$K$ главе 32. Показатель преломления плотного вещества
32. 1. В «Лекциях» рассматривалось распространение волн в веществе, состояцем из неполярных частиц. Было показано, что квадрат показателя преломления при низких частотах равен диэлектрической проницаемости. Будет ли этот вывод верен для других (изотропных) веществ?
32. 2. На частоте примерно 6 Мец ионосфера становится прозрачной. В рамках модели свободных электронов оцените плотность электронов в ионосфере.
32. 3. $\mathrm{K}$ металлу в течение долгого времени приложено постоянное электрическое поле, а затем оно мгновенно выключается. Используя модель свободных электронов, покажите, что время релаксации (т. е. время, в течение которого дрейфовая скорость электронов падает в $e$ раз) равно $\tau$, где $\tau$ – среднее время между столкновениями.
32. 4. Внутри металла существуют решения уравнений Максвелла, имеющие вид плоских волн:
\[
E_{x}=E_{0} e^{i(\omega t-k z)},
\]

где $k$ – комплексное число. Для низких частот
\[
k=(1-i) \sqrt{\frac{\sigma \omega}{2 \varepsilon_{0} c^{2}}} .
\]
a) Напишите выражение для магнитного поля такой волны.
б) Какой угол образуют векторы Е и В для произвольного $z$ ?
в) Какова разность фаз векторов $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ ?

[Если момент времени $t_{1}$ соответствует максимальной величине $\mathbf{E}$, а $t_{2}$ – максимальной величине $\mathbf{B}$, то разность фаз определяется как $\pm \omega\left(t_{1}-t_{2}\right)$.]
32. 5. При выводе выражения (32.50) «Лекций» (вып. 7, стр. 66) предполагалось, что в металле переход от вещественных значений $n^{2}$ к мнимым в ультрафиолетовой области очень резкий. На опыте же столь резкого перехода не наблюдается. Покажите, что с помощью более удачной аппроксимации $n^{2}$ теорию можно согласовать с экспериментом.

К главе 33. Отражение от поверхности
33. 1, a) Определите коэффициент пропускания для плоской электромагнитной волны, проходящей через трехслойный диэлектрик.
б) Покажите, что в случае $n_{2}=\sqrt{n_{1} n_{3}}$ и $l=\lambda_{2} / 4$ коэффициент пропускания равен единице. (Покрытия такого рода используются для «просветления» оптики в хороших фотокамерах и биноклях.)
в) Какова толщина $l$ для обычного бинокля, т. е. для оптического диапазона длин волн?
г) Одну ли сторону линзы можно просветлять? Важно ли, какая сторона покрыта пленкой? Почему?
33, 2. Луч света с длиной волны $4500 \AA$ (в пустоте) падает на призму и полностью отражается на угол $90^{\circ}$. Показатель преломления призмы 1,6. Вычислите расстояние от длинной стороны призмы, на котором напряженность электрического поля уменьшается в $e$ раз по сравнению с ее значением на поверхности. Предполагается, что свет поляризован так, что вектор $\mathbf{E}$ перпендикулярен к плоскости падения. Изменится ли ваш ответ, если Е лежит в плоскости падения?

К аляе 34. Магнетизм вещества
34. 1. Заряженная частица движется в плоскости, перпендикулярной однородному магнитному полю в. Покажите, что если В меняется медленно, магнитный момент орбитального движения частицы остается постоянным. Что мы понимаем под словом «медленно\”?

К главе 35. Парамагнетизм и магнитный резонанс .
35. 1. В циклотроне, рассчитанном на низкие энергии, период обращения протонов по круговой орбите составляет 0,13 мксек. Ядерный магнитный резонанс для протона в магнитном поле циклотрона наступает при частоте 21 Мац. Определите по этим данным g-фактор протона.
35. 2. Выведите формулу (35.9) способом, указанным в гл. 35 (вып. 7, стр. 124). Находится ли этот вывод в противоречии с утверждением, содержащимся в гл. 34 (вып. 7, стр. 104), о том, что в рамках классической физики парамагнетизм отсутствует?
35. 3. В 1 см $^{3}$ парамагнитной соли содержится $10^{22}$ атомов с магнитным моментом в один магнетон Бора каждый.
Соль помещается в однородное магнитное поле напряженностью 10000 гс (1 вебер/ $\mathrm{m}^{2}$ ). Выразите в процентах избыток параллельных полю спинов при комнатной температуре и температуре жидкого гелия.
35. 4. Следуя выводу, приведенному в гл. 35 , для спина $1 / 2$, найдите квантовомеханическое выражение для парамагнитной восприимчивости частиц со спином 1 .

