К главе 26. Оптика. Принцип наименьшего времени

26. 1. Пешеход, идя по тротуару, проходит $1,5 \mathrm{~m}$ в 1 сек, а по вспаханному полю – только 0,9 м за 1 сек. Он вышел из точки $A$, находящейся на расстоянии 42 м от стены, и направляется в точку $B$, расположенную к югу вдоль стены на расстоянии 36 м от края поля.
a) По какому пути $A k B$ должен идти пешеход, чтобы пройти его в кратчайшее время? (Уместно предположить, что к этой задаче приложим «закон преломления». Однако если вы достаточно смелы, то попытайтесь решить ее без такого предположения.)
б) Чему равно это кратчайшее время?
в) Қакое потребуется время, чтобы пройти по маршрутам $A C B$ и $A C^{\prime} B$, если $C k=k C^{\prime}=3$ м?
26. 2. Свет от источника $S$, отстоящего на расстоянии 1 м от экрана, посылается узким пучком перпендикулярно экрану и попадает на него в точке $P$. На пути луча помещается пластина из люцита толщиной 0,2 м (показатель преломления люцита 1,5 ) так, чтобы направление распространения пучка в этой пластине составляло $30^{\circ}$ с первоначальным направлением (когда не было пластины).
a) Найдите боковое смещение луча $P P^{\prime}$.
б) Найдите процентное увеличение времени прохождения лучом пути $S P^{\prime}$ по сравнению с временем, необходимым для прохождения первоначального пути $S P$ в воздухе.
26. 3. Пусть $S$ – источник света, а $P$ – его изображение, даваемое линзой $A C B, S C=C P=1 \mathrm{M}, A C=B C=0,1 \mathrm{~m}$. Линза $A C B$ имеет на краях толщину 3 мм. Если луч проходит путь $S C P$ за то же время, что и расстояния $S A P$ и $S B P$, то какова толщина линзы в середине (в точке $C$ )? (Показатель преломления стекла 1,60 .)
26. 4. В обычном плоском зеркале наше изображение оказывается перевернутым справа налево, т. е. изображение правой руки выглядит так, как левая рука «человека» в зеркале. Почему зеркало не переворачивает еще все вверх ногами? Что действительно переворачивается зеркалом?
26. 5. Два плоских зеркала расположены так, что образуют прямой двугранный угол, причем линия пересечения вертикальна. Объяснить, почему в’ таком зеркале мы «видим себя такими, какими нас видят другие люди».
26. 6. Три взаимно перпендикулярных зеркала расположены так, что образуют прямой трехгранный угол. Луч света падает на одно из зеркал, а затем, отражаясь от него, попадает на другое зеркало, а может быть, и на третье. Покажите, что после всех отражений (мы предполагаем, что зеркала огромны) луч выйдет в направлении, строго противоположном первоначальному, но окажется несколько смещенным. Знаете ли вы практическое применение такого «углового отражателя»?
26. 7. Хорошо известно, что когда свет переходит из одной прозрачной среды в другую, то не все лучи испытывают преломление, некоторая их часть отражается, а весьма малая доля (если таковая вообще есть), поглощается или рассеивается. Что происходит, когда пучок света падает на поверхность раздела двух сред под большим углом к нормали, проходя вначале через более плотную в оптическом отношении (имеющую больший показатель преломления) среду?

