$К$ главе 1. Электромагнетизм
1. 1. Электрические силы и силы гравитации.
a) Какой должна была бы быть масса протона, чтобы сила гравитационного притяжения между двумя покоящимися протонами по величине совпадала с силой их электрического отталкивания? Қаково отношение этой массы к обычной массе протона?
б) Қакой была бы величина силы электростатического взаимодействия двух монет по 1 копейке, помещенных на противоположных концах лекционной доски, ширина которой равна 10 м если бы заряды ядер и электронов этих монет компенсировали себя лишь с точностью до $1 \%$ ? Можете ли вы себе представить тело, вес которого по величине совпадал бы с этой силой?
1. 2. Оцените приближенно работу, которую необходимо затратить на преодоление силы электрического отталкивания при образовании ядра урана из двух одинаковых половинок. Чему равна эта работа при образовании ядра гелия из двух дейтронов? Выразите оба ответа в киловатт-часах на килограмм.
1. 3. На каждый атом меди приходится один электрон проводимости. Какова средняя скорость электронов проводимости, если через медный провод диаметра 0,2 мм течет ток 10 ? ? Чему равно в этом случае отношение $v^{2} / c^{2}$ ? (Напомним, что отношение «магнитных» эффектов к «электрическим» такого же порядка.)
1. 4. В области пространства создано однородное электрическое поле $\mathbf{E}$ напряженностью $10000 \mathrm{~s} / \mathrm{cm}$,
Б. Электричество и магнетизм
направленное вдоль оси $x$, а также однородное магнитное поле В, направленное вдоль оси $y$. Через эту область в направлении оси $z$ по прямой ликии движется пучок $\mu$-мезонов со скоростью, равной $c / 3$.
a) Какова напряженность магнитного поля В? (Масса заряженного $\mu$-мезона равна 207 электронным массам, а его заряд по величине совпадает с зарядом электрона.)
б) Можно ли с помощью этого эксперимента определить знак заряда мюона?
1. 5. а) В некоторой области пространства создано постоянное однородное магнитное поле $B_{x}=0, B_{y}=0$ и $B_{z}=B_{0}$. Электрических полей и токов в этой области пространства нет. Из начала координат в положительном направлении оси $x$ со скоростью $v$ вылетает частица массы $m$ с положительным зарядом $q$. Опишите траекторию частицы в переменных $B_{0}, m, v$ и $q$ (предполагая, что $v / c \ll 1$ ).
б) Предположите, что $B_{x}=0, B_{y}=0$, а $B_{z}=B_{0}+a x$, где $a x$ всюду мало по сравнению с $B_{0}$. Опишите качественно траекторию частицы [см. работу Шарпака с сотрудниками, опубликованную в «Physical Review Letters», 6, 128 (1961), где подобное поле использовалось в одном ответственном эксперименте].
в) Покажите, что магнитное поле такого вида не удовлетворяет уравнениям Максвелла, если оно замкнуто в конечном объеме или, как предполагалось выше, в объеме отсутствуют токи или электрическое поле.
1. 6. В поле неподвижного отрицательного точечного заряда, расположенного в начале координат, а также в однородном магнитном поле $B_{0}$, направленном в положительном направлении оси $z$, из точки $x=z=0, y=a$ движется частица массы $m$ с положительным зарядом $q$ и малой скоростью $\mathbf{v}=v_{0} \mathbf{e}_{x}$.
a) При какой величине напряженности поля $B_{0}$ траектория частицы будет представлять собой окружность радиуса $a$ с центром в начале координат?
б) Объясните, почему в том случае, когда напряженность магнитного поля отличается от найденной, скорость частицы зависит только от еe расстояния до начала координат.
в) Схематически нарисуйте несколько витков траектории частицы, когда частица начинает свое движение из точки $x=z=0, y=a$ с нулевой скоростью.