К главе 36. Ферромагнетизм
36. 1. Шар радиуса $a$ однородно намагничен так, что его полный магнитный момент равен $4 / 3 \pi a^{3} M$, где $M$ намагниченность. Қаковы должны быть поверхностные токи, создающие магнитное поле вне шара (тех же размеров), которое совпадает с полем, создаваемым намагниченным шаром. Покажите, что найденное распределение токов обладает таким же полным магнитным моментом.
36. 2. Сердечник магнита изготовлен из мягкого железа и обмотан 2150 витками проволоки, через которую течет ток силой $5 a$. Толщина сердечника (в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка) постоянна и равна 28 см. Кривая зависимости $B$ от $H$ для материала каркаса приведена на нижнем рисунке.
Оцените величину магнитного поля в воздушном зазоре магнита. (Все размеры в сантиметрах.) Қаковы те главные эффекты, которыми следует пренебречь при решении задачи?
Примечание. Так как эмпирическая зависимость $B$ от $H$ носит нелинейный характер, не нужно смущаться, что задача не решается аналитически и точно.
36. 3. Система состоит из постоянного магнита и двух полюсов, изготовленных из мягкого железа. Пропусканием сильного тока по внешней обмотке брусок намагничивается до точки $P$ на кривой зависимости $M$ от $H$. Найдите напряженность магнитного поля в зазоре после выключения тока, предполагая, что магнитная проницаемость мягкого железа бесконечна, и пренебрегая утечкой магнитного потока на краях зазора
36. 4. Очень длинный железный стержень в форме цилиндра однородно намагничен так, что вектор намагниченности М направлеи по оси цилиндра. Найдите $B$ и $H$ внутри стержня, пренебрегая краевыми эффектами. Чему будет равна магнитная индукция В в центре игольчатой полости, если ее вырезать вдоль оси стержня?

К главе 38. Упругость
36. 1. В ракетной технике необходимы конструкции, которые обладают максимальной прочностью при минимальном весе.
a) Сравните радиусы двух цилиндрических стержней из алюминия и из стали, обладающих одинаковой жесткостью и длиной. (Жесткость определяется как отношение приложенной поперек стержня силы к результирующему смещению.)
б) Сильно ли отличаются массы этих стержней?
38. 2. Алюминиевый стержень квадратного сечения одним концом заделан, а к свободному его концу прикреплена масса $m$. Найдите собственную частоту колебаний такой системы, если площадь сечения стержня равна $a^{2}$, масса его во много раз меньше массы $m$; размерами самой массы $m$ можно пренебречь.
3. 3. В начале курса (вып. 4, стр .163) скорость звука в жидкости определялась как производная давления по плотности. Покажите, что для продольных волн в твердом теле (плоские волны сжатия) фазовая скорость определяется выражением
\[
v_{\text {прод }}^{2}=\frac{(1-\sigma) Y}{(1-2 \sigma)(1+\sigma) \rho},
\]

