2.3. Отображения

Определение 2.3.1. Пусть — бинарное отношение, заданное во множествах А и В. Тогда множество всех пар (b, а) таких, что (а, b), является отношением, заданным во множествах В и Это отношение называют отношением обратным к отношению и обозначают символом

Если — бинарное отношение, заданное во множествах A и В, и

то элемент b называют образом элемента а во множестве В относительно отношения , а элемент а — прообразом элемента b. Множество всех образов элемента а обозначают символом а множество всех прообразов элемента b — символом если — какое угодно подмножество , то символом или обозначают множество всех образов элементов из А.

Определение 2.3.2. Бинарное отношение , заданное во множествах А и В, называют отображением (также соответствием) А в

Если к тому же

то отображение со называют отображением А на В.

Определение 2.3.3. Отображение множества А во множество В (соответственно А на В) называют однозначным отображением А в В (соответственно А на В), если

другими словами, если каждый элемент А имеет и только один образ в В.

Однозначное отображение со множества А на В называют также функцией с областью определения А и областью значений В.

Однозначное отображение со множества А в множество В называют функцией из А в В. Для обозначения функции из А в В употребляют запись:

Образ элемента а в однозначном отображении со множества А в В обозначают также символом . Запись означает, что b есть образ элемента а в отображении . Множество всех однозначных отображений множества А в множество В обозначают символом Однозначное отображение множества в называют преобразованием множества А.

Вопрос 2.3.1. Показать, что всякое однозначное отображение множества во множество В индуцирует однозначное отображение любого подмножества А в В.

Однозначное отображение некоторого подмножества множества А во множество В называют частичной функцией из А в В.

Пусть — натуральное число ( или ) — однозначное отображение множества А в множество В. Тогда соответствие

определяет однозначное отображение множества которое мы будем обозначать символом

Определение 2.3.4. Пусть — какое-либо -членное отношение, заданное во множестве А, и — однозначное отображение А в В. Тогда является подмножеством и, таким образом, -членным отношением, заданным в В. Это отношение мы называем отношением, наведенным отношением в отображении множества А в В.

Пример 2.3.1. Пусть — натуральное число, — множество классов вычетов целых чисел по модулю — класс чисел, сравнимых с а по модулю . Рассмотрим однозначное отображение f множества целых чисел Z в определяемое условием

Тернарное отношение определяемое условием

является отношением, наведенным отношением «сумма» во множестве Z в отображении

Определение 2.3.5. Однозначное отображение множества А во множество В (соответственно множества А на В) называют взаимнооднозначным отображением (или взаимно-однозначным преобразованием) множества А в В (соответственно А на В), если

Определение 2.3.6. Если задано взаимно-однозначное отображение множества А на В или оба множества А и В пусты, то говорят, что множество А равномощно множеству В и употребляют обозначение

Обозначение

употребляют в случае, если — взаимно-однозначное отображение множества А на множество В.

Вопросы: 2.3.2. Пусть — взаимно-однозначное преобразование множества А; В с: А. Доказать, что:

2.3.3. Пусть на множестве А задано -членное отношение и пусть — взаимно-однозначное отображение А на множество В. Показать, что отношение является алгебраической операцией на А тогда и только тогда, если отношение, наведенное отношением во взаимно-однозначном отображении на В, является алгебраической операцией.

Бинарное отношение , заданное в, конечных множествах А и В, можно представить графом, вершины которого изображают элементы множеств А и В, а ребра соединяют такие пары вершин, которые соответствуют парам элементов А и В, принадлежащим отношению .

(2.3.1)

Примеры: 2.3.2. Граф (2.3.1) изображает отношение, которое не является отображением. Все остальные графы изображают отображения множества А в В.

2.3.3. Отображения (2.3.2), (2.3.4), (2.3.6) являются отображениями А в В, отображения (2.3.3), (2.3.5), (2.3.7) — отображениями А на В.

2.3.4. Отображения (2.3.2) и (2.3.3) не являются однозначными отображениями А в В; отображения (2.3.4), (2.3.5), (2.3.6), (2.3.7) — однозначные отображения А в В.

2.3.5. Отображения (2.3.6) и (2.3.7) являются взаимно-однозначными отображениями А в В, а отображение (2.3.7) — взаимнооднозначным отображением А на В.

2.3.6. Отображение является взаимнооднозначным отображением множества натуральных чисел N в N, но не на

2.3.7. n-арная алгебраическая операция , заданная на каком-нибудь множестве А, при определяет однозначное отображение А в

Вопросы: 2.3.4. Показать, что множество натуральных чисел N и множество всех пар натуральных чисел равномощны.

2.3.5. Показать, что множество натуральных чисел N и множество всех троек натуральных чисел равномощны.

2.3.6. Показать, что отношение равномощности на классе всех подмножеств данного множества рефлексивно, симметрично и транзитивно.

2.3.7. Доказать, что если А и В — какие угодно множества; , то

2.3.8. Пусть — множества такие, что:

Доказать, что

2.3.9. Пусть — множества такие, что

Доказать, что

Для любого множества А символом обозначают новый объект, называемый мощностью множества А, и такой, что

Мощности множеств называют также кардинальными числами. Пусть а тогда:

а) под суммой а понимают кардинальное число объединения при условии, что

б) под произведением понимают кардинальное число прямого произведения А X В;

в) под степенью понимают кардинальное число степени

2.3.10. Пусть а, b, с — кардинальные числа. Доказать, что:

2.3.11. Пусть — взаимно-однозначное отображение множества А на подмножество ; С — подмножество ; S — подмножество А такое, что

Доказать, что

Пусть, далее, — отображение множества в , определяемое условием:

Доказать, что

3) — взаимно-однозначное отображение множества А на множество .

2.3.12. Пусть — взаимно-однозначное отображение множества А на подмножество ; . Пусть, далее, и для каждого неотрицательного целого

Доказать, что множество удовлетворяет условиям:

2.3.13. Пусть — взаимно-однозначное отображение множества А во множество В и — взаимно-однозначное отображение множества В во множество А. Доказать, что существует взаимно-однозначное отображение множества А на множество В.

Пусть а и b — кардинальные числа множеств А и В соответственно. Если множество А равномощно какому-нибудь подмножеству множества В, то говорят, что кардинальное число а не превосходит числа b, и употребляют обозначение если к тому же , то говорят, что а меньше b, и употребляют обозначение

2.3.14. Пусть а, b, с — кардинальные числа. Доказать, что: