$К$ главе 1. Амплитуды вероятности
1. 1. В этой главе описан мысленный эксперимент по интерференции электронов на двойной щели. По интерференционной картине, приведенной на фиг. 1.1 «Лекций» (вып. 8, стр. 11), можно оценить длину волны $\lambda$, связанную с амплитудными функциями $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$. Обозначим расстояние между центрами щелей буквой $a$.
a) Чему равна $\lambda$ ?
б) Используя кривые для $P_{1}$ и $P_{2}$, рассчитайте ожидаемую величину $P_{12}$ в центре полосы, в первом боковом максимуме и первых двух минимумах интерференционной картины. Сравните полученные результаты с кривой $P_{12}$.
1, 2. Рассмотрите эксперимент по интерференции электронов на двойной щели, описанный в предыдущей задаче, предположив, что расстояния от электронной пушки до щели и от щелей до экрана очень велики по сравнению с промежутком между щелями, а ширина щелей много меньше этого промежутка. Дайте ответ (по возможности количественный) на следующие вопросы:
a) Что произойдет с интерференционной картиной $P_{12}$, если электронную пушку сдвинуть вверх на расстояние $D$ ?
б) Қак изменится интерференционная картина, если расстояние между щелями удвоить?
в) Что случится, если первую щель сделать вдвое шире второй?
1. 3. Монохроматический свет, поляризованный в вертикальной плоскости, падает на пленку – поляроиднось пропускания» которой образует с вертикалью угол $\theta$.
Чему будет равно отношение интенсивности света, прошедшего через пленку, к интенсивности падающего света? А что сделает поляроид с единичным падающим фотоном?
1. 4. Пучок электронов с энергией $20 \kappa э$ проходит через тонкую поликристаллическую золотую фольгу, а затем попадает иа фотопластинку. Области почернения на пластинке имеют форму концентрических колец с центрами на оси пучка. Почему? Рассчитайте диаметр колец, если расстояние от фольги до пластинки равно $10 \mathrm{~cm}$.
1. 5. Вернемся к обычному интерференционному опыту с двойной щелью (см. фиг. 1.1 «Лекций», вып. 8, стр. 11). Если $a_{1}$ и $a_{2}$ – два комплексных числа, равные амплитудам вероятности нахождения электронов соответственно в щелях 1 и 2 , то как выглядит формула для относительной интенсивности распределения электронов на экране в зависимости от $x$ расстояния от центральной точки? Считайте $x$ приближенно малой величиной; ответ должен выражаться через расстояния между щелями и от щелей до экрана.
1. 6. В дифракционном опыте (схема которого приведена на рисунке) частицы, испускаемье источником, имеют импульс $p_{0}$, массу $M$ и скорость $\mathbf{v}$.
a) Чему равно расстояние $a$ между центральным максимумом и его ближайшим соседом? Считайте
\[
L \gg d, \quad L \gg a .
\]
б) Внешнее воздействие меняет фазу для верхнего пути на $\delta \varphi_{1}$, а для нижнего пути на $\delta \varphi_{2}$. Покажите, что центральный максимум смещается при этом на расстояние $S$, определяемое выражением
\[
S=+\left(\delta \varphi_{1}-\delta \varphi_{2}\right) \frac{L}{d} \frac{\hbar}{p_{0}} .
\]
Таким образом, если величина $\left(\delta \varphi_{1}-\delta \varphi_{2}\right)$ для всех путей одинакова, то на расстояние $S$ смещается вся дифракционная картина и мы можем сказать, что на расстояние $S$ отклоняются все частицы.
в) Предположим, что в области $A$ частицы обладают небольшой потенциальной энергией, которая зависит только от вертикальной координаты. Тогда импульс частиц на высоте $x$ над центральной линией [обозначим его $p(x)$ ] будет несколько отличаться от $p(0)$ – своего значения на центральной линии. Покажите, что
\[
p(x)=p(0)+\frac{M}{p(0)}(V(0)-V(x)),
\]
или, когда $V(x)$ меняется с расстоянием медленно, $p(x)=p(0)+F x / v$, где $F=-d V / d x$.
г) При условиях, описанных в пункте (в), импульсы при движении по прямым (1) и (2) будут отличаться друг от друга (как и длины волн). Покажите, что разность фаз для верхнего и нижнего путей равна
\[
\left(\delta \varphi_{1}-\delta \varphi_{2}\right)=\frac{d}{2 v} \frac{F}{\hbar} L .
\]
(Заметим, что среднее вертикальное расстояние между двумя этими прямыми равно $d / 2$.) Покажите, что интерференционные полосы смецаются вверх на величину $1 / 2 T^{2}(F / M)$, где $T=L / v-$ время пролета (в классическом смысле) от щели до экрана. Поясните смьсл результата.
1. 7. Электроны со спином $1 / 2$ испускаются источником $S$, помещенным перед экраном с двумя щелями, как показано на рисунке. Предположим, что электрон, достигший щели, проходит через нее с амплитудой $\alpha$, если его спин направлен вверх, и с амплитудой $\beta$, если его спин направлен вниз. Предположим далее, что различить, через какую щель электрон прошел, невозможно.
a) Если все электроны испускаются «спином вверх», рассчитайте распределение интенсивностей на экране в точке $x$, выразив ее через $\alpha, \beta$ и амплитуды $\langle x \mid s\rangle$ (см. вып. 8, стр. 12, 13).