К главе 27. Геометрическая оптика

27. 1. Параллельный пучок света, распространяющийся в воздухе, собирается в фокусе преломляющей поверхности, которая ограничивает область с показателем преломления $n$. Найдите форму этой поверхности.
27. 2. Внешний диаметр стеклянной капиллярной трубки равен $D$, показатель ее преломления $n$. Если смотреть на трубку со стороны, то кажется, что маленькое капиллярное отверстие имеет диаметр $d$. Чему в действительности равен диаметр $d^{\prime}$ трубки?
27. 3. Пучок света сходится в определенной точке $P$. Нужно в данной точке $Q$, лежащей на оси, поместить такую отражающую поверхность, которая даст изображение в новом фокусе – в точке $P^{\prime}$. Определите форму требуемой поверхности.
27. 4. Линза с фокусным расстоянием $F$ дает действительное изображение отдаленного объекта, которое рассматривается через увеличительное стекло с фокусным расстоянием $f$. Если в момент рассматривания глаз сфокусирован на бесконечность, то чему равно кажущееся угловое увеличение системы?
27. 5. Обычный человеческий глаз может быть сфокусирован на объект, лежащий между 25 см и бесконечностью. Прямо против глаза расположена простая тонкая увеличивающая линза с фокусным расстоянием $f=+5 \mathrm{~cm}$.
a) Между какими двумя предельными положениями должен быть расположен рассматриваемый объект, чтобы его было ясно видно?
б) Определите угловое увеличение системы для каждого из этих двух положений.
27. 6. Телеобъектив состоит из положительной линзы с фокусным расстоянием $f_{1}=30$ см и отрицательной линзы с фокусным расстоянием $f_{2}=-10$ см; расстояние между обеими линзами $27,5 \mathrm{~cm}$. Где должна быть расположена фотопластинка, на которой будет сфотографирован объект, находящийся впереди первой линзы на расстоянии 10 м? Тщательно проследите путь луча.
27. 7. 200 -дюймовый телескоп Гейла имеет фокусное расстояние 160 м. Қакова разница в положении изображений при наблюдении отдаленных звезд и
a) Луны;
б) искусственного спутника, находящегося от Земли на расстоянии $320 \mathrm{\kappa m}$ ?
27. 8. Две тонкие линзы $L$ и $L^{\prime}$ с фокусными расстояниями $f$ и $f^{\prime}$ находятся на расстоянии $D$ друг от друга. Найдите эквивалентное фокусное расстояние $F$ всего устройства и расстояния $\Delta$ и $\Delta^{\prime}$ от главных плоскостей до линз $L$ и $L^{\prime}$.

K главе 28. Электромагнитное излучение

28. 1. Дайте геометрическую интерпретацию комплексных чисел, используемых в двух следующих задачах, и найдите модули следующих комплексных величин:
а) $r e^{i \varphi / 2}+r e^{-i \varphi / 2}$,
б) $\sum_{n=0}^{N-1} r e^{i_{n} \varphi}$.

К главе 29. Интерференция

29. 1. Две антенны расположены так, как показано на фиг. 29.5 «Лекций» (вып. 3, стр. 52). Они работают в одной фазе так, что, когда одна из них излучает с интенсивностью $I_{0}$ по всем горизонтальным направлениям, интенсивность излучения другой составляет $2 I_{0}$. Чему равна наблюдаемая интенсивность излучения обеих антенн в различных направлениях, указанных на рисунке?
29. 2. Четыре идентичных дипольных излучателя расположены параллельно друг другу и находятся на одинаковых расстояниях 2,50 см друг от друга. Они работают на частоте $3,00 \cdot 10^{9}$ сек $^{-1}$ и сфазированы так, что излучение каждого последующего диполя отстает от предыдущего на $90^{\circ}$. Найдите интенсивность излучения на больших расстояниях от системы в экваториальной плоскости (перпендикулярной оси диполя) и постройте эту функцию в полярных координатах. Полученная диаграмма носит название картины излучения антенной системы.
29. 3. Две параболоидные «чаши» радиотелескопа ҚАЛТЕХа в Оуенс Вэлли расположены на расстоянии 480 м друг от друга. Қаждая «чаша» концентрирует поступающее излучение в малом приемнике, находящемся в фокусе. Два принимаемых сигнала подаются в расположенный посередине между «чашами» единый смеситель, где оба сигнала складываются, а затем вычисляется средний квадрат результирующей амплитуды. С какой точностью можно установить угловое положение удаленного точечного источника, наблюдаемого с помощью радиотелескопа, если $10 \%$-ные флуктуации выходного сигнала уже считаются значительными? Длину волны возьмите равной 50 см.
29. 4. Заряд $q$ совершает движение по окружности радиуса $a$ с угловой частотой $\omega$. Вычислите электрическое поле, создаваемое зарядом, на большом расстоянии $R$ от системы под углом $\theta$ к оси круговой орбиты. Найдите интенсивность излучения в плоскости орбиты и на оси орбиты при больших значениях $R$.
29. 5. Все $N$ диполей в линии $A$ работают в одинаковой фазе, а все диполи в линии $B$ отстают по фазе на $90^{\circ}$ от диполей в линии $A$. Определите картину излучения в экваториальной плоскости (как в задаче 29.2) на большом расстоянии от линий.
29. 6. Электроны в длинной прямой тонкой проволоке длиной $L$ колеблются с угловой частотой $\omega$ и малой амплитудой $a$ в одинаковой фазе вдоль проволоки. Найдите электрическое поле, создаваемое ими под углом $\theta$ относительно направления проволоки на больших расстояниях $R$ от нее $(R \gg L)$.
29. 7. Количество энергии на единицу площади, переносимой электромагнитной волной, пропорционально среднему квадрату напряженности электрического поля. Найдите долю полной энергии, излучаемой колеблющимся зарядом, которая падает на единицу площади, нормальной к радиусу-вектору $R$, проведенному под углом $\theta$ к оси колебаний. Рассчитайте и выразите в $\mathrm{sm} / \mathrm{M}^{2}$ эту величину для случая вертикально ориентированного колеблющегося диполя, подвешенного к радиозонду космических лучей, который находится на высоте 25 км и на расстоянии 25 км по горизонтали, если всего им излучается $0,5 \mathrm{~cm}$.

