К главе 1. Атомы в движении

При решении приведенных ниже задач используйте идеи и методы, изложенные в первой главе «Лекций», а также ваш собственный опыт и воображение. О получении точных численных результатов особенно не заботьтесь.
. 1. 1. Прн обычных условиях воздух имеет плотность воздуха примерно $1 \mathrm{z} / \mathrm{cm}^{3}$.
a) Оцените число молекул в 1 см $^{3}$ газообразного и жидкого воздуха.
б) Оцените массу «молекуль» воздуха.
в) Рассчитайте среднее расстояние, которое молекула воздуха проходит между двумя последовательными соударениями с другими молекуламн при нормальном давлении и температуре. Это расстояние называется длиной свободного пробега.
г) Оцените давление, до ко́торого необходимо откачать вакуумную систему, чтобы длина свободного пробега в ней равнялась 1 м.
-1.2. В один из давних дней палеозойской эры капля послеполуденного ливня упала на мягкую ровную земню и оставила на ней отпечаток. Шло время, на этот отпечаток при раскопках наткнулся страдающий от жары и жажды студент-геолог. Осушая свою фляжку, он от нечего делать прикидывает, сколько молекул из той древней капли было в воде, которую он только что выпил. Оцените и вы число этих молекул, используя только те данные, которые вам уже известны. О деталях, не приведенных в условии задачи, сделайте сами разумные предположения.
1. 3. Действие происходит где-то в Қалифорнии. На подоконнике возле раскрытого окна оставили стакан с водой.
a) Қак вы думаете, сколько времени он так простоит, пока вода из него не испарится полностью?
б) Сколько молекул при этом будет испаряться с каждого квадратного сантиметра водной поверхности в секунду?
в) Существует ли связь, и если да, то какая, между ответом на вопрос (а) и среднегодовым количеством осадков, выпадающих на Землю?
1. 4. Если атомы, из которых состоят все тела, находятся в непрерывном движении, то за счет чего предметы сохраняют постоянную форму, иногда не меняясь очень подолгу (например, окаменелости)?
1. 5. Можете ли вы объяснить, почему не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника? (Треугольники, квадраты и шестиугольники в кристаллических формах встречаются постоянно.)
1. 6. Қак зависит давление газа $P$ от числа атомов в единице объема $n$ и $\langle v\rangle$ – средней скорости атомов? Будет ли $P$ просто пропорционально $n$ и $\langle v\rangle$ или зависимость отличается от линейной?
1. 7. Если теплота есть не что иное, как движение молекул, то чем отличается горячий, покоящийся бейсбольный мячик от холодного, но быстро движущегося?
1. 8. Объясните, почему и как трение между движущимися цастями машины приводит к выделению тепла.
1. 9. Химики обнаружили, что молекулы резины состоят из длинных перекрещивающихся цепочек атомов. Объясните, почему кусок резины нагревается, если его растянуть.
1.10. Что случится с куском резины, на котором подвешен груз, если резину нагреть? (Проделайте сами такой опыт.)
1.11. Вам дано большое число стальных шариков равного диаметра $d$ и сосуд известного объема $V$. Все габариты сосуда много больше диаметра шариков. Қакое максимальное число шариков может поместиться в сосуде?

К главе 4. Сохранение энергии

Решите следующие задачи, используя закон сохранения энергии и принцип виртуальной работы.
4. 1. Груз весом $W=50$ кг подвешен в средней точке проволоки $A C B$, как показано на рисунке; $A C=$ $=C B=5$ м; $A B=5 \sqrt{2}$ м.
Найдите натяжение $T$ проволоки.
4. 2. Лестница длиной 3 м приставлена под углом к гладкой вертикальной стене. В верхнем ее конце имеются ролики (см. рисунок). Лестница весит 12 кг. На расстоянии 0,75 м от ее верхнего конца подвешен груз 24 кг. Найдите:
a) силу, с которой ролики давят на стену;
б) горизонтальную и вертикальную составляющие силы, с которой лестница давит на землю.
4. 3. Подъемное устройство состоит из однородного стержня длиной $L$ и весом $w$; устройство своим нижним концом шарнирно соединено со стенкой. С вертикалью стержень образует постоянный угол $\theta$ благодаря горизонтально натянутой проволоке, которая соединена со стержнем на расстоянии $x$ от шарнира. Груз $W$ подвешен к верхней точке стержня. Найдите натяжение $T$ горизонтальной проволоки.
4. 4. Ферма состоит из легких алюминиевых стержней, концы которых шарнирно соединены друг с другом. В точке $C$ ферма опирается на ролик, который может двигаться по гладкой плоскости. При сварке стержень $A B$ нагревается, причем его длина увеличивается на величину $x$. В результате груз $W$ смещается по вертикали на расстояние $y$.
a) Как направлено смещение $W$ – вверх или вниз?
б) Қакая сила действует на стержень $A B$ (определить нужно и знак силы, т. е. решить, растянут стержень или сжат)?
4. 5. Тележка удерживается на наклонной плоскости грузом $w$, подвешенным, как указано на рисунке. Трение во всех частях устройства пренебрежимо мало. Найдите $W$ – вес тележки.
4. 6. Вес катушки равен $w$, а ее большой и малый радиусы $-R$ и $r$ соответственно. С помощью нитей, навитых по малому радиусу, катушка прикреплена к неподвижному бруску, а снизу к ней на нитях, навитых уже по большому радиусу, подвешен груз $W$ (см. рисунок). Вес груза подобран так, что катушка находится в равновесии. Чему равен вес груза W?
4. 7, В дифферендиальном вороте, который схематически изображен на рисунке, используется цепь, погонный метр которой содержит $N$ звеньев. Шкивы верхнего блока снабжены зубцами, которые продеваются в звенья цепи, причем шкив большего диаметра имеет $n$ зубцов, а шкив меньшего диаметра $n-1$. Трение в системе таково, что силы, необходимые для подъема или опускания груза $W$, отличаются в $R$ раз. Предполагая, что трение от направления движения не зависит, найдите эти силь.
4. 8. Петля, сделанная из гибкой тяжелой цепи весом $W$, надета на гладкий прямой круговой конус, высота которого $h$, а радиус основания $r$. Цепь поконтся в горизонтальной плоскости (ось конуса направлена вертикально). Найдите натяжение цепи.
4. 9. Подвижная рама $A A^{\prime} B B^{\prime}$ укреплена в вертикальной плоскости на шарнирах $P$ и $P^{\prime}$ (см. рисунок). Трение во всех подвижных соединениях пренебрежимо мало. Bсе размеры твердых уголков $A A^{\prime} C D$ и $B B^{\prime} G H$ одинаковы; кроме того,
\[
\begin{array}{l}
A P=A^{\prime} P^{\prime}=\frac{1}{2} P B=\frac{1}{2} P^{\prime} B^{\prime}, \\
C D=G H=\frac{1}{2} A P .
\end{array}
\]