б) Как отличается это распределение от того случая, когда все электроны испускаются «спином вниз», при прочих равных условиях?
в) Если направление спинов случайно, а все остальные условия опыта сохраняются, то чем будет отличаться интерференционная картина от случая (а)?
1. 8. Сколь это ни удивительно, но большие интерференционные эффекты можно наблюдать даже в том случае, если одна из «интерферирующих возможностей» имеет не очень большую вероятность. Покажите, что в эксперименте по дифракции на двух отверстиях, даже когда вероятность проникнуть через одно из них в 100 раз меньше, чем через другое, дифракционный максимум все еще на $50 \%$ выше минимума.
1. 9. Диаметр ближайших к Земле звезд слишком мал, и его нельзя определить даже при помощи лучших современных телескопов, поскольку их угловое разрешение больше «углового диаметра» звезд. Диаметр звезд впервые определил Майкельсон, используя оптический интерферометр. Но точности этого метода едва хватает для самых близких звезд. В 1956 г. Браун и Твисс предложили новый метод для таких измерений, названный ими «методом корреляции интенсивностей» [Nature, 178, 1046 (1956)]. Они опробовали его на звезде Сириус. Для этого они взяли два параболических рефлектора (авторы использовали зеркала от старых прожекторов), в фокусе каждого из которых был установлен фотоумножитель. Выходы умножителей соединялись коаксиальным кабелем с электронной схемой, которая регистрировала среднее значение от произведения токов в обоих умножителях (так называемую «корреляционную функцию»). По поведению этого произведения в зависимости от расстояния между зеркалами определялся угловой диаметр звезды. В то время многие физики утверждали, что этот метод не годится, поскольку свет – это фотоны, а каждый фотон попадает либо на одно зеркало, либо на другое, и никакой корреляции двух токов, следовательно, наблюдаться не может. Вы можете опровергнуть этот аргумент, рассматривая следующий идеализированный эксперимент. Два небольших источника света, скажем две лампочки $A$ и $B$, помещаются на больших расстояниях от фотоумножителей $a$ и $b$. Геометрические условия опыта показаны на рисунке. С детекторами $a$ и $b$ соединены счетчики, сосчитывающие числа фотонов $p_{1}$ и $p_{2}$, регистрируемых в секунду каждым счетчиком. Счетчики $a$ и $b$ включены, кроме того, еще в «схему совпадений», которая регистрирует $p_{12}$ – количество случаев в единицу времени, когда фотоэлектроны появляются одновременно (т. е. в течение одного малого промежутка времени $\tau$ ) в обоих умножителях. Пусть $\langle a \mid A\rangle$ – амплитуда появления фотона, испущенного источником $A$, в детекторе $a$ в течение
данного промежутка времени, определяемого разрешающей способоностью схемы. Тогда $\langle a \mid A\rangle=c e^{i \alpha}$, где $c$ – комплексная постоянная, а $\alpha_{1}=k R_{1}$ ( $R_{1}$ – расстояние от $A$ до $a, k$ – постоянная). Аналогично, $\langle b \mid A\rangle=c e^{i \alpha_{1}}$, где $\alpha_{2}=k R_{2}$, а $R_{2}$ – расстояние от $A$ до $b$. Покажите, что скорость счета совпадений пропорциональна $2-\cos 2 k\left(R_{2}-R_{1}\right)$.
Қак использовать этот результат для определения $D$, если $R$ известно? Пренебрегайте тем фактом, что реальный процесс есть «наложенне» таких простых модетьных процессов, поскольку свет приходит из всех областей поверхности звезды, а не только из крайних, диаметрально противоположных точек.
К главе 2. Тождественные частицы
2. 1. Радиопередатчик излучает мощность 1000 квт на частоте 1 Мац.
a) Какова энергия (в эв) каждого излученного кванта?
б) Сколько квантов излучается за каждый период колебаний электромагнитного поля? (Высокая степень когерентности этих квантов возможна, поскольку они являются бозе-частицами.)
2. 2. Внутри полости в абсолютно черном теле величина $I(\omega) \Delta \omega$ – интенсивность излучения в интервале частот от $\omega$ до $\omega+\Delta \omega$ на единицу объема – дается формулой Планка.
a) Қак ведет себя $I(\omega)$ при малых $\omega$ ? При больших $\omega$ ?
б) При какой частоте на единичный интервал приходится максимальная энергия?
в) При какой длине волны на единичный интервал длин волн приходится максимальная энергия?
г) Оцените температуру на поверхности Солнца, предполагая, что максимум интенсивности его излучения приходится на середину видимого спектра.
2. 3. Оцените напряженность магнитного поля, которая потребуется для того, чтобы выстроить спины обоих электронов в атоме гелия в одном направлении. (Приближенно рассматривайте атом гелия как гармонический осциллятор с основной частотой, соответствующей видимому свету. У атома гелия «Е основном состоянин» оба электрона находятся на самом нижнем уровне и их спины направлены в противоположные стороны. Согласно принципу запрета Паути, для того чтобы направления спинов электронов совпали, одному из них придется перейти на следующий уровень.)
2. 4. До открытия нейтронов предполагалось, что ядра ссстоят из протонов и электронов. Покажите, что в таком случае атом (атом азота, масса ядра которого примерно в 14 раз больше массы протона) был бы бозе-частицей. Опытные факты (спектр молекулы) показывают, что этот атом есть ферми-частица. Это было первое свидетельство в пользу существования новой ядерной частицы. Покажите, как нейтронная гипотеза решает эту задачу.