К главе 30. Дифракция

30. 1. Длины волн $D$-линий в спектре возбуждения натрия равны 5889,95 и 5895,92 А соответственно. Какую длину должна иметь решетка, содержащая 600 линий на 1 мм, чтобы разрешить эти линии в спектре первого порядка?
30. 2. По прямой дороге идет обычная автомашина с включенными фарами (рассматриваемыми как точечные источники). Расстояние между фарами автомобиля $120 \mathrm{~cm}$. На каком расстоянии от наблюдателя должна находиться машина, чтобы он был уверен, что видит два источника света, а не один? Примите диаметр зрачка глаза равным 0,5 см, а эффективную длину света, испускаемого фарами, равной $5500 \AA$. Как вы думаете, тот факт, что свет «белый» (т. е. смесь лучей с разными длинами волн), облегчает или затрудняет разрешение двух источников света?
30. 3. На рисунке показан общий вид спектрографической решетки. Свет от источника $L$ проходит через узкую щель $S$, затем через коллиматорную линзу (или зеркало) $C_{1}$, которая превращает его в параллельный пучок лучей (так что на решетку падает как бы плоская волна, приходящая из бесконечности). Далее параллельный пучок лучей дифрагирует от решетки $G$; дифрагированный свет, идущий в определенном угловом интервале, падает на линзу $C_{2}$, называемую камерной, и фокусируется ею в плоскости $P$. Получается набор узких спектральных линий. Пусть длина щели равна $h$, ее ширина $w$, фокусные расстояния линз $C_{1}$ и $C_{2}$ равны $F_{1}$ и $F_{2}$, а углы между нормалью к решетке и осями линз $C_{1}$ и $C_{2}$ равны $\theta_{i}$ и $\theta_{d}^{-} ; 1$ мм решетки содержит $N$ линий. Дайте ответ на следующие вопросы:
a) Какую ширину будет иметь полоса, занимаемая спектром в плоскости $P$ ?
б) Қакой длине волны (s) будет отвечать линия, лежацая на плоскости $P$ в месте прохождения оси линзы $C_{2}$ ?
в) На каком расстоянии друг от друга в фокальной плоскости будут находиться две спектральные линии, длины волн которых отличаются на $1,00 \AA$ ? Такая величина часто называется дисперсией оптического устройства.
г) Қакова ширина спектральной линии в плоскости ния коллиматорной линзы [равного $1,22 \lambda\left(F_{1} / A_{1}\right)$, где $A_{1}$ – апертура], и уширения, создаваемого решеткой и равного $(\lambda / L) F_{1}$, где $L$ – размер решетки?
30. 4. Спектрограф 150-футового солнечного башенного телескопа, находящегося в обсерватории Маунт Вильсон, показан схематически на рисунке. В этом устройстве одна и та же линза действует и как коллиматорная и как камерная, а $\theta_{i}=-\theta_{d}$ (почти!).
Фокусное расстояние всего устройства $F=23$ м, а решетка имеет площадь $15 \mathrm{~cm} \times 25 \mathrm{~cm}$, причем в 1 мм ее содержится 600 линий. Обычно при наблюдениях используется спектр пятого порядка.
a) При каком угле $\theta$ наклона решетки линия спектра возбуждения нейтрального железа, отвечающая длине волны $\lambda=5250,218 \AA$, будет совпадать с положением щели в спектре пятого порядка?
б) Для каких других длин волн в интервале от $\lambda=3600 \AA$ до $\lambda=7000 \AA$ линия спектра также будет совпадать с положением щели?
в) Предложите простой способ устранения в наблюдаемой картине спектров нежелательных порядков, оставив только спектр пятого порядка.
г) Қакова дисперсия рассматриваемого устройства при длине волны $\lambda=5250 \AA$, отвечающей линии в спектре пятого порядка?
д) Қаково минимальное теоретическое значение $\Delta \lambda$, которое может быть разрешено при длине волны $\lambda=5250 \AA$ в спектре пятого порядка?
30. 5. Длины волн спектральных линий обычно измеряются с точностью около $0,001 \AA$ при помощи спектрографов, разрешающая сила которых составляет только $0,010 \AA$. Не нарушаются ли при этом какиенибудь основные законы физики? Объясните.
