§ 54. Влияние поля тяготения на материальные процессы

Представляется удобным вместе с Эйнштейном называть материей все, кроме -поля. Тогда задача заключается в том, чтобы придать законам материальных процессов

общековариантную форму. В принципе она разрешается следующим рассуждением. Пусть сначала задана система , в которой величины в конечной области мира имеют свои нормальные значения. Тогда законы природы имеют здесь ту форму, которая считается правильной в специальной теории относительности. Введем теперь любую другую произвольно движущуюся гауссову систему К и определим с помощью прямого расчета форму законов в К. На основании принципа эквивалентности ясно, что таким способом одновременно находится влияние гравитационных полей на материальные процессы. Далее, этот результат переносится на случай, когда нельзя найти никакой системы , в которой гравитационное поле может быть удалено с помощью преобразования для конечных областей мира. Подобное перенесение возможно, конечно, лишь на основе в известной мере произвольной гипотезы, что вторые производные от не входят в рассматриваемые законы природы.

В математическом отношении положение аналогично имеющему место при переходе от тензорного исчисления евклидовой геометрии к тензорному исчислению геометрии Римана (см. § 13, 20). Используя методы гл. II, можно любому закону специальной теории относительности сразу же придать общековариантную форму; для этого нужно заменить входящие в них тензорные операции соответствующими обобщенными операциями римановой геометрии. При этом нужно, конечно, учитывать разницу между ко- и контравариантными компонентами тензора, а также между тензорами и тензорными плотностями.

Изложенные общие положения будут сейчас разъяснены на примере уравнений Максвелла для поля в пустоте. Определим опять тензор поля соотношениями (202). Тогда, согласно (140Ь) (см. § 19), уравнение (203) сохраняется:

Вторая система (208) уравнений Максвелла должна, однако, согласно (141Ь) записываться несколько иначе. Введем контравариаптные компоненты тензорной плотности, соответствующей

а также тензорную плотность, соответствующую вектору тока

В этом случае имеем

откуда вытекает также обобщение уравнения непрерывности (197)

Пондеромоторная сила вычисляется совершенно так же, как раньше (см. (216)):

а соответствующая тензорная плотность равна

Смешанные компоненты плотности тензора энергии импульса, согласно (222), равны

Важно обобщение соотношения (225). На основании правила (150 а) общего тензорного анализа находим:

Второй член левой части характерен для влияния гравитационного поля. Тот факт, что (225 а) и в общем случае является следствием соотношений (203), (208 а) и (216), вытекает из вычислений, проведенных в § 23, а.

Аналогичным образом могут быть записаны в общековариантной форме уравнения движения жидкости. Общие уравнения Герглотца для упругих тел были рассмотрены Нордстрёмом [295]. Так же как (225 а) получается

из выражения (225) для пондеромоторной силы, из общего закона сохранения энергии и импульса (341) вытекает закон сохранения энергии и импульса для материи при наличии гравитационных полей:

В физическом отношении уравнение (341 а) очень существенно отличается от ранее рассмотренной формы закона сохранения энергии и импульса. В то время как из прежней формы с помощью интегрирования может быть получен закон сохранения полного импульса и полной энергии, в случае новой формы (341 а) это уже невозможно, вследствие присутствия второго члена в левой части. Дело здесь в том, что энергия и импульс гравитационного поля могут переходить в энергию и импульс материи, и наоборот (подробнее см. § 61). Если внешние силы отсутствуют, то, в частности, для можно ввести кинетический тензор энергии-импульса по (322), а следовательно, для выражение

Уравнения (341а) сводятся тогда к уравнению геодезической линии (см. примеч. 15).