2. 5. Предположим, что в некоторой системе могут наблюдаться «переходы» между определенными энергетнческими уровнями, т. е. заселенность уровней, или число атомов на каждом уровне, меняется, и это сопровождается излучением или поглощением квантов.
Два возбужденных состояния и основное состояние находятся в тепловом равновесии между собой, тогда как вся система находится в поле излучения с частотой $\hbar \omega=\Delta E$. Прямые переходы с частотой $2 \Delta E / \hbar$ запрещены.
Второй уровень энергии ( $N_{2}$ атомов). Первый уровень энергии ( $N_{1}$ атомов). Уровень основного состояния ( $N_{0}$ атомов).
a) Выразите отношения $N_{1} / N_{0}$ и $N_{2} / N_{1}$ через число фотонов $n(\omega)$.
б) Получите простое выражение для числа фотонов $n(\omega)$, учитывая, что фотоны являются бозонами. Искомое выражение должно содержать только $\Delta E / k T$.
в) Найдите приближенные выражения для $n(\omega)$ в двух предельных случаях:
\[
\begin{array}{l}
\hbar_{\omega} \gg k T, \\
\hbar_{\omega} \ll k T .
\end{array}
\]
2. 6. В лазере большое число атомов одновременно переводится в возбужденное состояние. Потом появление небольшого количества света определенного типа индуцирует лавинообразное излучение, в которое дают вклад все возбужденные атомы, что приводит к образованию очень большого числа фотонов с совершенно одинаковой длиной волны, испускаемых строго в одном направлении. Можно ли надеяться, что в один прекрасный день кто-нибудь создаст подобное же устройство, излучающее нейтрино (частица с массой, равной нулю, и спином $1 / 2$ )?
2. 7. Покажите, что для двух неодинаковых невзаимодействующих частиц вероятность того, что одна переместится из $a$ в $b$, в то время как другая переместится из $c$ в $d$, есть произведение двух сомножителей $P_{a b}$ и $P_{c d}$, где $P_{a b}$ – вероятность, что первая частица в отсутствие второй частицы переместится из $a$ в $b$, а $P_{c d}$ – вероятность, что вторая частица в отсутствие первой переместится из $c$ в $d$. Является ли неодинаковость частиц существенным обстоятельством?
2. 8. Дейтрон является бозе-частицей со спином единица; таким образом, пучок дейтронов может находиться в одном из трех состояний с проекциями спина +1 , $0,-1$. Производится опыт, в котором дейтроны рассеиваются на дейтронах. Қак зависит вероятность регистрации дейтронов от угла рассеяния $\theta$ (угол между направлениями движения дейтрона до и после столкновения в системе центра масс)? Предположим, что направление спина в процессе рассеяния не меняется, а $f(\theta)$ – это амплитуда отклонения на угол $\theta$.
8. 9. Пусть $f_{1}(\theta)$ – амплитуда рассеяния $\pi$-мезона на протоне, а $f_{2}(\theta)$ – на нейтроне. Қак выразить вероятность того, что $\pi$-мезон рассеется на ядре гелия на угол $\theta$ через $P_{1}$ и $P_{2}$ – вероятности рассеяния на протоне и на нейтроне?
Рассмотрите два случая:
a) отдача протона или нейтрона после рассеяния разрушает ядро;
б) отдача настолько слаба, что ядро остается «неповрежденным».
Можете ли вы сказать, в каком случае рассеяние сильнее? Ваши ответы должны зависеть от предположений, сделанных при описании процесса (a).
2.10. Предположим, что в эксперименте по рассеянию пучок нейтронов падает на нейтронную мишень. Детектор устаңовлен с таким расчетом, чтобы он регистрировал нейтроны, рассеявшиеся на угол $\theta$ в системе центра масс; $f$-амплитуда рассеяния частицы на этот угол без изменения спинового состояния; $g$ – амплитуда рассеяния на тот же угол с «переворотом» спина (за счет обмена направлениями спинов с частицей мишени). Если предположить, что $f$ и $g$ не зависят от $\theta$, то какова будет вероятность, что детектор зарегистрирует нейтрон, если:
a) спины обоих нейтронов (и рассеиваемого и рассеивающего) направлены вдоль оси $+z$;
б) спины нейтронов пучка выстроены вдоль положительного направления оси $z$, а нейтроны мишени – вдоль отрицательного;
в) падающий пучок не поляризован, а мишень поляризована в направлении $+z$;
г) и пучок и мишень не поляризованы;
д) как изменится ответ на вопрос (а), если мишень будет состоять из поляризованных протонов при равенстве амплитуд нейтрон-нейтронного и нейтрон-протонного рассеяния?
Считайте, что детектор одинаково эффективно регистрирует и нейтроны и протоны.
2.11. Пучок нерелятивистских протонов проходит через тонкую мишень из жидкого водорода, а потом, как показано на рисунке, рассеянные протоны регистрируются под некоторым углом $\alpha$ к падающему пучку. Процесс рассеяния можно анализировать в системе центра масс, как показано на рисунке.
Два протона ( $p_{1}$ и $p_{2}$ ) движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями; после соударения два протона ( $p_{1}^{\prime}$ и $p_{2}^{\prime}$ ) разлетаются вдоль прямой, которая составляет угол $\theta$ с первоначальным направлением. Если мы выберем в качестве оси $z$ направление, перпендикулярное к плоскости рассеяния, то каждый протон может иметь значение $J_{z}$ (проекции спинового момента на эту ось), равное $\pm \hbar / 2$. Мы будем говорить про это, что спин может быть направлен «вверх» или «вниз». Предположим, что спин обоих протонов направлен вверх и что $f(\theta)$ есть амплитуда рассеяния протона $p_{1}$ на угол $\theta$ с попаданием в детектор. Поскольку мы не можем сказать, какой протон зарегистрирован счетчиком, то амплитуда того, что какой-то протон вылетит под углом $\theta$, равна $f(\theta)-f(\pi-\theta)$. Знак минус появляется потому, что протоны – ферми-частицы. Поэтому мы можем сказать, что вероятность зареги стрировать протон под углом $\theta$ равна
\[
|f(\theta)-f(\pi-\theta)|^{2} .
\]
Предположим теперь, что спин протона $p_{1}$ направлен вверх, а спин $p_{2}$ – вниз, амплитуда рассеяния частицы $p_{1}$ в направлении детектора без переворота спина равна $f^{\prime}(\theta)$, а с переворотом спина $g(\theta)$; амплитуда рассеяния зависит от относительной ориентации спинов.
В этом случае амплитуду появления в детекторе протона со спином, направленным вверх, можно записать в виде $f^{\prime}(\theta)+g(\pi-\theta)$.
a) Какова связь между $\theta$ и $\alpha$ ?
б) Қакова амплитуда появления в детекторе протона со спином вниз, если до рассеяния спины сталкивающихся протонов были направлены в разные стороны?
в) Предположим, что «обычный» пучок неполяризованных протонов рассеивается на обычной неполяризованной мишени и что детектор не реагирует на поляризацию. Чему равна вероятность рассеяния на угол $\theta$.
г) Покажите, что при $f^{\prime}=f$ и $g=0$ рассеяние протонов с хаотически ориентированными спинами представляет собой смесь «чисто фермионного рассеяния» с амплитудой $f(\theta)-f(\pi-\theta)$ и «чисто бозонного» рассеяния, амплитуда которого равна $f(\theta)+f(\pi-\theta)$, т. е. что
\[
P=A|f(\theta)-f(\pi-\theta)|^{2}+B|f(\theta)+f(\pi-\theta)|^{2} .
\]
Вычислите $A$ и $B$.
2.12. Предположим, что $N$ электронов находятся в очень большом ящике объема $V$ в состоянии с наименьшей возможной энергией. Покажите, что в пренебрежении взаимодействием между электронами каждый уровень в ящике занят двумя электронами, причем импульс, соответствующий каждому уровню, $\hbar k=p$, меньше величины $p_{\text {макс }}$, определяемой соотношением
\[
N=\int_{0}^{p_{\text {макс }}} V \cdot 2 \frac{4 \pi p^{2} d p}{(2 \pi \hbar)^{3}} .
\]
Чему равна энергия $U$ всех электронов? Свяжите эту внутреннюю энергию $U$ с объемом ящика и найдите таким образом давление этого так называемого «вырожденного электронного» газа. Покажите, что объем и давление связаны соотношением $P V^{7}=$ const, и найдите $\gamma$.
2.13. Материя в звездах, известных под названием «белые карлики», сжата так сильно, что к ней применима теория, рассмотренная в последней задаче. Если $\rho-$ плотность вещества звезды, то $\rho / 2 M_{p}$ – число протонов в $1 M^{3}$ этого вещества ( $M_{p}$ – масса протона; кроме того, мы предполагаем, что ядра содержат примерно столько же протонов, сколько нейтронов). В уравнении к задаче 2.12 положим $N / V=\rho / 2 M_{p}$. Уравнения равновесия звезды из такого вещества, равновесия, поддерживаемого гравитационным притяжением, можно найти в книгах по астрофизике, и они записываются следующим образом:
\[
\begin{aligned}
P & =A \rho^{5 / 3}, \\
\frac{d P}{d r} & =-\frac{G \rho M(r)}{r^{2}}, \\
\frac{d M(r)}{d r} & =4 \pi \rho r^{2} .
\end{aligned}
\]
Можете ли вы объяснить вид этих уравнений и вывести формулу или указать численное значение для $A$ ? Считайте, что все давление создается вырожденным электронным газом, а присутствие нуклонов практически не сказывается (кстати, почемy?).
K главе 3. Cпин единица
3. 1. Докажите высказанное в гл. 3 «Лекций» (вып. 8) утверждение, что если прибор $C$ можно разделить на две части $A$ и $B$, то
\[
\langle\chi|C| \varphi\rangle=\sum_{k}\langle\chi|B| k\rangle\langle k|A| \varphi\rangle .