где $\sigma$ – отношение Пуассона; $\boldsymbol{Y}$ – модуль Юнга. Эта формула справедлива лишь для продольной волны в «безграничной» среде. В такой волне частицы движутся параллельно направлению распространения. Поперечное же смещение частиц в продольной волне отсутствует в отличие от того, что имеет место, скажем, при сжатии стержня, когда поперечные размеры стержня увеличиваются. Қаковы, по вашему мнению, должны быть размеры тела, чтобы приведенное выше выражение для фазовой скорости было справедливо?
38. 4. Стальная линейка длиной $L=30 \mathrm{~cm}$, шириной $a=1,5$ см и толщиной $b=0,08$ см концами упирается в две планки, прибитые к столу на расстоянии $l=29 \mathrm{~cm}$ одна от другой, как показано на рисунке. a) Қакой кривой описывается форма изогнутой линейки?
б) Қакова сила, с которой линейка упирается в планки?
38. 5. Нижний конец вертикального стержня заделан, а к его верхнему свободному концу приложена сила. Длина стержня равна $L$. Поперечное сечение стержня имеет форму прямоугольника со сторонами $t$ (толщина) и $w$ (ширина). Определите силу, приводящую к показанной на рисунке деформации стержня.

К главе 40. Течение «сухой» воды
40. 1, а) Докажите справедливость сделанного в гл. 40 (вып. 7) утверждения о том, что в невязкой жидкости давление одинаково во всех направлениях.
б) В качестве математического упражнения докажите весьма полезное векторное тождество, использованное в гл. 40 :
\[
(\mathbf{v} \cdot
abla) \mathbf{v}=\frac{1}{2}
abla(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})+(\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{v}),
\]

где
\[
\boldsymbol{\Omega}=(
abla \times \mathbf{v}) .
\]
40. 2, Жидкость вращается в цилиндре кругового сечения с постоянной угловой скоростью $\omega$. Найдите форму воронки, образующейся на поверхности жидкости, если на расстоянии $\mathbf{r}$ от оси частица жидкости вращается со скоростью $v=\omega r$. Покажите, что циркуляция жидкости, отнесенная к единице площади, т. e. rot $\mathbf{v}$, равна удвоенной угловой скорости вращения жидкости.
40. 3. Шар массы $m$ и радиуса $a$ движется с постоянной скоростью в «сухой» воде. Покажите, что сумма кинетических энергий шара и жидкости равна
\[
\frac{1}{2}\left(m+\frac{M}{2}\right) v^{2}
\]

где $M$ – масса жидкости, вытесненная шаром. Чему равен суммарный импульс шара и жидкости?

K главе 41. Течение «мокрой» воды
41. 1. Если шар радиуса а движется в вязкой жидкости равномерно и достаточно медленно, так что поток обтекающей жидкости можно считать ламинарным, то сила, заставляющая его двигаться, равна вязкой силе трения, действующей со стороны жидкости на шар. Хотя эту силу вы можете определить точно, представляет интерес найти для нее выражение из размерных соображений, перечислив все параметры, от которых эта сила может зависеть. Проделайте это. Можете ли вы качественно обосновать, почему параметры входят в найденное выражение так, а не иначе?
41, 2, Медленный поток вязкой жидкости в цилиндрической трубке можно считать ламинарным, причем профиль скоростей потока выглядит примерно так, как представлено на рисунке. Покажите, что если $r$ – расстояние от оси трубки, $\eta$ – коэффициент вязкости, а $\left(P_{1}-P_{2}\right) / L$ – перепад давления на единице длины трубки, то профиль скоростей в жидкости описывается выражением
\[
v(r)=\frac{1}{4 \eta} \frac{\left(P_{1}-P_{2}\right)}{L}\left(a^{2}-r^{2}\right) .
\]

По аналогии с законом Ома пропускную способность трубки $Q$ можно связать с перепадом давления $\Delta P=P_{1}-P_{2}$ соотношением
\[
\Delta P=Q R,
\]

где $R$ – сопротивление трубки. Найдите сопротивление $R$ для трубок радиуса $a$ и длины $L$. Қак вы думаете, проведение подобной аналогии лишь простая игра слов или есть основания считать такие аналогии полезными? Что является аналогом конденсатора?
41. 8. Дно широкого бассейна покрыто тонким слоем воды (любой «несжимаемой» жидкости с вязкостью $\eta$ ). На поверхности воды плавает тонкая деревянная доска, «дно» которой находится на расстоянии $d$ от дна бассейна. Все остальные размеры доски во много раз больше $d$. Доска движется горизонтально с малой скоростью $v$. Чему равна скорость диссипации энергии в единице объема в воде вблизи середины доски?