Благодаря противовесу $w_{c}$ рама в отсутствие грузов $W_{1}$ и $W_{2}$ находится в равновесии. Если в точке $D$ подвесить груз $W_{1}$ весом 0,5 кг, то какой следует подвесить груз $W_{2}$ в точке $H$, чтобы сохранить равновесие?
4.10. Через блок перекинуты равные грузы, которые опираются без трения на наклонные плоскости (см. рисунок). Если позволить грузам двигаться, какую скорость они приобретут, пройдя расстояние $D$ ?
4.11. Два груза $W_{1}$ и $W_{2}$ разного веса ( $W_{1}>W_{2}$ ) удерживаются в состоянии покоя на гладких наклонных плоскостях. Если позволить им двигаться, то какова будет их скорость после прохождения расстояния $D$ ?
4.12. В бак с площадью поперечного сечения $A$ налита жидкость плотности $\rho$. Жидкость свободно вытекает из небольшого отверстия, расположенного на расстоянии $H$ ниже уровня жидкости. Площадь отверстия равна $\alpha$. Если внутреннее трение (вязкость) в жидкости отсутствует, с какой скоростью она вңттекает из отверстия?
4.13. Из решения приведенных выше задач должно быть ясно, что рассмотрение статического равновесия в отсутствие трения можно свести, используя принцип виртуальных перемещений, к проблеме чисто геометрического характера: куда сместится одна точка, если малое смещение другой задано? Во многих случаях на этот вопрос легко ответить, используя следующие свойства треугольников:
I. Если при постоянной длине сторон $d_{1}$ и $d_{2}$ угол меняется на малую величину $\Delta \alpha$, то длина противолежащей стороны $L$ меняется на
\[
\Delta L=\frac{d_{1} d_{2}}{L} \sin \alpha \Delta \alpha .
\]
II. Если длины сторон прямоугольного треугольника $a, b$ и $c$ изменяются соответственно на $\Delta a$, $\Delta b$ и $\Delta c$, то эти изменения связаны между собой соотношением
\[
a \Delta a+b \Delta b=c \Delta c .
\]

(c-гипотенуза). Можете ли вы доказать эти формулы?
4.14. Грузовик загружен одинаковыми гладкими бревнами. Он заехал в кювет и стоит, накренившись на один борт, причем дно кузова образует с горизонталью угол $\theta$ (крена в продольном направлении нет – грузовик стоит «на ровном киле»). Заканчивается разгрузка кузова. Если удалить бревно, показанное на рисунке пунктиром, то последние три бревна при малейшем уменьшении угла $\theta$ раскатятся. Найдите угол $\theta$.
4.15. Длины наклонных и горизонтальных стержней фермы, показанной на рисунке, относятся как $5: 6$. Все соединения шарнирные, свободные, и вес самой фермы пренебрежимо мал.
a) Қакие стержни при данном положении груза $W$ можно заменить гибкими связями?
б) Найдите усилие в стержне $B D$.
4.16. Стержень длины $R$ составлен из двух однородных кусков одинаковой длины, один из которых весит вдвое больше другого. Стержень подвешен за концы на двух нитях длины $R$, прикрепленных к гвоздю в точке $P$. Какой угол с горизонталью образует стержень в положении равновесия?
4.17. Из прочной проволоки изготовлена рамка в форме прямоугольного треугольника и помещена в вертикальной плоскости, как показано на рисунке. По проволоке без трения скользят связанные нитью два грузика весом $W_{1}=100$ г и $W_{2}=300$ г. Чему равно натяжение нити и угол $\alpha$ в положении равновесия?

К главе 6. Вероятность

6. 1. «Молекула воздуха» при температуре $25^{\circ} \mathrm{C}$ и давлении 760 мм pm. ст., двигаясь со средней скоростью $450 \mathrm{~m} /$ сек, успевает между двумя последовательными столкновениями пролететь около $7 \cdot 10^{-6} \mathrm{cм}$. Если в воздухе отсутствует струйное, макроскопическое движение, то сколько примерно времени понадобится молекуле, чтобы удалиться на 1 см от точки, в которой она находится в данный момент?
6. 2. В сумке у мальчика три красных, два зеленых и один белый шарик. Он вынимает, не глядя, три первых попавшихся под руку шарика. Қакова вероятность того, что:
a) все три шарика разного цвета?
б) все три шарика одного цвета?
6. 3. Неподвижная сфера радиуса $b$ «обстреливается» потоком маленьких шариков радиуса $a$. Будем предполагать, что рассеяние абсолютно упругое и что угол падения равен углу отражения (они отсчитываются от линии, соединяющей центры сферы и шарика в момент соприкосновения). Получите выражение для относительной доли шариков, рассеиваемых на разные углы. Результат представьте в виде формулы для сечения рассеяния. Убедитесь, что результат для полного сечения рассеяния сводится $\mathrm{K}$ очевидному выражению $\pi(a+b)^{2}$.

К главе 7. Теория тяготения

Приведем некоторые свойства эллипса. Его размеры и форма полностью определяются заданием любых двух следующих величин:
$a$ – большая полуось;
$b$ – малая полуось;
$c$ – расстояние от центра до одного из фокусов;
$e$ – эксцентриситет;
$r_{p}$ – кратчайшее расстояние от фокуса до линии эллипса;
$r_{a}$ – наибольшее расстояние от фокуса до линии эллипса. Cоотношения между этими величинами имеют вид
\[
\begin{array}{ll}
a^{2}=b^{2}+c^{2}, & e=\frac{c}{a} \text { (по определению), } \\
r_{p}=a-c=a(1-e), & r_{a}=a+c=a(1+e) .
\end{array}
\]
7. 1. Расстояние от Луны до центра Земли изменяется от 363300 км в перигее до 405500 км в апогее, период обращения Луны вокруг Земли составляет 27,322 дня. Искусственный спутник Земли движется по орбите так, что расстояние от земной поверхности в перигее равно 225 км, а в апогее 710 км. Средний диаметр Земли равен 12756 км. Определите период обращения спутника.
7. 2. Спутник движется по круговой орбите радиуса $R$ вокруг большого небесного тела массы $M$. Масса спутника $m$.
a) Используя соотношение $s=a t^{2} / 2$ и рассуждения, изложенные в гл. 7 «Лекций», получите выражение для центростремительного ускорения, которое испытывает спутник, движущийся по круговой орбите. Выразите это ускорение через орбитальную скорость и радиус орбиты.
б) Полагая $m a=G M m / R^{2}$, получите третий закон Кеплера.
7. 3. а) Сравнивая параметры орбитальных движений Земли вокруг Солнца и Луны вокруг Земли, определите отношение массы Солнца к массе Земли. (Можете при этом использовать соотношения, полученные в предыдущей задаче.)
б) Ио, спутник Юпитера, совершает оборот по орбите радиуса 421800 км за 1,769 дня. Определите отношение массы Юпитера к массе Земли.
7. 4. Используя представление о том, что два взаимно притягивающихся тела непрерывно «падают» друг на друга и в результате обращаются вокруг одной общей неподвижной точки (центра масс системы), покажите, что период обращения при фиксированном расстоянии $R$ между телами зависит только от суммы их масс, но не от отношения масс. Это утверждение справедливо и для эллиптических орбит. Попытайтесь его доказать.
7. 5. Две звезды $a$ и $b$ движутся одна вокруг другой под действием взаимного гравитационного притяжения. Большая полуось орбиты этого относительного движения, измеренная в астрономических единицах (A. E.), равна $R$, а период обращения составляет $T$ лет. Получите выражение для отношения суммы масс звезд $m_{a}+m_{b}$ к массе Солнца.
7. 6. Тригонометрический параллакс Сириуса (г. е. угол, под которым с Сириуса виден радиус земной орбиты) равен 0,378 угл. сек. Используя это значение и численные данные, приведенные на фиг. 7.7 в «Лекциях» (вып. 1, стр. 131), определите возможно точнее суммарную массу системы Сириуса по отношению к массе Солнца:
a) считая, что плоскость орбиты относительного движения Сириуса $A$ и Сириуса $B$ перпендикулярна направлению на Землю;
б) учитывая, что реальный угол между плоскостью орбиты и направлением на Землю отличается от прямого, является іи значение массы, полученное вами, предельным? Если да, то верхний это предел или нижний?
7. 7. Эксцентриситет земной орбиты равен 0,0167 . Найдите отношение максимального значения орбитальной скорости Земли к минимальному значению.
7. 8. В 1986 г. ожидается появление кометы Галлея. Это будет ее седьмое возвращение из путешествия вокруг Солнца, если начинать счет с тех дней 1456 г., когда перепуганные люди возносили в церквях молитвы, прося защитить их от «дьявола, турка и кометы». Во время ее последнего прохождения церез перигелий 19 апреля 1910 г. было измерено расстояние между нею и Солнцем, оказавшееся равным $0,60 \mathrm{~A}$. $E$.
a) На какое расстояние уходит комета от Солнца в самой дальней точке своей траектории?
б) Чему равно отношение максимального значения ее орбитальной скорости к минимальному?
7. 9. Қак можно определить массу Луны?
7.10. Радиусы Земли и Луны равны 6378 и 1738 км соответственно, а их массы находятся в отношении $81,3: 1$. Рассчитайте ускорение силы тяжести на Луне, если на Земле оно равно 9,8 м/сек ${ }^{2}$.
7.11. Қакова должна быть точность экспериментального определения $g$, чтобы стал заметен «суточный ход» этой величины из-за наличия лунного притяжения? Для простоты будем предполагать, что лаборатория, в которой производятся измерения, имеет такое географическое расположение, что Луна проходит над ней в зените, а «под ней» – в надире. Пренебрегайте влиянием приливов.