\]
3. 2. Три «усовершенствованных» прибора Штерна – Герлаха, описанные в гл. 3 , которые разделяют пучок на компоненты, соответствующие различным значениям проекции спина (но без пространственного разделения пучка), устанавливаются последовательно друг за другом, и через них пропускается пучок частиц со спином единица. Первая и третья установки ориентированы в одном и том же направлении, а средняя устанавливается под произвольным углом. В обозначениях, которые использовались в гл. 3, это будет выглядеть так:
\[
\left\{\begin{array}{c}
+ \\
0 \\
–
\end{array}\right\} \quad\left\{\begin{array}{c}
+ \\
0 \\
–
\end{array}\right\} \quad\left\{\begin{array}{c}
+ \\
0 \\
–
\end{array}\right\}
\]
a) В установке $T$ открыта одна щель. Будет ли распределение пучка по трем состояниям в конечном состоянии $S$ зависеть от входного состояния, т. е. от пропорций, в которых смешаны состояния $+S, 0 S$ и $S$ в начальном пучке. Почему?
б) А если две щели в установке $T$ открыты?
в) А если все три щели в $T$ открыты?
3. 3. Тройной «усовершенствованный» эксперимент Штерна – Герлаха проводится с частицами со спином 1 по следующей схеме:
Все три прибора расположены на одной прямой, но средний прибор $T$ повернут на $90^{\circ}$ относительно двух других. Пучок частиц со спином 1 падает слева. Пучок, который выходит из первого прибора $S$, имеет интенсивность $N_{1}$ частиц в секунду.
a) Чему равна $N_{2}$ – интенсивность пучка на выходе из прибора $T$ ?
б) Қакова интенсивность пучка $N_{3}$ на выходе из последнего прибора $S$ ?
в) Каковы будут значения $N_{2}$ и $N_{3}$, если заслонку из прибора $T$ удалить?
3. 4. Рассмотрим последовательность «усовершенствованных» приборов Штерна – Герлаха $S, T$ и $S^{\prime}$, через которые проходит пучок частиц со спином 1. (Прибор $T$ повернут вокруг оси $x$ на $90^{\circ}$ по отношению к $S$ и $S^{\prime}$.)
a) Если из. прибора $S$ выходит $N_{0}$ частиц, найдите, какое число частиц следует ожидать на выходе прибора $S^{\prime}$ в состояниях $\left|+S^{\prime}\right\rangle$ и $\left|0 S^{\prime}\right\rangle$. (Обозначим соответствующие значения $N_{+S^{\prime}}$ и $N_{0 S^{\prime}}$.)
б) Предположим, что мы имеем «прозрачные детекторы», которые можно помещать в пучки + и прибора T. Свойство этих детекторов состоит в том, что при прохождении частицы через такой детектор он сигнализирует об этом, не меняя спинового состояния частицы. Кроме того, импульс частицы не изменяется сколько-нибудь заметно в том смысле, что ее траектория внутри установки одинакова как при наличии детектора, так и без него.
Если детекторы установлены в позициях + и прибора $T$ (позиция 0 блокирована), каковы будут ожидаемые числа отсчетов $N_{+}, N_{-T}, N_{+S^{\prime}}$ и $N_{0 S^{\prime}}$, если из прибора $S$ вылетает $N_{0}$ частиц?
в) Как изменится результат для $N_{+S^{\prime}}$ в описанном эксперименте, если после его проведения обнаружится, что числа отсчетов $N_{+T}$ и $N_{-T}$ не регистрировались?
г) Если эффективность каждого детектора равна $50 \%$ (т. е. в половине случаев пролетающая через детектор частица не взаимодействует с ним), чему будут тогда равны значения $N_{+S^{\prime}}$ и $N_{0}$ ?
д) Чему будут равны $N_{+S^{\prime}}$ и $N_{0} \dot{S}^{\prime}$, есіти блокировки состояний $+S$ и $-S$ удалены и $N_{0}$ частиц выходит из $S$ (детекторы из прибора $T$ удалены)? Считайте пучок неполяризованным
К главе 4. Сини одна вторая
4. 1. Представьте себе, что пучок атомов со спниом $1 / 2$ фильтруется двумя «усоверненствованими при борами Штерна – Герляха, установленными один за другим. Предполагаетя, что каждый прибор пропускает только один пучок, как изображено па фиг. 1.
На фиг. 2 приведено несколько вәриантов относительного расположения приборов. Густь в прибор $P$ попадает $N$ неполяризованных атомов. Сколько атомов должно появиться в точке $Q$ ?
4. 2. В некий прибор попадает $N$ частиц со спином $1 / 2$, причем амплитуды для направления спина вверх и вниз вдоль оси равны соответственно $a$ и $b$. Покажите, что вероятность обнаружения этой частицы в любой точке внутри прибора равна $|a X+b Y|^{2}$, где $X$ и $Y$ – некоторые комплексные постоянные, характеризующие прибор. Қак будет выражаться эта вероятность через $X$ и $Y$, если:
1) спин влетевшей частицы направлен вверх? вниз?
2) спин направлен вдоль оси $+x$ ? $-x$ ?
3) спин направлен вдоль оси, направление которой определяется полярными углами $\theta$ и $\varphi$ ?
Представить себе, что спиновое состояние падающих частиц определяется «волей случая», можно несколькими способами:
a) для решения вопроса о том, в положительную или отрицательную сторону оси $z$ будет направлен спин данного электрона, каждый раз бросается монета;
б) делается то же самое, но вдоль оси $x$;
в) спин каждого электрона ориентируется в некотором направлении $\theta, \varphi$, но это направление каждый раз выбирается случайно, так что потом приходится все усреднять по телесному углу $\sin \theta d \theta d \varphi / 4 \pi$.
Покажите, что вероятность обнаружения частицы одна и та же для всех трех видов определения понятия «случайная ориентация».