30. 6. Когда желобки дифракционной решетки располагаются так, что они отражают бо́льшую часть падающего излучения только в определенном направлении, то говорят, что решетка блестит в этом направлении. Предположим, что желобки можно нанести так, чтобы сечение решетки представляло собой пилообразную функцию, показанную на рисунке, причем поверхность каждого желобка лежит под определенным углом $\theta_{b}$.
a) Используя понятие о дифрагированном пучке света как об излучении, испускаемом в веществе осцилляторами, которые колеблются в одной фазе с падающим излучением, определите, в каком направлении дифрагированный пучок будет иметь наибольшую интенсивность, если $\theta_{i}=0$ ?
б) Приблизительно оцените тот угловой интервал, внутри которого решетка «блестит».
30. 7. Интерферометр Фабри – Перо состоит из пары прецизионно отшлифованных плоских поверхностей, параллельных друг другу и расположенных на расстоянии $D$. Эти поверхности отражают часть $R^{2}$ света, нормально падающего на них, и пропускают долю $T^{2}$. Свет с интенсивностью $I_{0}$ и длиной волны $\lambda$ вначале падает слева (см. рисунок), причем часть лучей сразу проходит через систему, а некоторая их доля отражается от правой поверхности, потом от левой, а затем проходит сквозь систему. В общем проходящий пучок состоит из лучей, которые отразились $0,2,4,6 \ldots$ раз и в конце концов прошли через обе поверхности. Қак интенсивность проходящего света зависит от величин $D, \lambda, R$ и $T$ ?
Примечание. Узкополосные оптические фильтры, называемые интерференционными, действуют по такому же принципу. Обе отражающие поверхности у них сделаны из нескольких слоев высококачественного стекла точно фиксированной толщины и с различными показателями преломления.

К главе 31. Как возникает показатель преломления

31. 1. Найдите показатель преломления алюминия для рентгеновских лучей с длиной волны $1,56 \cdot 10^{-8} \mathrm{cM}$, предполагая, что электроны в алюминии имеют собственную частоту, много меньшую, чем частота рентгеновских лучей.
31. 2. Показатель преломления ноносферы для радиоволн с частотой 100 мксек $^{-1}$ равен $n=0,90$. Определите плотность электронов в 1 см $^{3}$ ионосферы.
31. 3. Электрическое поле $E$ световых волн, проходящих через среду с показателем преломления $n$, равно $E_{0} e^{i \omega(t-n z / c)}$.
a) Покажите, что если $n=n^{\prime}-i n^{\prime \prime}$, то
\[
E=E_{0} e^{-n^{\prime \prime} \omega z / c} e^{i \omega\left(t-n^{\prime} z / c\right)} .
\]
б) Используя выражение $n-1=\frac{N q^{2}}{2 \varepsilon_{0} m} \cdot \frac{1}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}+i \gamma \omega}$, найдите, по какому закону ослабляется интенсивность световой волны, частота которой в точности равна собственной частоте $\omega_{0}$ атома.
31. 4. Известно, что мгновенная плотность потока энергии электромагнитной волны равна $S=\varepsilon_{0} c E^{2} \quad \mathrm{вm} / \mathrm{m}^{2}$.
a) Найдите полную энергио, излучаемую в единицу времени электроном, осциллирующим с амплитудой $x_{0}$ и угловой частотой $\omega$.
б) Сравните энергию, излучаемую за одно колебание, с запасенной энергией $1 / 2 m \omega^{2} x_{0}^{2}$, и найдите константу затухания $\gamma_{R}$. Это затухание называется радиационным затуханием.
в) Возбужденный атом испускает фотоны с определенной длиной волны $\lambda$. Рассчитайте ожидаемое уширение $\Delta \lambda$ спектральной линии, если оно возникает исключительно из-за радиационного затухания. (Рассматривайте атом как крошечный осциллятор, обладающий затуханием.)