К главе 8. Движение

8. 1. Тело движется по прямой линии с постоянным ускорением $a$. При $t=0$ оно находится в точке $x=x_{0}$ и имеет скорость $v_{x}=v_{x 0}$. Покажите, что в момент времени $t$ положение и скорость тела определяются соотношениями
\[
\begin{aligned}
x(t) & =x_{0}+v_{x 0} t+\frac{1}{2} a t^{2}, \\
v_{x}(t) & =v_{x 0}+a t .
\end{aligned}
\]
8. 2. Исключите время из формул, приведенных в предыдущей задаче, и покажите, что в любой момент времени выполняется равенство
\[
v_{x}^{2}=v_{x 0}^{2}+2 a\left(x-x_{0}\right) .
\]
8. 3. Обобщите результаты двух последних задач на случай трехмерного движения с постоянным ускорением, проекции которого на координатные оси равны $a_{x}, a_{y}$ и $a_{z}$.
8. 4. Снаряд выпущен из орудия, установленного на уровне земли, с начальной скоростью $v$ под углом $\theta$ к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислите расстояние, которое он пролетит, и максимальную высоту, которой он достигнет в полете.
8. 5. Под каким углом к горизонту следует установить ствол орудия, чтобы снаряд (см. предыдущую задачу) пролетел максимальное расстояние?
8. 6. Новичок, незнакомый с обычаями регулировщиков движения на наших пригородных дорогах, был наказан штрафом за превышение скорости. Поэтому, увидев на ровном участке дороги плакат «Проверьте спидометр», он решает последовать этому совету. Пройдя линию «0» размеченного участка шоссе, он нажимает на акселератор и в течение всего времени проверки заставляет свою машину двигаться с постоянным ускорением. Он замечает, что мимо столбика с отметкой « 0,1 мили» его машина проходит через 16 сек после начала испытания, а еще через 8 сек он проезжает мимо отметки «0,2 мили».
a) Қаково будет в этот момент показание его спидометра?
б) С каким ускорением двигалась машина?
8. 7. Ракета, запущенная в вертикальном направлении, движется с ускорением $2 g$ в течение всех 50 сек работы двигателя. Пренебрегая сопротивлением воздуха и изменением величины $g$ с высотой:
a) начертите диаграмму $v-t$ (зависимость скорости от времени) для всего времени полета;
б) определите максимальную высоту, которой достигла ракета;
в) рассчитайте полное время полета от момента запуска до возвращения на Землю.
8. 8. На длинном горизонтальном участке полигона испытываются ракетные и авиационные реактивные двигатели. Однажды тележка с ракетным двигателем, стартуя с места, двигалась с постоянным ускорением, пока не выгорело все горючее, а потом она продолжала двигаться с постоянной скоростью. Горючее, как оказалось, кончилось ровно посередине отмеренного расстояния. Затем из той же начальной точки начала разгоняться тележка с авиационным реактивным двигателем, которая прошла с постоянным ускорением все расстояние. Оказалось, что обе тележки прошли известное расстояние за одинаковое время. Чему равно отношение ускорений, развиваемых ракетным и авиационным двигателями?
8. 9. Миномет установлен на расстоянии 8100 м от вертикального обрыва высотой 105 м (см. схему). Необходимо минометным огнем поразить цели, скрытые за обрывом. Қак близко к основанию обрыва могут «подобраться» мины, если их начальная скорость составляет $300 \mathrm{M} /$ сек?
8.10. Угол можно измерять длиной дуги окружности, которую отсекает угол, если его вершина находится в центре окружности. Если $S$ – длина дуги, а $R$ – радиус окружности, то угол в радианах равен
\[
\theta=\frac{S}{R} \text {. }
\]
a) Покажите, что если $\theta \ll 1$ рад, то $\sin \theta \approx \theta, \cos \theta \approx 1$.
б) Используя полученный результат и формулы для косинуса и синуса суммы двух углов, найдите производные от $\sin x$ и $\cos x$, применяя основную формулу
\[
\frac{d y}{d x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x} .
\]
8.11. Тело движется по кругу радиуса $R$ против часовой стрелки с постоянной скоростью $v$. Центр окружности помещается в начале прямоугольной системы координат $(x, y)$, и в момент $t=0$ тело находится в точке с координатами $(R, 0)$.
a) Найдите $x, y, v_{x}, v_{y}, a_{x}, a_{y}$ как функции времени.
б) Покажите, что
H
\[
\ddot{x}+\omega^{2} x=0
\]
\[
\ddot{y}+\omega^{2} y=0,
\]

где
\[
\omega=\frac{v}{R},
\]

а точка над буквой означает производную по времени, так что
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\frac{d x}{d t}, \\
\ddot{x}=\frac{d^{2} x}{d t^{2}} .
\end{array}
\]

8.12. Небольшой камешек застрял в узоре протектора автомобильной шины радиуса $R$. Шина катится по горизонтальной дороге без проскальзывания с постоянной скоростью v. Найдите выражения для координат камешка $x$ и $y$ как функций времени (в момент времени $t=0$ камешек касается дороги). Найдите также зависимость от времени компонент скорости и ускорения камешка.

К главе 9. Динамические законы Ньютона

9. 1. Частица с массой $m$ движется в области пространства, где на нее действует сила, пропорциональная скорости частицы и перпендикулярная одновременно двум направлениям – вектору скорости и оси $z$. В начальный момент скорость частицы равна $v_{0}$ и лежит в плоскости $x-y$. Покажите, что частица движется по круговой орбите и найдите радиус этой орбиты. Пусть коэффициент пропорциональности в выражении для силы через скорость равен $\beta$, т. е. $F=\beta v$.
9. 2. Найдите радиусы кривизны орбиты, изображенной на фиг. 9.6 в «Лекциях» (вып. 1, стр. 173) в моменты времени $t=0, \quad t=0,82$ и $t=2,086$ сек.
9, 3. Мальчик бросает мяч вверх под углом $70^{\circ}$ к горизонту и попадает прямо в открытое окно, которое расположено на 9,6 м выше его плеча. Мяч влетает в окно горизонтально.
a) С какой скоростью вылетел мяч из руки?
б) Чему равен радиус кривизны траектории мяча, когда он перелетает через подоконник?
Можете ли вы определить радиус кривизны траектории в любой момент времени?
9. 4. Джим и Джо, два специалиста по космической физике, выросшие на разных планетах, встречаются на межпланетном симпозиуме Палаты мер и весов, посвященном утверждению универсальной системы физических единиц. Джим с гордостью описывает заслуги системы MKSA, которой пользуются все цивилизованные люди на Земле. Джо с неменьшей гордостью превозносит прелести системы $\mathrm{M}^{\prime} \mathrm{K}^{\prime} \mathrm{S}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}$, которой пользуются цивилизованные люди по всей Солнечной системе, кроме Земли. Если постоянные множители, которые связывают единицы массы, длины и времени в этих двух системах, равны $\mu$, $\lambda$ и $\tau$, так что
\[
m^{\prime}=\mu m, \quad l^{\prime}=\lambda . l \quad \text { п } \quad t^{\prime}=\tau t,
\]

