§ 21. Аффинные тензоры и свободные векторы

Хотя общая теория относительности имеет дело только с уравнениями, ковариантными относительно любых преобразований координат, однако о ней встречаются стемы величин, ведущие себя как тензоры только по отношению к линейным (аффинным) преобразованиям. Назовем их аффинными тензорами. Такими аффинными тензорами, например, ямляются коэффициенты связности. В частности, встречаются аффинные тензоры тензорные плотности которых в любой системе отсчета удовлетворяют уравнениям

Ясно, что при общем преобразовании координат не будут преобразовываться линейно и однородно. Можно, однако, из интегрированием получить систему величин , которая по отношению к группе преобразований значительно более общей, чем аффинная, ведет себя как вектор.

Чтобы это показать, приведем сначала подготовительное вспомогательное рассуждение. Пусть дан 4-вектор

s с соответствующей векторной плотностью дивергенция которой равна нулю:

Пусть ниже величина S только внутри «мировой трубки» отлична от нуля или, во всяком случае, пусть она так быстро спадает вне ее, что интегралы, которые ниже будут встречаться, распространенные на область, достаточно удаленную от трубки, равнялись бы нулю. Мы рассматриваем ниже только такие координатные системы, в которых все подпространства постоянного времени ) пересекают мировую трубку по односвязным областям. Используем теперь то обстоятельство, что по (139а) и (154) интеграл всегда равен нулю, если он распространен на замкнутую гиперповерхность. В качестве области интегрирования выбираем два сечения , соединяющихся между собой гиперповерхностью, лежащей вне трубки. Тогда из (137а) следует, что интеграл

одинаков для обоих сечений трубки, т. е. что он не зависит от Введем теперь вторую координатную систему К, которая имеет вне трубки постоянные а внутри трубки удовлетворяет лишь тому условию, что пространства пересекают трубку по односвязным областям. В качестве областей интегрирования мы возьмем теперь сечение и сечение , которые всегда можно выбрать так, чтобы они не пересекались; тогда

т. e. интеграл J инвариантен относительно всех допустимых здесь преобразований координат.

К этому случаю можно привести интегрирование компонент аффинного тензора. Умножим аффинный тензор на вектор компоненты которого внутри трубки постоянны:

ведет себя по отношению ко веем линейным преобразованиям как вектор. Во всех координатных системах К,

которые получаются из первоначальной системы К при помощи таких преобразований, компоненты постоянны внутри мировой трубки и поэтому удовлетворяется уравнение

Вследствие (155) интеграл

инвариантен относительно линейных преобразований и в любом сечении имеет одну и ту же величину. Так как

где

    (156)

и вектор произвольный, величины имеют векторный характер относительно линейных преобразований.

Покажем теперь по Эйнштейну [107], что эти величины сохраняют векторный характер, если перейти от координатной системы К к любой другой координатной системе Ксовпадающей с К вне трубки. Для этого достаточно только построить координатную систему, которая в одном сечении, совпадает с К, а в другом сечении — совпадает с К. Так как уже показано, что одинаково для двух различных сечений одной и той же координатной системы, то тем самым показано, что в равны. Интеграл , таким образом, вообще не зависит от выбора координат внутри мировой трубки. Интересно, что, исходя из аффинного тензора который ковариантен только при линейных преобразованиях координат, мы интегрированием получили систему величин , которая ведет себя как вектор относительно значительно более общей группы преобразований. Вектор отличается от обычных векторов тем, что он не связан с определенной точкой. Мы назовем его вместе с Клейном и в согласии с терминологией механики свободным вектором.