К главе 32. Радиационное затухание. Расселние света

32. 1. Покажите, что если уравнение движения заряженного осциллятора имеет вид
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{0}^{2} x-\frac{2 e^{2}}{3 c^{3} m} \frac{d^{3} x}{d t^{3}}=\frac{F(t)}{m},
\]

то член, содержащий третью производную, правильно описывает скорость уменьшения энергии при излучении (сопротивление излучения) для любой частоты.
Примечание. Пусть $F(t)=A \cos \omega t$. Найдите количество энергии, излучаемой осциллятором.
32. 2. Пучок света проходит через область, содержащую $N$ рассеивающих центров в единице объема. Сечение рассеяния света на каждом из них равно $\sigma$. Покажите, что интенсивность света в зависимости от пройденного расстояния $x$ описывается формулой $I=-I_{0} e^{-N^{\sigma} x}$.
32. 3. Используя выражение для сечения рассеяния
\[
\sigma=\frac{8 \pi}{3}\left(\frac{e^{2}}{m_{e} c^{2}}\right)^{2} \frac{\omega^{4}}{\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2}}
\]

и выведенную ранее формулу для показателя преломления газа, покажите, что величина $N \sigma$ может быть записана в виде
\[
N \sigma=\frac{2}{3 \pi} \frac{(n-1)^{2}}{N}\left(\frac{2 \pi}{\lambda}\right)^{4} .
\]
(Таким способом было вычислено впервые число Авогадро при изучении рассеяния света.)
32. 4. Сколько голубого света ( $\lambda=4500 \AA)$, испускаемого Солнцем, проходит через атмосферу, когда Солнце находится
a) в зените?
б) под углом $10^{\circ} \mathrm{k}$ горизонту?
32. 5. Открыты новые лучи (названные $X$-лучами, ибо они обладают неизвестными, но удивительными свойствами) и высказано предположение, что это, подобно свету, поперечные волны. Затем было замечено, что электроны вещества рассеивают эти лучн. Как можно доказать, что они действительно поперечны? Можно ли их поляризовать?
32. 6. Внутренняя корона Солнца (называемая $K$-короной) представляет собственно солнечный свет, рассеянный свободными электронамй. Қажущаяся яркость этой $K$-короны на расстоянии одного солнечного радиуса от солнечного диска составляет около $10^{-8}$ от яркости самого диска (на единицу площади). Вычислите число свободных электрснов в 1 см $^{3}$ пространства вблизи Солнца.
32. 7. Покажите, что величина $\left(\varepsilon_{0} c\right)^{-1}$ имеет размерность сопротивления и оцените ее численно.
32. 8. Межзвездное пространство заполнено облаками из крошечных пылинок, состоящих из углерода, льда и очень малого количества других элементов. Какова должна быть минимальная масса таких пылинок, отнесенная к единице площади (1 $2 / c \mathrm{c}^{2}$ ), способная ухудшить наши наблюдения за звездами, скажем, в 100 раз (т. е. на 5,0 звездной величины). Не забудьте, что свет от звезд может не только рассеиваться на пылинках, но и просто поглощаться ими.
32. 9. Короткий прямой кусок медной проволоки, помещенный в поток электромагнитных волн радарной системы, рассеивает волны. Электрическое поле падающей волны взаимодействует с движущимися электронами в проволоке, в результате чего происходит рассеяние. Если рассматривать достаточно короткий кусок проволоки (длина которого много меньше $\lambda$ ), то можно предположить, что среднее смещение электронов в нем вдоль оси пропорционально компоненте $E_{\|}$электрического поля волны, параллельной проволоке. Таким образом, если в проволоке имеется $N$ электронов, а $d$ – их среднее смещение, то $d=\chi E_{\|}$. Нам нужно знать (в зависимости от $\chi$ и $N$ ):
a) чему равно сечение рассеяния проволоки?
б) как зависит сечение рассеяния от ориентации проволоки?