Предположим, что частицы со спином $1 / 2$ вылетают из отверстия в стенке, а перед этим направление их спина определяется одним из трех указанных способов. Можете ли вы придумать какой-нибудь способ, при помощи которого, находясь по «эту» сторону стенки, возможно определить, какой всетаки из трех методов в действительности использовался?
4. 3. Три прибора Штерна – Герлаха установлены друг за другом в последовательности, показанной на фиг. 1 .
Выразите $N$, число атомов со спином $1 / 2$, выходящих из прибора $U$, через $N_{0}$, а число атомов, выходящих из $\mathcal{S}$, – через величины типа $\langle+T \mid+U\rangle$ и т. д.
Затем рассмотрите ту же самую последовательность приборов, но для случая, когда поля $B$ ориентированы согласно схеме, приведенной на фиг. 2. В частности,
I) поле $B$ прибора $T$ повернуто антипараллельно полю $B$ прибора $S$;
II) поле $B$ прибора $U$ образует угол $\theta$ с осью $z$,
a) Получите явные выражения для $\langle+T \mid-S\rangle$ и $\langle-T \mid-S\rangle$.
б) Найдите явный вид $\langle+U \mid-S\rangle$, используя для упражнения только таблицы преобразований при вращениях вокруг осей $z$ и $y$.
в) Рассмотрите результат случая (б) для предельных значений
\[
\begin{array}{l}
\theta=0, \\
\theta=\pi .
\end{array}
\]
Объясните ответ при $\theta=\pi$, сравнивая его с $\langle+T \mid-S\rangle$ для случая (а).
4. 4. Призма из кальцита расщепляет пучок света, направленный вдоль оси $z$, на два пучка $x$ и $y$. Отдельный фотон, падающий на эту призму, характеризуется определенной амплитудой попадания в один из этих пучков $x, y$. Такой же образец кальцита, но перевернутый, можно использовать для соединения этих лучей снова в один и т. д., аналогично тому, как это делается с частицами в приборе Штерна – Герлаха. Ось другой призмы $T$ можно располагать под углом $\theta$ в плоскости $x-y$, переводя пучок в состояния $x^{\prime}, y^{\prime}$ или $x T, y T$. Получите амплитуды $\langle x T \mid x S\rangle,\langle y T \mid y S\rangle$ и т. д., используя свои знания классической теории поляризации света, считая, чтө при большом числе фотонов в пучке интенсивность будет хорошо описываться этими классическими результатами. Рассматривайте повороты только вокруг оси $z$, поскольку свет нельзя «остановить». (Повороты вокруг других осей можно описывать скорее по их действию на направление распространения света, а не на поляризацию; в этом смысле свет, хотя он и является системой с двумя состояниями, очень сильно отличается от электрона, который тоже представляет собой систему с двумя состояниями.)
4. 5. Найдите все четыре элемента матрицы $\langle j|A| i\rangle$, где индексы $i$ и $j$ могут принимать значения $x$ и $y$, для следующих приборов, через которые пропускается свет:
a) $x, y$ – анализатор из кальцита и такой же синтезатор, причем луч $y$ блокирован;
б) тот же прибор, повернутый на угол $\theta$;
в) поляроид, ось которого направлена по оси $x$;
г) поляроид, ось которого образует с осью $x$ угол $\theta$;
д) анализатор и синтезатор из кальцита, между которыми имеется слой стекла, сдвигающий фазу луча $x$ на угол $\varphi$;
е) анализатор и синтезатор из кальцита, причем оба луча проходят через одно и то же стекло;
ж) анализатор и синтезатор, повернутые на $45^{\circ}$, а также слой стекла в луче $x$, увеличивающий фазу на $90^{\circ}$;
з) пластинка толщиной $\lambda / 4$;
и) пластинка из двоякопреломляющего вещества, причем оптическая ось параллельна оси $x$ (получите общую формулу для произвольной толщины слоя этого вещества);
к) раствор сахара, который поворачивает плоскость поляризации вправо на угол $\theta$;
л) устройство, которое расщепляет исходный луч на $x$ и $y$, приводит луч $x$ в плоскость $y$ (пропуская его через раствор сахара, который поворачивает плоскость поляризации на $90^{\circ}$ ) и снова соединяет оба луча в один.
м) Покажите, что с помощью прибора, описанного в пункте (л), можно устроить вечный двигательн.
4. 6. Согласно теории бета-распада, в одном из частных случаев этого ядерного превращения (в том, который называется «разрешенный ферми-переход» и происходит без изменения момента количества движения и четности ядра) электрон, движущийся вдоль оси $z$ со скоростью $v$, испускается со
спином вдоль оси $z$ с амплитудой $A \sqrt{1-v / c} \sin \theta / 2$ и со спином против оси $z$ с амплитудой $A \sqrt{1+v / c} \cos \theta / 2$. (Здесь $A$ – некоторая константа, $\theta$ – угол, образуемый с осью $z$ направлением испускания нейтрино. Так уж случилось, что спин антинейтрино всегда ориентирован вдоль направления его движения.)
a) Чему равна вероятность того, что спин направлен вверх по оси $z$ ? А вниз?
б) Рассчитайте вероятность того, что спин направлен вдоль оси $+x$ (нейтрино вылетает в плоскости $x z$ )? Вдоль направления оси – $x$ ?
в) Вдоль направлений $\pm y$ ? (Строго говоря, это относится к системе координат, движущейся вместе с электроном.)
