§ 7. Интегро-дифференциальное уравнение движения с учетом радиационного затухания

В § 2 проведено качественное рассмотрение уравнения Абрагама — Лоренца (17.9). При этом указывалось, что если радиационные эффекты в некотором смысле считать слабыми, то для описания движения можно успешно использовать метод последовательных приближений. Однако уравнение движения в дифференциальной форме допускает существование решений, не имеющих физического смысла [см., например, второе решение (17.10)], так как это уравнение содержит производные по времени более высокого порядка, чем обычное уравнение движения механики. Желательно было бы получить эквивалентное уравнение движения, имеющее правильный порядок, не приводящее к решениям, заведомо лишенным физического смысла, и позволяющее применять обычный метод последовательных приближений для нахождения решений. Мы ограничимся в дальнейшем лишь нерелятивистским движением, хотя обобщение на релятивистский случай получить нетрудно.

Основная идея преобразования уравнения (17.9) в эквивалентное уравнение заключается в том, что решение нового уравнения должно непрерывно переходить в соответствующее решение для нейтральной частицы в пределе, когда заряд частицы стремится к нулю. Чем меньше заряд частицы, тем меньше сила самодействия и радиационные эффекты при прочих неизменных условиях. Если считать внешнюю силу заданной функцией времени, то уравнение (17.9) можно один раз проинтегрировать по времени с помощью интегрирующего множителя. Положив

из (17.9) получим

Первый интеграл имеет, следовательно, вид

    (17.50)

Знак минус, стоящий в предыдущей формуле, здесь отсутствует; поскольку мы считаем неопределенным нижний предел интегрирования. Постоянная интегрирования С должна быть найдена из физических соображений.

Интегро-дифференциальное уравнение (17.50) отличается от обычных уравнений движения механики тем, что в нем ускорение частицы в любой заданный момент времени зависит не от мгновенного значения действующей силы, а от ее среднего по времени значения, взятого с некоторым весом. Наличие в выражении для силы множителя означает, что существен лишь малый интервал времени порядка . Так как пропорциональное, то этот интервал становится бесконечно малым в пределе Потребуем, чтобы в этом случае уравнение движения переходило в уравнение

Ньютона: Этому требованию можно удовлетворить, выбрав верхний предел интегрирования в (17.50) равным бесконечности. Чтобы убедиться в этом, введем новую переменную интегрирования

Тогда уравнение (17.50) примет вид

    (17.51)

Если сила мало меняется за время порядка , то можно ожидать, что разложение ее в ряд Тейлора вблизи быстро сходится Положим поэтому

и подставим это выражение для силы в (17.51); тогда

    (17.53)

В пределе отличен от нуля лишь член ряда с При этом мы приходим к обычному уравнению движения для незаряженной.

частицы. Члены суммы более высокого порядка представляют собой поправки, учитывающие радиационный эффект для заряженной частицы; эти слагаемые существенны лишь при достаточно быстром изменении силы во времени.

Интегро-дифференциальное уравнение (17.51) можно считать физически оправданным эквивалентом уравнения движения Абрагама — Лоренца (17.9). Все решения уравнения (17.51) удовлетворяют и уравнению (17.9). Но при этом физически нереальные «само-ускоряющиеся» решения типа (17.10) не появляются. Однако уравнению (17.51) все еще присущи некоторые недостатки.

Фиг. 17.1. «Предускорение» заряженной частицы.

Основной из них — это нарушение традиционного принципа причинности. Как очевидно из (17.51), ускорение в момент t зависит от значения силы в моменты времени, более поздние, чем t. Это противоречит нашим представлениям о связи причины и результата действия. Типичный пример такого нарушения причинности проиллюстрирован на фиг. 17.1. Постоянная сила действует на частицу, начиная с момента времени Из уравнения движения следует, что «предускорение» имело место еще до того, как сила «действительно» была приложена.

Чтобы понять, действительно ли указанные эффекты противоречат известным фактам, следует уточнить временные масштабы. Эффект нарушения принципа причинности ограничен во времени интервалом сек. За это время свет проходит расстояние порядка «размера» элементарных частиц. Интервалы времени такой продолжительности невозможно обнаружить макроскопическими средствами. В частности, силы, действующие на частицы, также не могут быть включены или выключены столь быстро, как показано на фиг. 17.1. Следовательно, нарушение принципа

причинности, заложенное в выражении (17.51), фактически не может быть обнаружено на опыте. Можно сказать, что, хотя уравнение (17.51) противоречит микроскопической причинности, оно не противоречит требованиям макроскопической причинности.

Существенное значение имеет и то обстоятельство, что рассматриваемая модель является чисто классической и фактически неприменима уже при расстояниях и временах, много больших соответственно . Действительно, согласно принципу неопределенности, включение внешней силы на интервале времени соответствует неопределенности в энергии порядка Если указанная неопределенность энергии по порядку величины равна энергии покоя частицы то поведение последней уже будет далеко не классическим. Это накладывает квантовомеханическое ограничение на интервалы времени: . Поскольку , то можно предполагать, что в области, в которой должно быть применимо классическое описание, движение частиц происходит достаточно плавно, поэтому эффекты нарушения принципа причинности весьма мало существенны и реакция излучения лишь незначительно изменяет основное движение.

Если приложенная сила F задается не как функция времени, а как функция координат, то решение интегро-дифференциального уравнения становится несколько более сложным, хотя принципиальных трудностей не возникает.