К главе 33. Поляризация

33. 1. Две поляроидные пластини расположены под прямым углом, а третья размещается между ними так, чтобы ее ось составляла угол $\theta$ с осью первого поляроида. Қакова интенсивность света, проходящего через такое устройство, если все поляроиды идеальны (потерь нет)?
33. 2. Предположим, что когда пучок плоско поляризованного света падает на поляроидную пластинку, то часть его $\alpha^{2} I_{0}$ ( $I_{0}$ – интенсивность падающего света) проходит через пластинку, если ось поляроида параллельна направлению поляризации. Если же эти оси образуют прямой угол, то через пластинку проходит только доля падающего света $\varepsilon^{2} I_{0}$. (Если поляроид идеальный, то $\alpha^{2}$ должно быть равно единице, а $\varepsilon^{2}$ – нулю.) Неполяризованный свет интенсивности $I_{0}$ проходит через пару поляроидных пластинок, оси которых образуют угол $\theta$. Қакова интенсивность прошедшего света? (Пренебречь эффектами отражения.)
33. 3. Покажите, что для угла Брюстера (угол падения $i$, при котором отраженный луч полностью поляризован) справедливо соотношение $\operatorname{tg} i=n$.
33. 4. Оцените интенсивность и поляризацию излучения электрона, движущегося с постоянной скоростью по круговой орбите, для точек, расположенных:
a) на оси, проходящей через центр круга,
б) в плоскости окружности.
33. 5. Показатели преломления кристаллического кварца для света с длиной волны 600 ммк равны $n_{o}=1,544$ и $n_{e}=1,553$ для обыкновенного и необыкновенного лучей соответственно. В кристалле кварца, вырезанном параллельно оптической оси, можно получить максимальную разность скоростей обыкновенного и необыкновенного лучей, если они нормально падают на поверхность кристалла. Қакова должна быть толщнна кристалла, чтобы произошел сдвиг фаз этих лучей на $90^{\circ}$, если используется свет указанной длины волны?
33. 6. Первокурсник КАЛТЕХа, прогуливаясь с девушкой, видит Луну под углом $10^{\circ}$ над горизонтом и ее отражение в спокойном озере. С тоской вспоминая гл. 33 «Лекций», он делает попытку рассчитать яркость изображения по сравнению с яркостью самой Луны, полагая, что излучение от Луны не поляризовано (почти), и забывая, что обиженная спутница уйдет. Қакой результат он получит? Покажите, что интенсивность отраженных касательных лучей достигает $100 \%$.
33. 7. Свет падает перпендикулярно плоскости одной из граней алмаза $(n=2,40)$.
a) Қакая доля падающего излучения отражается? б) Чему равен угол Брюстера для алмаза?
33. 8. В дополнение к задаче 33.5 предположим, что показатети преломления кварца для света с длиной волны $\lambda_{1}=410$ ммк равны $n_{o}=1,557$ и $n_{e}=1,567$ и что кристалл кварца есть четвертьволновая пластинка для света с длиной волны $\lambda_{2}=600$ ммк. Полностью опишите состояние поляризации света с длиной волны $\lambda_{1}$, прошедшего через кристалл, если падающие лучи были линейно поляризованы.
33. 9. Вам дана отполированная пластинка из черного обсидиана, нужно измерить показатель преломления этого материала. Қак вы поступите?