г) Если антинейтрино, как обычно, не регистрируется (т. е. по всем направлениям его испускания производится усреднение), каков будет ответ на вопрос (a)?
К главе 5. Зависимость амплитуд от времени
5. 1. Частица со спином 1 и магнитным моментом $\mu$ в магнитном поле, направленном по оси $z$, может находиться в состояниях,+ 0 и – , энергии которых равны $+\mu B, 0$ и – $\mu B$ соответственно. Покажите методами квантовой механики, что в неоднородном магнитном поле пучок таких частиц расщепится на три, и найдите законы, по которым эти пучки отклоняются, полагая отклонение малым. Ответ должен выражаться через протяженность области, в которой действует поле, начальный импульс частицы и т. д. Затем покажите, что такая частица будет «прецессировать» (в квантовомеханическом смысле), используя при этом коэффициенты, приведенные в § 7 гл. 3 (вып. 8), и рассуждения гл. 5 (вып. 8). Предложите по крайней мере два независимых способа экспериментального определения величины $\mu$.
К главе 6. Гамильтонова матрица
6. 1. Пучок частиц со спином $1 / 2$ и магнитным моментом $\mu$ проходит через фильтр Штерна – Герлаха, пропускающий лишь частицы в состоянии $+>$ со спином, направленным вдоль положительного направления оси $z$. Затем частицы проводят время $T$ в однородном магнитном поле $\mathbf{B}_{0}$, параллельном оси $x$. Покинув это поле, они попадают во второй фильтр Штерна – Герлаха, который пропускает лишь частицы в состоянии $\mid->$ (спином вниз) по отношению к оси $z$. Считайте, что $\mu$ и $\mathrm{J}$ параллельны.
a) Каково минимальное значение $\mathbf{B}_{0}$, при котором все частицы пройдут через второй фильтр?
б) Если частицы находятся в магнитном поле только половину времени, чему равна вепоятность того, что они пройдут через второй фильтр?
6. 2. Пучок частиц со спином $1 / 2$ и магнитным моментом $\mu$ проходит через прибор Штерна – Герлаха, пропускающий только частицы в состоянии $|+\rangle$ со спином, направленным вдоль положительного направления оси $z$. Затем пучок попадает в магнитное поле, направленное под углом $45^{\circ} \mathrm{к}$ оси $z$ в плоскости $x-z$.
Қакова вероятность того, что по истечении времени $T$ эти частицы будут обнаружены в состояниях с $J_{x}=\hbar / 2$ или $J_{y}=\hbar / 2$ ? Векторы $\boldsymbol{\mu}$ и $\mathbf{J}$ снова считайте параллельными.
6. 3. В момент времени $t=0$ спин частицы направлен вдоль оси $+z$ (величина спина $1 / 2$ ). Частица помещена внутрь прибора, который задает постоянную амплитуду переворота спина частицы в единицу времени, равную $i A / \hbar$, т. е. $H_{12}=H_{21}=-A$, где $A$ – положительная константа. Кроме того, $H_{11}=H_{22}$ и их можно положить равными нулю.
a) Чему равна вероятность обнаружить частицу в момент времени $T$ в состоянии $+z$ ?
б) Найдите две линейнье комбинации амплитуд состояний + и -, которые соответствовали бы стационарным состояниям. Чему равны энергии этих стационарных состояний?
в) В любой момент времени $T$ существует направление, вдоль которого спин направлен вверх с вероятностью единица. Найдите это направление.
г) Можете ли вы придумать физический прибор для реализации рассмотренного эффекта.
$К$ главе 7. Аммиачный мазер
7. 1. В гл. 7 «Лекций» (вып. 8) рассчитывалась вероятность перевода молекулы аммиака из состояния $|I I\rangle$ в состояние $|I\rangle$ при помощи облучения ее радиоволнами с очень короткой длиной волны; состояние $|I I\rangle$ имеет меньшую энергию, чем состояние $|I\rangle$, поэтому такой переход соответствует поглощению энергии излучения.
Попробуйте развить эти идеи и применить их к вычислению вероятности индуцировать излучение молекулы аммиака. Қак относится вероятность излучения к вероятности поглощения? Как эта вероятность связана с коэффициентами Эйнштейна $A_{m n}$ и $B_{m n}$, которые были определены в вып. 4, стр. 79? Найдите интенсивность спонтанного излучения молекулы аммиака.
7. 2. Протоны с магнитным моментом $\mu$, находящиеся в водном образце, помещены в однородное магнитное поле. Амплитуда поля постоянна, а направление изменяется со временем (проводится эксперимент по ядерному магнитному резонансу – ЯМР):
\[
\begin{array}{l}
B_{x}=B \sin \theta \cos \omega t, \\
B_{y}=-B \sin \theta \sin \omega t, \\
B_{z}=B \cos \theta .
\end{array}
\]
В начальный момент $t=0$ спины всех протонов направлены вдоль магнитного поля (находятся в состоянии $+^{1} / 2$ ). Предположим, что $\theta$, полярный угол в сферических координатах, очень мал. Қаково должно быть значение $\omega$, чтобы наблюдался резонанс? Какова вероятность того, что частица имеет спин, направленный вниз в момент времени $t$, если частота $\omega$ имеет резонансное значение?