К главе 2. Дияфверенциальное исиисление векторных полей
2. 1. Медная проволока радиуса $a=1$ мм равномерно покрыта слоем изоляции, внешний радиус которого равен $b$. Электрическим током проволока нагревается до температуры $T_{1}$, при этом температура внешней поверхности изоляционного покрытия $T_{2}$ остается почти комнатной.
a) Чему равен $
abla T$ внутри покрытия? Ответ выразить в переменных $a, b, T_{1}$ и $T_{2}$.
б) Чему равна разность температур $T_{1}-T_{2}$, если через медную проволоку, покрытую слоем резины (толщина 0,2 см, коэффициент теплопроводности $1,6 \cdot 10^{-3} \mathrm{sm} /$ см-град), течет ток 20 a?
2. 2. Вычислением «в лоб» покажите, что
а) $
abla \cdot(
abla \times \mathbf{A})=0$,
б) $
abla \times(
abla \times \mathbf{A})=
abla(
abla \cdot \mathbf{A})-
abla^{2} \mathbf{A}$
2. 3. Покажите, что если $\mathbf{R}$ – радиус-вектор, проведенный из начала координат в точку $x, y, z$, то
a) $\operatorname{div} \mathbf{R}=3$,
б) $\quad \operatorname{rot} \mathbf{R}=0$,
в) $\quad
abla \cdot\left(\frac{\mathbf{R}}{R^{3}}\right)=0$,
г) $
abla \times\left(-\frac{R}{R^{3}}\right)=0$, (при $R
eq 0$ ).
д) $
abla\left(\frac{1}{R}\right)=-\frac{R}{R^{3}}$
е) Из равенства (б) и формулы (2.46) «Лекций» (вып. 5, стр. 42) следует, что вектор $R$ можно представить в виде $R=
abla \varphi$. Найдите функцию $\varphi$.
2. 4. Уравнения Максвелла имеют вид
1) $
abla \cdot \mathrm{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$,
2) $
abla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$,
3) $
abla \cdot \mathbf{B}=0$,
4) $c^{2}
abla \times \mathbf{B}=\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}+\frac{\mathbf{B}}{\varepsilon_{0}}$.
Закон сохранения заряда можно записать в виде 5) $\quad
abla \cdot \mathbf{j}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}$.
a) Покажите, что уравнения 3 и 2 совместны.
б) Покажите, что уравнение 5 можно получить, взяв дивергенцию от левой и правой частей уравнения 4 (т. е. убедитесь, что уравнения Максвелла справедливы лишь при выполнении закона сохранения заряда).
в) Покажите, что в пустоте $(j=0, \rho=0)$ поле $\mathbf{E}$ удовлетворяет волновому уравнению
\[

abla^{2} \mathbf{E}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}}=0 .
\]

г) Покажите, что в пустоте поле В удовлетворяет такому же волновому уравнению
\[

abla^{2} \mathbf{B}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \mathbf{B}}{\partial t^{2}}=0 .
\]
д) Покажите, что, согласно уравнению 2 , поле $\mathbf{E}$ можно представить в виде $\mathbf{E}=-
abla \varphi-(\partial \mathbf{A} / \partial t)$, где $\mathbf{A}$ – векторный потенциал магнитного поля $\mathbf{B}=
abla \times \mathbf{A}$. Почему вектор В может быть представлен в таком виде?
2. 5. Пусть $\mathbf{v}(x, y, z)$ – поле скоростей твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси. Покажите, что
a) $
abla \cdot \mathbf{v}=0$,
б) $
abla \times \mathbf{v}=2 \boldsymbol{\omega}$,
где $\boldsymbol{\omega}$ – вектор угловой скорости.
2. 6. Покажите прямым вычислением, что если $\mathbf{A}-$ постоянный вектор, а $\mathbf{R}$ – радиус-вектор, то
\[
\operatorname{rot}(\mathbf{A} \times \mathbf{R})=2 \mathbf{A} \text {. }
\]

Если, однако, в хорошо известную формулу
\[
\mathbf{B} \times(\mathbf{A} \times \mathbf{C})=\mathbf{A}(\mathbf{B} \cdot \mathbf{C})-(\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}) \mathbf{C}
\]

вместо векторов В и $\mathbf{C}$ формально подставить $
abla$ и $\mathbf{R}$, то получится неверный результат
\[

abla \times(\mathbf{A} \times \mathbf{R})=\mathbf{A}(
abla \cdot \mathbf{R})-(
abla \cdot \mathbf{A}) \mathbf{R}=3 \mathbf{A} .
\]