то какие множители потребуются для перевода единиц измерения скорости, ускорения, силы и энергии из одной системы в другую?
9. 5. Қак будут связаны между собой численные значения гравитационной постоянной, измеренные в двух системах единиц, описанных в предыдущей задаче?
9. 6. Чему будет равно численное значение величины $G M_{\odot}$, если расстояние измерять в астрономических единицах, а время в годах?
9. 7. Если изготовить модель Солнецной системы в одну $k$-ю натуральной величины из материалов той же самой средней плотности, которая известна для настоящих планет и Солнца, то как будут зависеть от «масштабного фактора» $k$ периоды обращения «планет» модели по своим орбитам?
9. 8. На схеме изображена нашина Атвуда – одно нз первых приспособлений для измерения ускорения силы тяжести. Массы блока $P$ и нитей пренебрежимо малы, трение отсутствует. С обеих сторон блока подвешены грузы одинаковой массы $M$, и система находится в равновесии. Затем на однн из грузов кладется маленький разновесок $m$, и этот груз начинает опускаться. После того как он пройдет расстояние $h$, разновесок подхватывается специальным упором и грузы продолжают движение с постоянной скоростью $v$. Найдите ускорение силы тяжести $g$, если величины $m, M, h$ и $v$ известны.
9. 9. Двое молодых марсиан, Паоло и Франческа, хотят переправиться через марсианский канал Римини, но ни одна гондола не берет их обоих сразу, а переправляться в разных лодках они отказались. Находчивый гондольер Джузеппе умудряется все-таки заработать на их переезде. Он подвешивает эту парочку на мачте (см. рисунок) с помощью невесомых и абсолютно гладких блоков и веревок (характерная особенность всех марсианских конструкций) и быстро переправляет влюбленных через канал, пока ни один из них не успевает коснуться ни мачты, ни палубы. Много ли при этом Джузеппе выигрывает в нагрузке? Напоминаем: натяжение невесомой нити, перекинутой без трения через невесомый блок, одинаково с обеих сторон блока.
9.10. Космический путешественник собирается отправиться на Луну. У него есть пружинные весы и гиря $A$ массой 1 кг. Если подвесить эту гирю на пружине весов на Земле, они покажут $1 \kappa \Gamma$. Опустившись на некотором участке лунной поверхности, где ускорение силы тяжести точно не известно (известно лишь, что оно примерно в шесть раз меньше, чем на Земле), космонавт подбирает камень $B$, который вытягивает на весах тот же самый $1 \kappa \Gamma$. Затем он подвешивает $A$ и $B$ на нити, перекинутой через блок, как показано на рисунке, и обнаруживает, что камень опускается с ускорением $1,2 \mathrm{~m} /$ сек $^{2}$. Чему равна масса камня $B$ ?
9.11. К потолку лифта, масса которого $M_{2}$, подвешен груз массы $M_{1}$. Приложенная сила $F$ заставляет лифт двигаться с ускорением вверх $[F$ больше $\left.\left(M_{1}+M_{2}\right) g\right]$. Груз $M_{1}$ находится на расстоянии $S$ от пола лифта.
a) Найдите ускорение лифта.
б) Чему равно натяжение нити, которой груз привязан к потолку?
в) Нить внезапно оборвалась. Чему равно ускорение лифта и груза $M_{1}$ в следующий момент?
г) Сколько времени пройдет от момента разрыва нити до удара груза $M_{1}$ об пол?
9.12. Маляр работает в подвесном кресле (см. рисунок). Вес его $72 \kappa \Gamma$. Ему понадобилось срочно подняться вверх. Он принимается тянуть за веревку с такой силой, что его давление на кресло уменьшается до $40 \kappa \Gamma$. Само кресло весит $12 \kappa \Gamma$.
a) Чему равно ускорение маляра и кресла?
б) Чему равна полная нагрузка на блок?
9.13. Посмотрите на рисунок. Қакую постоянную горизонтальную силу нужно приложить к $M$, чтобы $M_{1}$ и $M_{2}$ относительно $M$ не двигались?
9.14. В системе, изображенной на рисунке, трение между любыми поверхностями отсутствует. Если грузику с массой $m=150$ 2, находящемуся над рамой на расстоянии $1,2 \boldsymbol{M}$, позволить двигаться, то за какое время он пройдет это расстояние? Масса рамы $M=1650 \quad$.
9.15. Груз, подвешенный на пружине, неподвижен. Затем он приводится в движение ударом, направленным снизу вверх, и в начальный момент его скорость равна единице. Масса и упругость пружины таковы, что уравнение движения имеет вид $\ddot{x}=-x$. Найдите максимальную высоту, которой достигнет груз, путем численного интегрирования уравнения движения.
9.16. Тело с массой $m$ движется прямолинейно. Движение тормозится силой, пропорциональной скорости тела, $F=-k v$. Найдите $x$ как функцию времени численным интегрированием, если в начальный момент $t=0, x=0$ и $v=v_{0}$. Найдите время $t_{1 / 3}$, за которое тело потеряет половину своей скорости, и максимальное расстояние $x_{m}$, которое пройдет тело.
Примечание. а) Подберите временной и линейный масштабы так, чтобы уравнение движения имело простые численные коэффициенты.
б) Придумайте схему расчета (аналогичную приведенной в тексте «Лекций»), которая обеспечивала бы хорошую точность при сравнительно большом шаге $\Delta t$.
в) Используйте соображения размерности, чтобы выяснить, как $t_{1 / 2}$ и $x_{m}$ зависят от $v_{0}$, $k$ и $m$, а уравнение движения решите только для одного удобного значения $v_{0}$, скажем для $v_{0}=1,00$ (в модифицированных единицах $x$ и $t$ ).
9.17. Заряженная частица движется в электрическом и магнитном полях согласно уравнениям движения
\[
\frac{d v_{x}}{d t}=-2 v_{y}
\]

и
\[
\frac{d v_{y}}{d t}=1+2 v_{x} .
\]

При $t=0$ частица находится в точке $(0,0)$ и скорость ее имеет составляющие $v_{x}=1,00$ и $v_{y}=0$. Определитө тип движения с помощью численного интегрирования. Прочтите примечание (б) к предыдущей задаче.
9.18. Мина вылетает из ствола миномета со скоростью 300 м/сек под углом $45^{\circ} \mathrm{K}$ горизонту. Ее движение тормозится силой, пропорциональной кубу скорости $\left(F=-k v^{3}\right)$. Коэффициент пропорциональности $k$ таков, что при скорости 300 м/сек сила сопротивления вдвое превышает вес мины. Численным интегрированием найдите приближенные значения максимальной высоты, на которую поднимется мина, и расстояние от точки выстрела, на котором она упадет на землю. Сравните их с величинами, получающимися при отсутствии сопротивления воздуха.

