Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Б.2. Фракталы ПуанкареРассмотрим раздел фрактальной геометрии, который имеет дело с голоморфными динамическими системами специального вида, а именно с рациональными отображениями. Рациональное отображение
двух взаимно простых полиномов Р и Q. Степень отображения
Любое рациональное отображение степени d > 1 (именно такие отображения рассматривали Фату и Жюлиа) обладает свойствами как растяжения, так и сжатия. Например, Разумеется, по отношению к сферической метрике (нормализованной так, чтобы общая площадь равнялась единице),
так что производная от Чтобы описать эти свойства отталкивающей, если нейтральной, если притягивающей, если Прямая орбита (то есть траектория точки 2 при итерациях в прямом направлении) Множество Жюлиа, кроме того, является наименьшим замкнутым подмножеством сферы таким, что Посткритическое множество играет решающую роль по отношению к аттракторам Теорема Доказательство. Пусть Если U не содержит ни одной критической точки, то Таким образом, Эта теорема имеет как практическое, так и теоретическое значение. Например, если Существует несколько хороших обзоров по рациональным отображениям сферы Римана, написанных в середине 80-х [80, 81], и ряд более современных обзоров [82, 83]. Так же, как и в случае ренормализации, современная теория фрактальной геометрии оформилась после публикации Денниса Сулливана [81], в которой было установлено соответствие между гиперболическими рациональными отображениями и клейновыми группами. Отображение Теорема (1) Все критические точки (2) Отображение f является растягивающим на своем множестве Жюлиа. Это означает, что на сфере существует конформная метрика (3) Посткритическое множество и множество Жюлиа имеют нулевое пересечение Что касается интересующих нас фракталов Пуанкаре, то они являются полугиперболическими, то есть нарушается условие (3) вышеприведенной теоремы, и соответствуют они фуксовым группам. До 1998 года фракталы Пуанкаре не встречались в математической литературе как самостоятельные обьекты, заслуживающие тщательного рассмотрения. Они появлялись в неявном виде под названием Гипотеза. Рациональное отображение f не допускает существования инвариантного линейного поля Теорема Б.2.6. Привлекательность Инвариантное линейное поле для (1) Е обладает положительной площадью; (2) (3) наклон (4) производная f отображает Напомним, что линейное поле (или поле линейных элементов) — это локальный неориентированный вариант векторного поля, нигде не обращающегося в нуль. Если Совсем недавно МакМюллен [85] дал определение геометрически конечного рационального отображения. Рациональное отображение Если Фракталы Пуанкаре в узком смысле представляют собой множества Пуанкаре-Жюлиа, получаемые в результате итерирования рациональной функции Пуанкаре
Эта функция легко может быть получена из теоремы сложения для p-функции Вейерштрасса [86]. Именно итерации этой функции при Хотя пример Латте был известен уже давно и часто приводился в формулировке а) пересечение множества Жюлиа с посткритическим множеством непусто; б) множество Жюлиа равно всей сфере Римана; в) размерность Хаусдорфа множества Жюлиа меньше 2. Фракталы Пуанкаре-Мандельброта получаются в результате итерирования функции Пуанкаре по параметрам Характерным свойством фракталов Пуанкаре является то, что множество критических точек С содержит 6 точек, из которых три отталкивающие и три притягивающие, причем при каждой итерации они меняют свой характер на противоположный. Исследование фракталов Пуанкаре представляется заслуживающим внимания по двум причинам.
Рис. Б.1. Пример Латте, Во-первых, функция Пуанкаре описывает двухпараметрическое аналитическое семейство и, следовательно, позволяет исследовать Во-вторых, итерации функции Пуанкаре описывают динамику инволютивных псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей Клейна-Пуаыкаре. Неклассические поверхности Клейна — это поверхности с краем и со сменой ориентации [88]. Поэтому интересно связать топологическое описание поверхностей Клейна-Пуанкаре со свойствами симметрии функции Пуанкаре.
Рис. Б.2. Лемнискатный случай Если в первом направлении можно пока сделать только общие утверждения, что в случае Исследование свойств симметрии функции Пуанкаре было начато в [89]. На рис. Б.6 приведен начальный этап построения односторонней поверхности, основанный на принципе симметрии Шварца. Этот рисунок очень напоминает рисунки Морица Эшера, но на самом деле представляет собой компактное (точнее компактифицированное) многообразие неотрицательной кривизны, соответствующее поверхностям Клейна-Пуанкаре.
Рис. Б.3. Квазилемнискатный случай Естественно задать вопрос: какой вид имеет фундаментальная группа этого многообразия? Оказывается, что это группа классов отображений с антиголоморфной инволюцией или модулярная группа поверхности 5 Клейна-Пуанкаре, которую будем обозначать в дальнейшем Группа
Рис. Б.4. Квазиэквиангармонический случай Осуществляя стандартную процедуру подъема с учетом антиголоморфной инволюции, получаем следующее представление нетривиальных пар образующих этой группы в виде дробно-линейных подстановок:
Существует еще топологически тривиальная пара z и —z. Под антиголоморфной инволюцией в данном случае понимается переход от 2 к —z. В результате компьютерной проверки на системе Maple было подтверждено, что при дробно-линейных подстановках аргумента 2 в указанных выше степенях функция Пуанкаре оставалась неизменной. Таким образом, функция Пуанкаре является инволютивно-модулярной автоморфной функцией относительно действия группы
Рис. Б.5. Фрактал Пуанкаре-Мандельброта, z = 1 Группе Пространство деформаций группы Пространство модулей для группы
Рис. Б.6. «Рисунок Морица Эшера» С чисто математической точки зрения надо указать явную формулу для кэлеровой формы Вейля-Петерсона [90] на С топологической точки зрения фракталы Пуанкаре являются вещественно-аналитическими уэйвлетами. Это следует из совместного использования системы образующих
|
1 |
Оглавление
|