K главе 34. Релятивнстские явления в излуиении

34. 1. Диск радиуса $A$ катится без скольжения по горизонтальнсй плоскости. Напишите уравнение пути, проходимого точкой, находящейся на расстоянии $R \leqslant A$ от центра диска в зависимости от $A, R$ и угла поворота диска $\theta$. Ось $x$ направлена вертикально от центра диска, а ось $z$ – в направлении его движения. Найдите ускорение $d^{2} x / d t^{2}$ точки при $z=c t$.
34. 2. Полученное в предыдущей задаче выражение необходимо для вычисления интенсивности излучения частицы, движущейся по круговой траектории радиуса $R$. Выразите результат через наблюдаемые величины $R, v$ (скорость частицы) и $x$ (положение частицы в момент наблюдения).
34. 3. Найдите отношение интенсивностей излучения заряженной частицы, когда она движется по направлению к наблюдателю и от него по круговой орбите.
34. 4. Получите формулу $\sin \theta=v / c$, используя преобразования Лоренца.
34. 5. Покажите, что скорость электрона с энергией 1 Гэ отличается от скорости света на одну восьмимиллионную часть.
34. 6. При наблюдении $D$-линии излучения атомов натрия (лабораторная длина волны 589,0 ммк) установлено, что она сдвинута в спектре излучения звезды и имеет длину волны 588,0 ммк. Чему равна скорость звезды относительно наблюдателя?
34. 7. Астроном из КАЛТЕХа Р. Минковский пришел к выводу, что наиболее отдаленная туманность, которую он наблюдал, имела скорость движения $0,6 c$ (удаленные космические объекты движутся от нас). Чему равен допплеровский сдвиг для света, приходящего от этой туманности? Найдите наблюдаемую длину волны в спектре света от этой туманности, если длина волны в лабораторной системе составляет 300 ммк.
34. 8. Брэдли открыл в 1728 г. аберрацию света, суть которой состоит в том, что при наблюдении звезды кажутся смещенными из-за того, что Земля движется по своей орбите. Поэтому в опытах телескоп долже! быть направлен вперед максимум на $20,5^{\prime \prime}$, когда рассматриваются звезды, находящиеся вблизи от полюса эклиптики. Если считать, что скорость света равна $3,00 \cdot 10^{8} \mathrm{~m} /$ сек, то какова величина радиуса земной орбиты в этом опыте?
34. 9. Предположим, что межпланетное пространство заполнено малыми крупинками пыли со средним удельным весом $\rho$ и приблизительно сферической формь: радиуса $R$.
a) Покажите, что для песчинки любого размера отношение силы гравитационного притяжения к Солнцу и радиационного отталкивания от Солнца не зависит от расстояния до него.
б) Используя тот факт, что интенсивность солнеч ного излучения на земной орбите составляет $1374 \mathrm{~cm} / \mathrm{m}^{2}$, и предполагая сечение поглощения; излучения равным $\pi R^{2}$, найдите, для какого значения радиуса $R$ силы радиационного давления и гравитационного притяжения будут полностью скомпенсированы?
в) Учитывая результаты, полученные в гл. 32 «Лек. ций» (вып. 3), мокно ли утверждать, что сеченис поглощения песчинки может быть значительнс больше $\pi R^{2}$ ?

K главе 38. Соотношение между волновой и корпускулярной точками зрения

38. 1. В гл. 32 «екций» мы показали, что возбужденный атом излучает свою энергию определенными порциями. Это приводит к эффекту ограничения «времени жизни» возбужденного состояния и к образованию конечной ширины соответствующей спектральной линии. Покажите, что эти эффекты, интерпретируемые как неопределенности в измерении энергии и времени излучения фотона, согласуются с принципом неопределенности.
38. 2. Анализируя размерности, оцените «боровский радиус» атома водорода. Покажите, пользуясь принципом неопределенности, что энергия, необходимая для отрыва электрона от протона в атоме водорода,- порядка нескольких электрон-вольт.
38. 3. В ультрафиолетовой части спектра возбуждения водорода наблюдается серия линий, известных под названием серии Лаймана. Три тінии этой серии имеют длины волн: 1216, 1026, 973 А. Рассчитайте длины волн, отвечающие трем другим возможным линиям в спектре возбуждения водорода, которые могут быть «предсказаны» на основе одних этих данных, а также комбинационного принципа Ритца. Две из них лежат в видимой области (серия Бальмера), а одна – в инфракрасной (первая линия серии Пашена)