К главе 10. Занон сохранения импульса

10. 1. В горизонтальном воздушном желобе (он описан в гл. 10 «Лекций», вып. 1, стр. 181) могут свободно двигаться два тела. Одно неподвижно, а другое налетает на него, и происходит абсолютно упругое столкновение, после чего тела разлетаются в противоположных направлениях с равными скоростями. Чему равно отношение их масс?
10. 2. Два одинаковых массивных тела движутся навстречу друг другу в горизонтальном воздушном желобе с одинаковыми по величине скоростями $v$ и -v. Происходит почти упругое соударение, и они разлетаются в противоположные стороны с несколько меньшими скоростями. При столкновении теряется доля кинетической энергии $f \ll 1$. Если бы до столкновения одно из этих тел покоилось, какова была бы скорость второго тела после столкновения? (Эту маленькую остаточную скорость $\Delta v$ легко выразить через $v$ – конечную скорость тела, покоившегося до столкновения, и таким путем определить упругость пружинных буферов.)
Примечание. Если $x \ll 1$, то $\sqrt{1-x} \approx 1-x / 2$.
10. 3. Спутник Земли весом 10 ке со средним поперечным сечением $0,50 \mathrm{M}^{2}$ движется по круговой орбите на высоте 200 км, где средний пробег молекул измеряется многими метрами и плотность воздуха равна $1,6 \cdot 10^{-10} \kappa 2 / \mathrm{m}^{3}$. Приближенно будем считать соударения молекул со спутником абсолютно неупругими (молекулы не то чтобы прилипают к спутнику, но отскакивают от него с очень малыми относительными скоростями). Подсчитайте, какая тормозящая сила будет действовать на спутник за счет трения о воздух. Как будет зависеть эта сила от скорости спутника? Будет ли скорость спутника уменьшаться под действием всех приложенных к нему снл? (Учтите зависимость орбитальной скорости спутника от высоты круговой орбиты.)
10. 4. Ракета, первоначальная масса которой $M_{0}$ ке, выбрасывает продукты сгорания топлива с постоянной скоростью $v_{0}$ (по отношению к ракете). В 1 сек выбрасывается $d m / d t=-r_{0}$ кә/сек газов.
a) Рассчитайте ускорение ракеты в начальный момент, пренебрегая силой тяжести.
б) Если скорость истечения $v_{0}=2,0 \mathrm{\kappa м} /$ сек, сколько килограммов газов в секунду необходимо выбрасывать для создания тяги $10^{5} \kappa \Gamma$ ?
в) Запишите дифференциальное уравнение, которое связывает скорость ракеты с ее остаточной массой, и, если можете, решите это уравнение.
10. 5. Если два тела движутся по одной прямой, то существует такая систена координат, в которой импульс одного тела равен по величине и противоположен по направлению импульсу другого тела. Это значит, что суммарный импульс двух тел в такой системе равен нулю. Такая система отсчета называется системой центра масс (сокращенно п. м.). Если массы тел равны $m_{1}$ и $m_{2}$, а тела движутся со скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ соответственно, то покажите, что скорость системы ц. м. равна
\[
v_{\mathrm{u} \cdot \mathrm{M} .}=\frac{m_{1} v_{1}+m_{2} v_{2}}{m_{1}+m_{2}} .
\]
10. 6. Обобщите результат задачи 10.5 на произвольное число тел, движущихся по одной прямой, т. е. найдите скорость системы координат, в которой суммарный импульс всех этих тел равен нулю.
10. 7. Пусть $T$ – полная кинетическая энергия двух тел в задаче $\mathbf{1 0 . 5}$, а $T_{\text {ц.м. }}$ – их полная кинетическая энергия в системе ц. м. Покажите, что
\[
T=T_{\text {ц. . } .}+\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) v_{\text {ц. . } .}^{2} .
\]
10. 8. Можете ли вы обобщить результат задачи 10.7 на произвольное число тел?
10. 9. Нейтрон с кинетической энергией $E$ испытывает лобовое столкновение с покоящимся ядром $\mathrm{C}^{12}$ и отскакивает от него после абсолютно упругого соударения в направлении, прямо противоположном начальному направлению своего движения. Қак изменится кинетическая энергия нейтрона после соударения?
10.10. Скорость ружейной пули можно измерить с помощью баллистического маятника: пуля с известной массой $m$ и неизвестной скоростью $v$ попадает в покоящийся деревянный брусок массы $M$, подвешенный на нити длиной $L$, и застревает в нем. Брусок при этом приходит в движение. Амплитуду его колебаний $x$ можно измерить и, используя закон сохранения энергии, определить тем самым скорость бруска сразу после попадания в него пули. Выразите скорость пули через $m, M, L$ и $x$.