В чем тут дело?
2. 7. Длинный стальной стержень подвергается некоторой термической обработке, в результате чего в некоторый момент времени после начала остывания стержня распределение температуры $T(x)$ вдоль стержня имеет вид, изображенный на фиг. 1. Изотермы, нанесенные с интервалом температур в $10^{\circ} \mathrm{C}$, изображены на фиг. 2. Будем предполагать, что температура в каждой точке стержня зависит только от расстояния $x$ до конца стержня. Нарисуйте в точках $A, B, C$ векторы, направление и длина которых совпадают с направлением и величиной $
abla T$. В какой из пяти отмеченных точек дивергенция теплового потока $h$ максимальна? В каких из пяти точек $
abla \times \mathbf{h}=0$ ?

К главе 3. Интегральное исчисление векторов
3. 1. а) Уравнения Максвелла в гл. 1 «Лекций» были сформулированы словесно, а в гл. 2 – в дифференциальной форме. Покажите, что обе формы уравнений Максвелла эквивалентны.
б) Покажите, что уравнение
\[

abla \cdot \mathbf{j}=-\frac{\partial \rho}{\partial t},
\]

где $\rho$ – плотность зарядов, а $\mathbf{j}$ – вектор плотности тока, есть не что иное, как закон сохранения заряда.
3. 2. Поверхность шара покрыта равномерным слоем радиоактивного вещества, которое испускает $\alpha$-частицы высокой энергии. Вообразим, что $\alpha$-частицы вылетают только наружу от поверхности шара, причем только в радиальном направлении. C поверхности шара тем самым стекают заряды, т. е. течет некоторый ток. Создает ли этот ток магнитное поле?
3. 3. Напряженность электрического поля точечного заряда, помещенного в начало координат, имеет вид $\mathbf{E}=\frac{K}{r^{3}} \mathbf{r}, \quad$ где $\quad r=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{1 / 2}, \mathbf{r}=\mathbf{i} x+\mathrm{j} y+\mathbf{k} z$
( $K$ – некоторая постоянная).
a) Вычислите поток вектора напряженности электрического поля $\mathbf{E}$ через поверхность сферы радиуса $a$, центр которой совпадает с зарядом.
б) Воспользовавшись теоремой Остроградского Гаусса, представьте поток вектора Е через поверхность сферы в виде объемного интеграла от $(
abla \cdot \mathbf{E})$. Можете ли вы объяснить полученный вами результат?
в) Вычислите циркуляцию вектора $\mathbf{E}$ вдоль контура, изображенного на рисунке (контур лежит в плоскости $x y$ ). Убедитесь в правильности полученного результата, воспользовавшись теоремой Стокса.
3. 4. Воспользовавшись решением задачи 2.3(a), получите формулу (практически бесполезную) для произвольного объема в виде интеграла по поверхности этого объема. Убедитесь в правильности вашего ответа для сферы и прямоугольного параллелепипеда.

К главе 4. Электростатика
4. 1. Найдите потенциал $\varphi$ в точке $P$, удаленной на расстояние $r$ от заряженной нити длиной $l_{1}+l_{2}$. Линейная плотность зарядов на нити равна $\lambda$ (см. рисунок).
Сравните полученный результат с тем, которого следует ожидать в случае $r \gg\left(l_{1}+l_{2}\right)$. Проверьте ваш ответ в предельном случае $r \ll\left(l_{1}+l_{2}\right)$, сравнив напряженности электрического поля, найденные с помощью $\varphi$ и по теореме Гаусса.
4. 2. Вычислите напряженность электрического поля в точке $P$, расположенной на оси тонкого равномерно заряженного диска радиуса $R$ на расстоянии $r$
4. 3. Две металлические сферы имеют общий центр, причем внутренней из них сообщен заряд $q^{\prime}$, a внешней – заряд $q$.
a) Найдите зависимость электрического потенциала от радиуса на далеких расстояниях.
б) Найдите зависимость напряженности электрического поля от радиуса.
в) Чему равен потенциал на поверхиости внутренней сферы?
г) Қак изменится электрическое поле на расстояниях $r>r_{c}$ и $r_{c}>r>r_{b}$, если центры внутренней и внешней сфер слегка разойдутся?