К главе 8. Другие системы с двумя состояниями
8. 1. Частица со спином $1 / 2$ помещена в сильное магнитное поле $\mathbf{B}_{0}$. В направлении, перпендикулярном $\mathbf{B}_{0}$, приложено осциллирующее магнитное поле $2 B_{n} \cos \omega t$, причем $B_{n} \ll B_{0}$. Если спин частицы первоначально был ориентирован антипараллельно вектору $\mathbf{B}_{0}$, какова вероятность того, что в момент времени $T$ спин будет направлен параллельно этому вектору?
К главе 9. Еще системы с двумя состояниями
9. 1. Покажите, что спиновые матрицы Паулй можно рассматривать как компоненты вектора $\boldsymbol{\sigma}$, для которого справедливы следующие соотношения:
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{\sigma} \times \boldsymbol{\sigma} & =2 \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{\sigma} \\
\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\sigma} & =3\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) .
\end{aligned}
\]
Найдите произведение $\sigma_{x} \sigma_{y} \sigma_{z}$.
9. 2. Молекула двуокиси углерода имеет линейную структуру (ОСО) и с легкостью присоединяет лишний электрон, превращаясь тем самым в отрицательный ион. Предположим, что этот электрон будет иметь энергию $E_{\mathrm{O}}$, если присоединится к атому кислорода, и энергию $E_{\mathrm{C}}$, если к атому углерода. Ни одна из этих энергий, однако, не будет соответствовать стационарному состоянию, поскольку всегда существует небольшая вероятность перехода лишнего электрона с кислорода на углерод и обратно. (Мы будем считать вероятность того, что электрон «перепрыгнет» непосредственно с одного атома кислорода на другой, пренебрежимо малой.)
a) Получите значения энергии уровней иона $\mathrm{CO}_{2}$, выразив их через $E_{0}, E_{\mathrm{C}}$ и еще один параметр.
б) Дайте физическое описание каждого стационарного состояния для случая, если значения энергий $E_{\mathrm{O}}$ и $E_{\mathrm{C}}$ совпадают.
9. 3. В молекуле метана $\mathrm{CH}_{4}$ атомы водорода располагаются в вершинах тетраэдра, а единственный атом углерода – в центре тетраэдра. В ионе метана не хватает электрона на одной из этих четырех связей, а вместо него остается «дырка», которая может «перескакивать» с одной связи на другую. Это пример системы с четырьмя состояниями. Опираясь на соображения симметрии, сведите к минимуму число различных матричных элементов гамильтониана и предскажите число различных энергетических уровней, которые должны наблюдаться у электронной оболочки иона метана. Колебательным и вращательным взаимодействием атомов пренебрегите. Выразите расстояние между уровнями через минимально возможное число матричных элементов.
9. 4. Рассмотрим шесть атомов, расположенных по окружности на равных расстояниях друг от друга. Добавим лишний электрон и обозначим базисные состояния символами $|1\rangle$, $|2\rangle, \ldots,|6\rangle$, где $|1\rangle$ обозначает, что этот добавочный электрон находится в атоме 1 , и т. д. Предположим далее, что этот электрон может перескакивать со «своего» атома лишь на один из двух соседних, но не дальше.
Покажите, что $|I\rangle$ – это стационарное состояние, если амплитуды $C_{i}=\langle i \mid I\rangle$ (где $|i\rangle-i$-е базисное состояние) все равны $(1 / \sqrt{6}) \exp \left(-i E_{I} t / \hbar\right)$. Найдите $E_{I}$. Сколько еще существует стационарных состояний у такой системы?
Можно показать, что если $\psi$ – стационарное состояние, то амплитуды $C_{i}=\langle i \mid \psi\rangle$ связаны между собой следующим образом (при надлежащем выборе постоянной $\delta$ ):
\[
\begin{array}{ll}
C_{2}=C_{1} e^{i \delta}, & C_{5}=C_{4} e^{i \delta}, \\
C_{3}=C_{2} e^{i \delta}, & C_{6}=C_{5} e^{i \delta} . \\
C_{4}=C_{3} e^{i \delta}, &
\end{array}
\]
Чему равны эти «надлежащим образом» выбранные значения $\delta$ ? Постройте диаграмму уровней рассматриваемой системы и найдите расстояния между уровнями.
9. 5. Молекула состоит из трех одинаковых атомов, расположенных в вершинах равностороннего треугольника. В отрицательном ионе такой молекулы есть дополнительный электрон, способный перескакивать с каждого из трех атомов на любой другой.
a) Пусть матричный элемент такого перехода равен $-A$. Рассчитайте расстояние между уровнями молекулярного иона.
б) Ион помещен в электрическое поле, направление которого совпадает с плоскостью иона, а по отношению к его вершинам поле направлено так, как показано на рисунке. Если напряженность поля такова, что потенциальная энергия электрона, расположенного «в вершине» треугольника, на $\varepsilon A=0,01 A$ больше, чем в двух других вершинах, как изменятся расстояния между уровнями?
$К$ алаве 10. Сверхтонкое расщепление в водороде
10. 1. Рассчитайте величины расщеплений уровня атома водорода с $j=1$, помещенного в межзвездное пространство, где напряженность магнитного поля составляет $10^{-5} 2 c$, на поверхности Земли (примерно 0,5 гс) и в самом сильном магнитном поле, которое можно получить в лабораторных условиях (порядка 100000 гс). Ответ выразите через частоту и через длину волны.