К главе 11. Векторы

11. 1. Если три вектора заданы равенствами $\mathbf{a}=3 \mathbf{i}+2 \mathbf{j}-\mathbf{k}$, $\mathbf{b}=2 \mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}$ и $\mathbf{c}=\mathbf{i}+3 \mathbf{j}$, получите
a) $a+b$,
б) $a-b$,
в) $a_{x}$
г) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{i}$,
д) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$,
e) $(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b}-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}$.
11. 2. Велосипедист едет со скоростью 10 миль в час в северном направлении, и ему кажется, что ветер (который дует со скоростью 6 миль в час откуда-то с северо-востока) направлен почти навстречу ему, под углом $15^{\circ} \mathrm{K}$ линии его движения.
a) Определите истинное направление ветра.
б) Найдите кажущееся направление ветра с точки зрения велосипедиста, который едет в обратном направлении с той же скоростью 10 миль в час.
11. 3. Вы находитесь на судне, которое идет на восток с постоянной скоростью 15 узлов. Корабль, идущий постоянным курсом с известной скоростью 26 узлов, находится в 6 милях южнее. Позднее он проходит у вас за кормой, причем расстояние наибольшего сближения составляет 3 мили.
a) Найдите курс этого корабля.
б) Какое время прошло между двумя моментами, описанными в задаче?
11. 4. Колесо радиуса $R$ катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Қолесо расположено в вертикальной плоскости, а ось его движется горизонтально с постоянной скоростью $v$ относительно поверхности. Вычислите величину и направление скорости произвольной точки на ободе колеса. Убедитесь, что скорости точек на ободе таковы, как если бы колесо вращалось вокруг мгновенной оси, проходящей через точку соприкосновения колеса с горизонтальной поверхностью.
11. 5. Моторная лодка, скорость которой относительно воды равна $v$, движется по прямолинейному участку реки. Скорость течения постоянна и равна $u$. Сперва лодка поднимается вверх по течению на расстояние $d$ от своей стоянки и возвращается обратно, а затем отправляется в пункт на противоположном берегу реки как раз напротив стоянки и возвращается обратно. Ширина реки также равна $d$. Для простоты будем предполагать, что лодка все время движется с постоянной скоростью, и на разворотах время не теряется. Если $t_{V}$ – время поездки вдоль реки, $t_{A}$ – время поездки поперек, а $t_{L}$ – время, за которое лодка прошла бы расстояние $2 d$ по озеру, то:
a) чему равно отношение $t_{V} / t_{A}$ ?
б) чему равно отношение $t_{A} / t_{L}$ ?
11. 6. Человек, стоящий на берегу реки шириной в 1 милю, хочет переправиться на другой берег, в прямо противоположную точку. Он может сделать. это двумя способами: 1) плыть все время под углом к течению, так что результирующая скорость будет все время перпендикулярна берегу; 2) плыть прямо к противоположному берегу, а расстояние, на которое его снесет течением, пройти затем по берегу пешком. Плавает он со скоростью 2,5 мили в час, а идет со скоростью 4 мили в час. Скорость течения 2 мили в час. Қакой способ позволит переправиться скореe?
11. 7. Даны два одинаковых клина с углами наклона $45^{\circ}$ и одинаковыми массами $M_{1}=M_{2}=8,0$ кг. Все плоскости абсолютно гладкие, как и у груза с массой $M=384$ ке, который требуется приподнять с помощью этих клиньев. Оба клина лежат на гладкой горизонтальной плоскости; один из них упирается в вертикальную стену, а к другому приложена горизонтальная сила $F=592 \kappa \Gamma$.
a) Найдите величину и направление ускорения подвижного клина $M_{1}$.
б) Найдите величину и направление ускорения груза $M$.
в) С какой силой давит неподвижный клин $M_{2}$ на груз $M$ ?
11. 8. Материальная точка с массой $m$ висйт на конце нити произвольной заданной длины, а другой конец нити прикреплен к шаровому шарниру, в котором отсутствует трение. Эта материальная точка приводится в движение по круговому горизонтальному пути, который лежит в плоскости, отстоящей от шарнира на $H$. Найдите период движения.
11. 9. Обобщите результаты задач 10.5 и 10.8 на трехмерное движение, используя векторную символику. Введите обозначение $M=\sum_{i=1}^{n} m_{i}$.
11.10. «Частица» с массой $m_{1}=2 \kappa 2$, движущаяся со скоростью $\mathbf{v}_{\mathbf{1}}=3 \mathbf{i}+2 \mathbf{j}-\mathbf{k}$ м/сек, испытывает абсолютно неупругое столкновение с другой частицей, масса которой $m_{2}=3 \kappa 2$, а скорость $\mathbf{v}_{2}=-2 \mathbf{i}+2 \mathbf{j}+4 \mathbf{k}$ м/сек. Найдите скорость получившейся составной частицы.
11.11. Найдите кинетическую энергию частиц, описанных в задаче 11.10, в системе ц. м. до столкновения.
11.12. Тело с массой 1 кг, движущееся точно на север со скоростью 6 м/сек, сталкивается с покоящимся телом, масса которого 2 кг. После соударения тело с меньшей массой движется под углом $45^{\circ} \mathrm{K}$ направлению своего первоначального движения (на северовосток) со скоростью 2,82 м/сек.
a) Чему равна скорость тела с массой 2 ке?
б) Қакая доля кинетической энергии в системе ц. м. «пропала» из-за неупругости соударения?
в) На какой угол отклонилось более легкое тело в системе ц. м.?
11.13. Движущаяся частица испытывает абсолютно упругое столкновение с покоящейся частицей равной массы. Покажите, что после соударения частицы разлетаются под прямым углом.
При анализе двухчастичных столкновений полезно использовать следующий подход:
1) Найдите $\mathbf{v}_{\text {ц. }}$, т. е. скорость системы ц. м.
2) Вычтите $\mathbf{v}_{\text {и.м. }}$. из $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ (скорости первой и второй частиц до столкновения), чтобы получить начальные скорости в системе ц. м., т. е. $\mathbf{v}_{1}^{\prime}$ и $\mathbf{v}_{2}^{\prime}$.
3) Импульсы обеих частиц теперь равны по величиће и противоположны по направлению.
4) Происходит столкновение, в результате которого:
a) поворачивается линия относительно движения частиц 1 и 2 ;
б) абсолютные величины векторов $\mathbf{v}_{1}^{\prime}$ и $\mathbf{v}_{2}^{\prime}$ увеличиваются, уменышаются или остаются неизменными в зависимости от того, выделяется, поглощается или остается неизменной энергия в процессе столкновения.
5) Прибавьте $\mathbf{v}_{\text {ц.м. }}$. к скоростям $\mathbf{v}_{1}^{\prime}$ и $\mathbf{v}_{2}^{\prime}$ в системе ц. м. после соударения. Получатся скорости $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ после столкновения в «лабораторной» системе.
11.14. Два маленьких шарика $A$ и $B$ движутся под действием силы тяжести с ускорением $9,8 \mathrm{M} /$ сек $^{2}$. Масса каждого шарика равна 1 е (ускорение считать направленным по оси $z$ ).
Заданы следующие начальные условия: при $t=0$
\[
\begin{array}{ll}
\mathbf{r}_{a}(0)=7 \mathbf{i}+4,9 \mathbf{k} \mu, & \mathbf{v}_{a}(0)=7 \mathbf{i}+3 \mathbf{j} \text { м } / \text { сек, } \\
\mathbf{r}_{b}(0)=49 \mathbf{i}+4,9 \mathbf{k} \text { м }, & \mathbf{v}_{b}(0)=-7 \mathbf{i}+3 \mathbf{j} \text { м } / \text { сек. }
\end{array}
\]

Найдите $\mathbf{r}_{a}(t)$ и $\mathbf{r}_{b}(t)$ для всех моментов времени $t>0$.
11.15. Частица массы $m_{1}$ налетает со скоростью $\mathbf{v}_{1}$ на покоящуюся частицу, масса которой $m_{2}=3 m_{1}$. Происходит абсолютно упругое соударение, после которого частица $m_{2}$ движется под углом $\theta_{2}=45^{\circ} \mathrm{K}$ первоначальному направлению движения частицы $m_{1}$ (см. рисунок). Требуется найти $\theta_{1}$ – угол отклонения первой частицы и величины скоростей $\mathbf{1}_{1}$ и $\mathbf{u}_{2}$.
11.16. Частица массы $M$ налетает на покоящуюся частицу массы $m(m<M)$, и происходит упругое столкновение. Найдите максимально возможное значение угла отклонения налетающей частицы.
11.17. Частица массы $m$ упруго сталкивается с покоящейся, масса которой $M>m$, и отклоняется от пер. воначального направления на $90^{\circ}$. Под каким углом $\theta$ к направлению первоначального движения полетит более тяжелая «частица отдачи»?
11.18. Пусть в столкновении, описанном в предыдущей задаче, теряется доля $1-\alpha^{2}$ кинетической энергии в системе ц. м. Чему равен в этом случае угол вылета частицы отдачи, покоящейся до столкновения?
11.19. Частица с массой 1 ке движется так, что ее положение в любой момент времени определяется радиусом-вектором
\[
\mathbf{r}=t \mathbf{i}+\left(t+\frac{t^{2}}{2}\right) \mathbf{j}-\left(\frac{4}{\pi^{2}}\right) \sin \pi \frac{t}{2} \mathbf{k} .
\]
a) Определите положение, скорость, ускорение и кинетическую энергию частицы в моменты времени $t=0$ и $t=1$ сек.
б) Получите выражение для силы, которая заставляет частицу двигаться.
в) Найдите радиус кривизны траектории частицы в момент времени $t=1$ сек.
11.20. В начальный момент частица находится в точке $\mathbf{r}_{0}$ и имеет скорость $\mathbf{v}_{0}$. Определите ее дальнейшее движение под действием силы тяжести.
11.21. Используйте векторную алгебру для нахождения расстояния по дуге большого круга между двумя точками земной поверхности, долгота и широта которых равны соответственно $\left(\lambda_{1}, \varphi_{1}\right)$ и $\left(\lambda_{2}, \varphi_{2}\right)$. Примечание. Используйте прямоугольную систему координат с началом в центре Земли. Одну ось этой системы направьте вдоль земной оси, другуюв направлении, определяемом углами $\lambda=0, \varphi=0$, а третью – под углами $\lambda=0, \quad \varphi=90^{\circ}$. (Долгота пусть меняется от 0 до $360^{\circ}$ с востока на запад.)
11.22. Чему равны величина и направление ускорения Луны:
a) в новолуние?
б) в первую четверть?
в) в полнолуние?
Примечание. Расстояние от Земли до Солнца равно $1,5 \cdot 10^{8} \kappa м$, расстояние от Земли до Луны $3,85 \cdot 10^{5} \kappa м$, масса Солнца составляет $3,33 \cdot 10^{5}$ земных масс.

