7.5. Последовательности элементов архимедовски линейно упорядоченного поля

Мы будет предполагать, что — архимедовски линейно упорядоченные поля, А — подполе поля Р и — абсолютная величина элемента . В этих предположениях, как мы в свое время заметили, выбор подполя поля Р не имеет значения. В качестве поля можно всегда выбирать поле рациональных чисел Q, которое в наших предположениях является подполем поля А, а следовательно, и поля Р. Поскольку поле рациональных чисел допускает только одно линейное и строгое упорядочивание, всякий порядок в Р является продолжением порядка в

Теорема 7.5.1. Пусть k — любое натуральное число. Тогда последовательность строго и неограниченно возрастает (относительно любого архимедовски упорядоченного поля).

Доказательство. В самом деле,

Теорема 7.5.2. Пусть q — любое не равное единице натуральное число; тогда последовательность строго и неограниченно возрастает.

Доказательство. В самом деле,

Теорема 7.5.3. Пусть — любое рациональное большее единицы число; тогда последовательность строго и неограниченно возрастает.

Доказательство. Удобно записать у в виде , где Тогда для любого натурального . Это следует из неравенства

Дальше можно воспользоваться тем, что порядок в поле Q архимедов.

Теорема 7.5.4. Если последовательность элементов поля А возрастает и ограничена относительно архимедовски линейно упорядоченного поля Р, то она фундаментальна относительно архимедовски линейно упорядоченного поля Р.

Доказательство. В поле Р можно указать такой элемент с, что

Предположим, что последовательность не фундаментальна относительно поля Р. Тогда существует такой положительный элемент в поле Р, что для любого натурального числа можно найти натуральное такое, что

По мы выбираем , так, что . Так продолжаем дальше:

Складывая полученные неравенства, найдем, что

Так как поле Р архимедовски упорядочено, можно найти натуральное такое, что

Отсюда имеем:

Теорема 7.5.5. Пусть k — натуральное число, — любой положительный элемент архимедовски линейно упорядоченного поля А. Тогда можно найти фундаментальную последовательность элементов поля А такую, что последовательность сходится к относительно архимедовски линейно упорядоченного поля Р.

Доказательство. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда . Так как , то в силу теорем 7.5.1. и 7.4.4. существует натуральное число такое, что

Пусть для некоторого натурального верны соотношения:

Выберем следующим образом:

Построенная нами последовательность элементов поля А удовлетворяет условию:

при этом

Итак, последовательность возрастает и ограничена сверху, так как

Следовательно, по теореме 7.5.4 последовательность фундаментальна относительно поля Р. Но последовательности и эквивалентны относительно поля Р, так как

Поэтому в силу теоремы 7.3.15 и последовательности эквивалентны относительно поля Р. А потому, каков бы ни был положительный элемент из Р, можно найти натуральное такое, что

но

Теорема 7.5.6. Пусть — подполе поля А. Для любой последовательности элементов архимедовски линейно упорядоченного поля А можно в поле указать эквивалентную ей относительно архимедовски линейно упорядоченного поля Р последовательность элементов поля

Доказательство. Поскольку всякое упорядоченное поле — расширение поля рациональных чисел, то без ограничения общности можно предполагать, что есть поле рациональных чисел. По теореме 7.4.2 последовательность сходится к нулю. По теореме

5.4.9 для каждого натурального можно найти рациональное число такое, что

Этим все доказано.

Вопросы: 7.5.1. Пусть архимедовски линейно упорядоченное тело. Доказать, что для любого из Р можно найти элемент такой, что

7.5.2. Пусть — архимедовски линейно упорядоченное тело. Пусть — такие элементы Р, что Доказать, что существует натуральное с условием

7.5.3. Доказать, что архимедовски линейно упорядоченное тело коммутативно.

7.5.4. Пусть Q — поле рациональных чисел, R — система действительных чисел, — простое число, — нормированное поле. Доказать, что последовательность сходится к нулю по норме v относительно Q тогда и только тогда, если v — -адическая норма поля Q или норма вопроса 7.1.2.