К главе 5. Применения закона Гаусса
5. 1. Покажите, что электрический потенциал $\varphi$ обладает следующим интересным свойством: среднее значение $\bar{\varphi}$ на воображаемой сферической поверхности равно значению $\varphi(0)$ в центре этой сферы при условии, что внутри сферы нет никаких зарядов. В каких задачах, по вашему мнению, удобно воспользоваться этим свойством?
5. 2. Найдите напряженность электрического поля во внутренних точках очень длинного равномерно заряженного цилиндра, достаточно удаленных от его концов. Чем отличается результат от получающегося в случае равномерно заряженного шара?
5. 3. Две широкие параллельные металлические пластины находятся друг от друга на расстоянии $d$. Края этих пластин соединены металлическим проводом. Между пластинами на расстоянии $1 / 3$ ниже верхней пластины натянута тонкая равномерно заряженная пластмассовая пленка, на единицу площади которой приходится заряд $\sigma$. Найдите напряженности электрического поля $\mathbf{E}_{1}$ и $\mathbf{E}_{2}$ вблизи верхней и нижней пластин.
5. 4. Найдите выражение для $x$-компоненты электрического поля, если плотность зарядов $\rho$ в пространстве зависит только от $x$.
5. 5. В электронной лампе электроны вылетают из раскаленной металлической пластины (катод) и собираются на плоской металлической пластине (анод), расположенной параллельно эмиттирующей поверхности на расстоянии $d$ от нее. (Расстояние $d$ предполагается малым по сравнению с размерами обеих пластин.) Потенциал электрического поля между пластинами меняется по закону $\varphi=k x^{4 / 3}$, где $x$ расстояние от эмиттера.
a) Чему равна плотность поверхностных зарядов на эмиттере? На коллекторе?
б) Қак меняется плотность объемного заряда $\rho(x)$ в пространстве между пластинами, т. е. в интервале $0<x<d$ ?
5. 6. Пусть на поверхности проводника распределень заряды с плотностью $\sigma$ кулон $/ \mu^{2}$, где $\sigma$ – вообще говоря, переменная величина. Покажите, что сила, действующая на заряд, заключенный в элементарной площадке $d A$, нормальна к поверхности проводника и равна $1 / 2\left(\sigma^{2} / \varepsilon_{0}\right) d A$. (Множитель $1 / 2$ правилен. Объясните, почему он возникает?)
5. 7. Максимальная напряженность электрического поля, которое может существовать на поверхности проводника, граничащего с вакуумом, по порядку величины равна 10 в/м. Полагая, что поверхностный заряд, создающий это поле, отрицателен, сравните число избыточных электронов, приходящееся на единицу площади, с числом атомов, приходящихся на ту же площадь. Сравните величину силы, действующей на электрон в таком поле, с величиной силы, которую испытывает электрон в поле протона на расстояниях порядка атомных.
5. 8. Отрицательный мюон ( $\mu$-мезон) – это частица, заряд которой равен заряду электрона, а масса в 207 раз тяжелее массы электрона. При торможении в веществе отрицательный мюон может быть захвачен ядром какого-нибудь атома и заместить один из вращающихся вокруг ядра электронов, образовав «мезоатом». Так как масса мюона велика, то размер его орбиты во много раз меньше размеров орбит атомных электронов, например, для тяжелых ядер орбита мюона, соответствующая его наинизшему энергетическому состоянию, даже находится внутри ядра. Мюон взаимодействует с ядерным веществом с помощью не ядерных сил, а электрических, причем ядро им воспринимается как равномерно заряженный шар. Из независимых экспериментов было найдено, что радиус ядра зависит от суммарного числа протонов и нейтронов ( $A$ ) следующимобразом: $R=R_{0} \cdot A^{1 / 3}\left(R_{0} \approx 1,2 \cdot 10^{-15} \mathrm{M}\right)$. Рассмотрим модель мезоатома свинца, в котором мюон осциллирует относительно центра ядра вдоль произвольной линии, проходящей через этот центр. Чему равна собственная частота $\omega$ таких осцилляций?
Вы уже знаете, что квантовые уровни гармонического осциллятора отстоят друг от друга на энергию $h \omega$. Чему равна разность энергий двух самых низких состояний мезоатома в рассматриваемой модели? Экспериментально было обнаружено, что при образовании мезоатомов в свинце испускаются $\gamma$-лучи с энергией 6 Мэв. Қак бы вы интерпретировали этот факт?
5. 9. Представьте себе, что через земной шар по диаметру прорыт туннель. Плотность пород, образующих земной шар, можно считать постоянной. Покажите, что если в этот туннель бросить какой-то предмет, то он будет совершать колебания относительно центра земного шара с периодом, равным периоду обращения спутника, запущенного вокруг Земли над самой ее поверхностью.
5.10. Известно, что за год Земля выделяет тепловую энергию, примерно равную $Q=8 \cdot 10^{20}$ дж. Не строя последовательной теории этого явления, можно рассмотреть несколько весьма упрощенных моделей, позволяющих сделать правильные оценки по порядку величины. В качестве примера рассмотрим модель, согласно которой все тепло создается в результате распада радиоактивных веществ, однородно распределенных по объему земного шара: кинетическая энергия испускаемых ими частиц полностью переходит в тепло.
По существующим оценкам температура в центре Земли примерно равна $2500^{\circ} \mathrm{C}$, а теплопроводность земиых пород в среднем равна 0,03 дж/см-сек-град. Находится ли описанная выше модель в согласии с этими оценками?
5.11. Два длинных коаксиальных проводящих цилиндра заряжены так, что на далеком расстоянии от их концов на единицу длины внутреннего цилиндра приходится $\lambda_{1}$ кулонов, а на единицу длины внешнего цилиндра $\lambda_{2}$ кулонов. Внутренний и внешний радиусы внутреннего цилиндра равны $r_{1}$ и $r_{2}$, а внешнего цилиндра равны $r_{3}$ и $r_{4}$. Найдите поле $\mathbf{E}(r)$ в точках, расположенных вблизи середины цилинд: ров (т. е. там, где краевыми эффектами можно пренебречь). Определите разность потенциалов между цилиндрами.