К главе 12. Характеристики силы

12. 1. Қирпич массы $m$ скользит по накліонной плоскости, образующей с горизонтом угол $\theta$. Если коэффициент трения скольжения $\mu<\operatorname{tg} \theta$, то с каким ускорением будет двигаться кирпич:
a) вверх по плоскости?
б) вниз по плоскости?
в) под углом $\varphi$ к горизонтальной линии на плоскости?
(Представьте себе, что к плоскости приложена гладкая линейка, вдоль которой и движется кирпич. Используйте в наклонной плоскости координаты $x$ и $y$; $x$ направьте по горизонтали, а $y$-вверх по наклонной плоскости.)
12. 2. Пусть в предыдущей задаче $m=1,00 \kappa 2, \mu=0,20$, а $\theta=30^{\circ}$. Если кирпич движется в начальный момент по наклонной плоскости вверх со скоростью 3,00 м/сек, то:
a) как далеко вверх он поднимется?
б) сколько времени ему понадобится, чтобы попасть в высшую точку и вернуться в исходную?
в) сколько энергии он потеряет за это время?
12. 3. Тело весом $W$ покоится на шероховатой плоскости, наклоненной к горизонту под углом $\alpha$.
a) Қоэффициент статического трения $\mu=2 \operatorname{tg} \alpha$; найдите минимальную горизонтальную силу $H_{\text {мин }}$, которая способна будет привести тело в движение (см. рисунок).
б) В каком направлении начнет двигаться тело?
12. 4. Груз весом 1 ка подвешен на двух нитях. Первая нить длиной 1,5 м привязана к кольцу, которое скользит по горизонтальному стержню (см. рисунок). Коэффициент трения между кольцом и стержнем равен 0,75 . Ко второй нити привязан грузик, и она перекинута через блок, прикрепленный к стержню на 2,5 м левее кольца. Груз, подвешенный ко второму концу нити, увеличивают до тех пор, пока кольцо не начинает скользить. Найдите:
a) величину груза $W$, при которой кольцо начнет скользить,
б) натяжение нити длиной 1,5 м и угол $\theta$.
12. 5. На рисунке показан в разрезе простейший вертикальный замок. Нижняя его часть $A$ может двигаться по горизонтальному пазу. Стенки паза аб. солютно гладкие, но плоскости соприкосновения брусков $A$ и $B$, наклоненные под $45^{\circ}$ к горизонтали, шероховаты, и коэффициент трения между ними равен $\mu$. Какова минимальная сила $F$, которую необходимо приложить, чтобы привести части замка в движение, если масса задвижки $B$ равна $m$ ?
12. 6. Один неосторожный молодой человек проводит следующий опыт. Он ставит плоские медицинские весы на деревянную подставку с роликами, которая может скатываться без трения по наклонной плоскости (см. рисунок). Затем сам становится на весы и катится вниз, наблюдая за показаниями весов. Чему равен угол наклона плоскости, если весы показывают в этот момент 120 фунтов, а молодой человек весит 160 фунтов?
12. 7. В устройстве, показанном на рисунке, груз $M_{1}$ скользит без трения по наклонной плоскости; $\theta=30^{\circ}$, $M_{1}=400$ г, $M_{2}=200$ г. Найдите ускорение груза $M_{2}^{\prime}$ и натяжение нитей.
12. 8. Длина наклонной плоскости, изображенной на рисунке, 130 см, верхний ее конец расположен на 50 см выше нижнего. На этой плоскости лежат один на другом два бруска с массами $m_{1}(200$ г) и $m_{2}(60$ г). Коэффициент статического трения между брусками равен 0,5 , а коэффициент трения скольжения между плоскостью и нижним бруском 0,33 . К нижнему бруску приложена сила $F$, параллельная наклонной плоскости.
a) Чему равно ускорение нижнего бруска в тот момент, когда верхний только-только начинает соскальзывать с него?
б) Чему равно значение силы $F$ перед началом этого соскальзывания?
12. 9. Куб массы $M$ прислонен к стене в наклонном положении, как показано на рисунке. Между кубом и стеной трение отсутствует, но между кубом и полом оно есть, и величины коэффициента трения $\mu$ как раз еле хватает на то, чтобы куб не начал скользить. Если $0<\theta<45^{\circ}$, найдите это минимальное значение коэффициента трения как функцию $\theta$. Проверьте свой ответ, рассмотрев предельные случаи $\theta \rightarrow 0$ и $\theta \rightarrow 45^{\circ}$, и рассчитайте значение $\theta$, при котором $\mu=1$.
12.10. Кронштейн для подвешивания небольших грузов, который легко устанавливается на любой высоте, очень удобен. Один такой кронштейн изображен на рисунке, там же приведены и основные размеры. Он может передвигаться по вертикальной стойке и удерживается на одном уровне силой трения. Если коэффициент статического трения между кронштейном и стойкой равен 0,30 , а вес груза, подвешенного на расстоянии $x$ от стойки, в 50 раз превышает вес самого кронштейна, каково будет минимальное значение $x$, при котором кронштейн не соскальзывает по столбу?
12.11. а) Веревка, движущаяся с небольшой скоростью $v$, трется о цилиндрический столб (см. рисунок). $У_{\text {гол }} \Delta \theta$ много меньше 1 рад. Если натяжение веревки с одной стороны столба равно $T+\Delta T$, а с другой $T$, то чему равна разность $\Delta T$, возникающая за счет трения?
б) Проинтегрируйте результат для $\Delta T$, полученный в пункте (a), и найдите отношение натяжений на двух концах веревки, которая заворачивается вокруг столба на конечный угол $\alpha$ и натянута так, что начинает проскальзывать.
12.12. Тело находится у основания абсолютно гладкой полосы длиной 1 м, наклоненной под углом $20^{\circ}$ к горизонтали. Полоса начинает двигаться с горизонтальным ускорением $\mathrm{a}=4,00 \mathrm{~m} / \mathrm{ce \kappa}^{2}$. За какое время тело достигнет верхнего края полосы?
12.13. Напишите размерности
a) электрического поля $E$;
б) магнитной индукции $B$;
в) отношения $E / B$;
г) гравитационного поля.
12.14. Заряженная частица движется в плоскости, перпендикулярной магнитному полю В. Покажите, что движение совершается по круговой орбите, и найдите радиус орбиты.
12.15. Найдите время одного оборота частицы из предыдущей задачи. Ответ на этот вопрос необходимо знать при управлении циклотроном. Почему?
12.16. Частица с массой $m$ и зарядом $q$ движется в электромагнитном поле, у которого от нуля отличны только компоненты $E_{y}$ и $B_{z}$.
a) Напишите уравнение движения частицы.
б) Примените преобразование Галилея к координатам частицы: $x^{\prime}=x-\left(E_{y} / B_{z}\right) t$,
\[
\begin{array}{l}
y^{\prime}=y, \\
z^{\prime}=z .
\end{array}
\]
в) Какое заключение после этого можно сделать о движении частицы во взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях?

