестве натуральных чисел, каждое из которых не удовлетворяет последовательно одному из указанных условий и удовлетворяет трем остальным. Такими отношениями будут:
4.7.2. Пусть А — множество четных, В — нечетных натуральных чисел. Тогда 4.8.5. Обозначим через М множество тех натуральных Если
А дальше следует воспользоваться тем, что S индуцирует взаимнооднозначное отображение отрезка
Введя новое взаимно-однозначное отображение t отрезка
легко закончить рассуждение. 4.8.9. Прежде всего заметим, что отношение S легко определяется через первичные термины нашей теории:
Таким образом, перечень первичных терминов второй теории содержится в совокупности терминов первой. Легко видеть также, что все аксиомы второй теории являются теоремами первой. Они просто переходят в ее аксиомы. Нам остается показать, что первичные термины первой теории выразимы через термины второй, а аксиомы первой теории являются теоремами второй, s Для этой цели определим во второй теории два тернарных отношения:
При фиксированном а каждое из вводимых нами тернарных отношений бинарное. Чтобы ввести искомые тернарные отношения, введем для каждого а бинарные отношения с теми же условиями. Иначе говоря, покажем, что для каждого а из A можно ввести бинарное отношение
Пусть сначала
Имеем:
В силу аксиомы
Таким образом, условие (VI) для введенного нами бинарного отношения также выполнено. Пусть для какого-нибудь
Имеем:
В силу предположения индукции и аксиомы
в силу равенства (VII). Далее, в силу равенства (VI) получим
Далее вновь применяется равенство (VII):
Окончательно имеем
Таким образом, условие (VI) для Аналогично можно определить тернарное отношение 4.8.10. Докажем, что в наших предположениях для каждого натурального z существует и только одна функция
которая удовлетворяет условиям:
Пусть М — множество тех натуральных Пусть
и множества
Легко доказывается, что
Полагаем
Нетрудно проверить, что функция с удовлетворяет условиям (4.8.2), а также, что этими условиями функция с определяется однозначно. 4.8.12. Пусть
Индукцией по
и которая удовлетворяет следующим условиям:
4.9.1. Рассмотреть интерпретации:
5.1.8. Определение 5.1.3. 5.1.12. Следует из линейности порядка 5.1.13. Если а — наименьший элемент множества
то В — интервал, отделенный элементом а. 5.1.14. Пусть а — наименьший элемент множества
5.1.15. Следует из 5.1.14. 5.1.19. Пусть 5.1.20. Пусть 5.1.25. Имеем
Поэтому достаточно доказать равенство
5.1.27, Имеем
Поэтому достаточно доказать, что 5.2.4. Из соотношений
Если 5.2.5. Если а и b положительны, то по теореме 5.2.4 а
5.2.7. См. пример 5.2.5. 5.2.9. Показать, что множество автоморфизмов мультипликативной полугруппы натуральных чисел бесконечно. 5.4.1. Показать, что 6.2.10. Сначала доказывается, что из указанных пяти условий следует монотонность порядка
и
Чтобы доказать, что ни одно из пяти условий не является лишним, достаточно найти примеры таких пяти бинарных отношений в кольце целых чисел, каждое из которых не удовлетворяет последовательно одному из указанных отношений и удовлетворяет всем остальным. Такими отношениями будут:
6.6.9. Сначала показать, что этими условиями определяется строгий и линейный порядок в аддитивной группе рациональных чисел. Затем рассмотреть бинарные отношения в поле рациональных чисел, определяемые ниже:
7.1.3. Воспользоваться леммой: если 7.5.3. Легко проверить, что достаточно доказать следующее:
Предположим, что
для каких-либо элементов
Далее найдем элемент
Наконец, находим натуральные
(вопрос 7.5.2). Отсюда имеем
и поэтому
8.2.1. С каждым элементом а архимедовски упорядоченного 8.2.4. Введем, пользуясь теоремой Цермело, в R полный порядок, а затем удалим из R каждое число, которое линейно с коэффициентами из Q выражается через конечное множество предшествующих (в этом порядке). Далее нетрудно показать, что оставшиеся элементы образуют искомый базис. 8.2.7. На первую часть вопроса ответить нетрудно. Далее, достаточно рассмотреть пять бинарных отношений в поле, определяемых следующим образом: 1) 2) 3) отношение вопроса 8.2.6; 4) 5) отношение вопроса 8.2.5. 8.2.9. Вопрос 8.2.5. 8.2.14. а)
8.3.1. С каждым подмножеством
и двоичную дробь
т. е. ряд
8.7.2. 1) Выражение для 2) Следует из 1). 3) Если 4) 5) Из 2), 3) и 4) следует, что существует целое положительное и сколь угодно малое число. 8.7.3. Следует из 8.7.2. 8.7.4. 1) Выражение для 2) Следует из 1). 3) Если
не делится на 4) 5) Из 2), 3) и 4) следует, что существует не равное нулю целое и сколь угодно малое число. 8.7.5. Следует из 8.7.4. 8.7.6. 1), 2), 4) и 6) доказываются индукцией по 5) Для каждого допустимого значения
Так как
и что
для каждого натурального i от 1 до 7) Проверяется непосредственно. 8) Следует из 1) и 2). 9) Из уравнения
и 7) следует, что для каждого положительного 10) Из 8), 9) и 6) следует, что если цепная дробь с положительными элементами сходится к числу а, то число а принадлежит интервалу с концами 11) В силу 5) данная цепная дробь сходится к некоторому числу а. В силу 9) это число положительно. Предположим теперь, что число а рационально. Тогда из равенства
верного для любого натурального
Но
Так как числа
Из этих равенств легко следует, что числа с и
Поэтому последовательность 12) Из 1) и 2) следует, что цепная дробь (8.7.18) с положительными элементами сходится тогда и только тогда, если
Так как
Применяя эти неравенства повторно, мы получим;
Поэтому, если ряд 2 расходится, то
Из равенства
Но
Следовательно, если ряд 9.2.1. Модуль комплексного числа. 9.2.2, Вопрос 8.2.9.
|
1 |
Оглавление
|