9.4. Непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел
Теорема 9.4.1. Аксиоматическая теория комплексных чисел непротиворечива относительно аксиоматической теории действительных чисел.
Доказательство. Мы укажем модель данной теории. Пусть 
— поле действительных чисел. Рассмотрим множество Р пар 
действительных чисел и определим на Р бинарные операции 
и 
(сложение и умножение) следующими условиями:
Нам известно (вопрос 2.6.19), что 
— поле. Выберем в Р подмножество 
пар вида 
Сопоставим с каждым действительным числом а пару 
Легко видеть, что 
— взаимно-однозначное отображение R на 
Далее, имеем: 
Таким образом, 
— изоморфное отображение 
на 
Следовательно:
а) 
— поле действительных чисел;
б) поле 
— расширение поля 
Заметим также, что (1,0) и (0,0) — единица и нуль поля 
Полагаем i (0, 1). Имеем
Итак, на системе 
) выполняются первые 15 аксиом нашей теории. Пусть, наконец, М — подмножество Р такое, что:
Докажем, что в таком случае любой элемент множества Р принадлежит множеству М. В самом деле, имеем
Теорема доказана.
Вопросы: 9.4.1. Доказать непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел, рассматривая ее интерпретацию, в которой множества 
операции на них 
и элементы 
определены соглашениями:
9.4.2. Пусть T — множество троек действительных чисел, на котором операции 
и бинарное отношение 
определены соглашениями:
Доказать, что:
1) алгебра 
- коммутативное кольцо;
2) отношение 
— отношение эквивалентности, монотонное относительно обеих операций;
3) факторкольцо 
— поле, изоморфное полю комплексных чисел.
9.4.3. Воспользовавшись результатом вопроса 9.4.2, найти модель для аксиоматической теории комплексных чисел.