К главе 14. Работа и потенциальная энергия

14. 1. Сила $\mathbf{F}=1,5 y \mathbf{i}+3 x^{2} \mathbf{j}-0,2\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathbf{k}$ ньютон действует на материальную точку с массой 1,00 кг. При $t=0$ положение частицы описывается радиусом-вектором $\mathbf{r}=2 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}$ м, и она движется со скоростью $\mathbf{v}=2 \mathbf{j}+\mathbf{k}$ м/сек. Найдите для $t=0$ :
a) силу, которая действует на частицу;
б) ускорение частицы;
в) ее кинетическую энергию;
г) скорость изменения кинетической энергии.
14. 2. Найдите приближенно положение, скорость и кинетическую энергию частицы из предыдущей задачи в момент $t=0,01$ сек.
14. 3. Частица движется от точки $(0,-1,0)$ в точку $(0,+1,0)$ по абсолютно гладкому пути под действием той же, что и в задаче 14.1, силы $\mathbf{F}$ (плюс некоторая сила, удерживающая частицу и не дающая ей «сойти с пути»). Найдите работу, совершенную силой F для двух вариантов траектории:
a) прямая вдоль оси $y$;
б) окружность в плоскости $z-y$.
Является ли поле силы $\mathbf{F}$ консервативным?
14. 4. Материальная точка массы 6,0 ке может двигаться вдоль оси $x$ без трения. В каждом из перечисленных ниже случаев она начинает движение при $x=0$ и $t=0$.
1) Точка проходит расстояние в 3 м под действием силы $F=(3+4 x)$ ньютон ( $x$ в метрах).
a) Какую скорость она при этом приобретет?
б) Қаково ее ускорение в конце пути?
в) Чему равна мощность, затрачиваемая на ее движение в этот момент?
8) Точка движется в течение 3 сек под действием силы $F=(3+4 t)$ ньютон (время в секундах). Ответьте на вопросы (а) – (в) для этого случая.
14. 5. Сферическая оболочка радиуса 0,5 м равномерно заряжена до потенциала $10^{6}$ в. Найдите ее заряд.
14. 6. Қак правило, конденсатор состоит из двух металлических тел, несущих заряды разного знака. Емкость $C$ определяется как отношение заряда на одном из тел к разности потенциалов между ними:
\[
C=\frac{Q}{\varphi_{2}-\varphi_{1}} \phi .
\]

Определите емкость двух концентрических сфер с радиусами $A$ и $B$.
14. 7. Если бы Земля несла нескомпенсированный электрический заряд 1 кулон, чему был бы равен ее потенциал?
14. 8. Автомобиль весит $1000 \kappa \Gamma$. Максимальная мощность, развиваемая его двигателем, равна 120 квт. Пусть эта максимальная мощность достигается на скорости 60 км/час. Каково ускорение автомобиля на этой скорости?
14. 9. Гибкий кабель длиной $L$ и весом $M \kappa \Gamma$ на погонный метр перекинут через блок, масса и радиус которого пренебрежимо малы. Трение в блоке отсутствует. В начальный момент кабель находится в положении равновесия, из которого его выводит слабый рывок за один из концов. Более длинная часть начинает перевешивать, и кабель с ускорением соскальзывает с блока. Найдите скорость кабеля в тот момент, когда через блок проходит его конец.
14.10. Вода (плотность ее 1 г/cм $\boldsymbol{m}^{3}$ ) прокачивается через гладкий шланг и вырывается из его наконечника, поперечное сечение которого равно 35 см $^{2}$. Струя направлена под углом $30^{\circ} \mathrm{K}$ горизонту и взлетает на 4,8 м выше выходного отверстия. Подающий
џланг насоса погружен в большой резервуар, уровень воды в котором на 2,4 м ниже наконечника. Если полный к. п. д. насоса вместе с электромотором составляет $60 \%$, какую мощность потребляет мотор?
14.11. Мировые рекорды в толкании ядра, метании диска и копья составляли в 1960 г. $19,40,59,96$ и 86,09 м соответственно. Массы этих метательных снарядов равны соответственно $7,257,1,99$ и 0,806 кг. Округлите эти цифры и сравните работу, затраченную каждым спортсменом в рекордном броске для трех снарядов, предполагая каждый раз, что снаряд вылетает под углом $45^{\circ}$ с уровня 1,8 м над землей. Сопротивлением воздуха пренебрегите.
14.12. Мощность двигателя машины 85 л. с., а вес машины $1200 \kappa \Gamma$. При движении с постоянной скоростью 48 км/час мощность, развиваемая двигателем, равна всего 20 л. с. Найдите величину самого крутого уклона, на который эта машина может подниматься с такой скоростью, считая, что сопротивление трения от наклона дороги не зависит. (Величину уклона характеризуйте либо углом по отношению к горизонтали, либо какой-нибудь функцией этого угла.)
14.13. Масса $M$ некоего сферического тела радиуса $R$ равномерно распределена по его объему. Қаков гравитационный потенциал и напряженность гравитационного поля, создаваемого этим телом на разных расстояниях от его центра? Представьте результат графически.
14.14. Чашка пружинных весов весит $0,025 \kappa \Gamma$, а упругость пружины составляет $15,3 \mathrm{ньютон/м}$. Грузик массы $m=50$ г падает на чашку с высоты $h=9,0$ см. Соударение абсолютно неупругое. На какое максимальное расстояние опустится грузик? Отсчет ведется от точки, из которой он начал падать.
14.15. Пружина с упругой постоянной $k$ растянута под действием постоянной силы $F$ и находится в равновесии. Считая растяжение по-прежнему пропорциональным силе, показать, что при смещениях относительно нового положения равновесия упругая постоянная та же.
14.16. Небольшая тележка движется без трения по наклонному пути, в нижней точке которого установлена «мертвая петля» радиуса $R$. С какой высоты $H$ должна начать движение тележка, чтобы пройти петлю, не сорвавшись?
14.17. Материальная точка покоится в верхней точке абсолютно гладкой сферы радиуса $R$, а затем начинает скользить вниз по поверхности сферы под действием силы тяжести. Қакое расстояние пройдет она вниз от начальной точки прежде, чем оторвется от сферы?
14.18. Небольшое тело массы $m$ движется под влиянием гравитационного притяжения по эллиптической орбите вокруг массивного тела массы $M$. Тяжелое тело можно считать неподвижным. Большая полуось орбиты равна $a$, ее эксцентриситет равен $e$. Вычислите полную энергию тела $E$ (кинетическую плюс потенциальную). Обратите внимание на то, что результат не зависит от эксцентриситета.
14.19. а) Покажите, что площадь эллипса равна лаb.
б) Получите третий закон Кеплера для эллиптических орбит.
в) Покажите, что орбиты всех тел, у которых на единицу массы приходится одинаковая энергия, соответствуот равным периодам обращения. (Для простоты предполагайте, что $m \ll M$.)
14.20. Скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно покинуло гравитационное поле Земли, равна примерно 11 км/сек. Если межпланетный корабль после сгорания всего топлива (при выходе из атмосферы) двигался со скоростью 12 км/сек, какова будет его скорость на расстоянии $10^{6}$ км от Земли?
14.21. Двигатели космического корабля прекращают работу где-то в районе Земли. Қакую минимальную скорость должен набрать космический корабль, чтобы покинуть пределы Солнечной системы, имея «на выходе» скорость 16 км/сек относительно Солнца? Скорость Земли в ее орбитальном движении равна 30 км/сек.
14.22. Космический корабль из предыдущей задачи должен покинуть Солнечную систему в определенном направлении. Какова максимальная скорость запуска с Земли, которая может для этого потребоваться?
14.23. Требуется вывести космический корабль на околосолнечную орбиту с перигелием 0,01 A.E. и тем же периодом обращения по орбите, который имеет Земля (1 год). С какой скоростью и в каком направлении относительно линии Земля – Солнце нужно запустить этот корабль с Земли? Орбитальная скорость Земли равна $30 \mathrm{\kappa м} /$ сек.
14.24. Внутри сферического тела радиуса $R$ и плотности $\rho$ имеется сферическая полость радиуса $R / 4$. Центр ее находится на расстоянии $R / 4$ от точки $C$ – центра большой сферы, на линии $P C$, соединяющей $C$ с точкой $P$, которая находится на расстоянии $X$ от поверхности большой сферы (см. рисунок). Найдите ускорение силы тяжести а в точке $P$.