Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
7.5. Последовательности элементов архимедовски линейно упорядоченного поляМы будет предполагать, что Теорема 7.5.1. Пусть k — любое натуральное число. Тогда последовательность Доказательство. В самом деле, Теорема 7.5.2. Пусть q — любое не равное единице натуральное число; тогда последовательность Доказательство. В самом деле, Теорема 7.5.3. Пусть Доказательство. Удобно записать у в виде
Дальше можно воспользоваться тем, что порядок в поле Q архимедов. Теорема 7.5.4. Если последовательность Доказательство. В поле Р можно указать такой элемент с, что
Предположим, что последовательность
По
Складывая полученные неравенства, найдем, что
Так как поле Р архимедовски упорядочено, можно найти натуральное
Отсюда имеем:
Теорема 7.5.5. Пусть k — натуральное число, Доказательство. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда
Пусть для некоторого натурального
Выберем
Построенная нами последовательность
при этом
Итак, последовательность
Следовательно, по теореме 7.5.4 последовательность Поэтому в силу теоремы 7.3.15 и последовательности
но
Теорема 7.5.6. Пусть Доказательство. Поскольку всякое упорядоченное поле — расширение поля рациональных чисел, то без ограничения общности можно предполагать, что 5.4.9 для каждого натурального
Этим все доказано. Вопросы: 7.5.1. Пусть
7.5.2. Пусть
7.5.3. Доказать, что архимедовски линейно упорядоченное тело 7.5.4. Пусть Q — поле рациональных чисел, R — система действительных чисел,
|
1 |
Оглавление
|