§ 12. Дуальные тензоры
В четырехмерном многообразии каждой площадке
можно сопоставить нормальную площадку такую, что все прямые, лежащие в ней, перпепдикулярпы ко всем прямым, лежащим в первой площадке. Мы назовем ее дуальной к 
если она, кроме того, равна последней по величине. Она определяется в виде
где векторы 
перпендикулярны к 
Простой расчет показывает, что компоненты получаются из компонент путем образования четной перестановки индексов 1, 2, 3, 4 и умножения на 
Аналогично, меняя местами 
и имеем
При помощи таких же соотношений сопоставляют любому бивектору 
ему дуальный. Умножение бивектора на дуальный ему бивектор с последующим свертыванием дает на основании (48) инвариант чрезвычайно простой структуры:
Точно таким же образом тривектору сопоставляют дуальный вектор Он представляет собой отрезок, который перпендикулярен ко всем образующим параллелепипеда, определяющего тривектор. Длина этого вектора равна объему параллелепипеда. Для любой четной перестановки индексов 
имеет место равенство