Опищите качественно, в какую сторону будут меняться напряженность поля и потенциал, если:
1) $r_{1}$ будет уменьшаться;
2) $r_{2}$ будет увеличиваться;
3) внешний контур сечения внутреннего цилиндра имеет форму квадрата со сторонами, равными $2 r_{2}$ (при этом предполагается, что $\sqrt{2} r_{\mathrm{g}}<r_{3}$ )?

К главе 6 и 7. Электричесное поле в разных бизииеских условиях
6. 1. Методом изображений найдите силу, действующую на заряд $q$, помещенный на расстояниях $a$ и $b$ от двух проводящих полуплоскостей, образующих между собой прямой угол.
6. 2. Частица с зарядом $q$, в начальный момент времени закрепленная на расстоянии $x_{0}$ от поверхности заземленной проводящей плоскости, освобождается и начинает двигаться по направлению к поверхности.
a) Қак зависит кинетическая энергия частицы от расстояния $x$ до поверхности? (Потерями энергии частицы на излучение пренебречь.) Есть ли чтонибудь нефизическое в вашем ответе?
б) Реальную металлическую пластинку можно рассматривать как идеальную проводящую плоскость лишь на расстояниях, превышающих межатомные, т. е. лишь до расстояний примерно 2-3 А. Оцените кинетичесъую энергию электрона, который в момент $t=0$ был освобожден на расстоянии 1 cм от проводящей пластинки. Ответ выразить в электрон-вольтах.
6. 3. Прямоугольный пластмассовый брусок с размерами 1 см $\times 10$ см $\times 100$ см равномерно заряжен. Плотность зарядов равна $\rho \kappa у л о н /$ м $^{3}$. Нарисуйте примерный ход потенциала $\varphi$ как функции расстояния до центра бруска вдоль прямой линии, перпендикулярной стенке с размерами 10 см $\times 100$ см и проходящей через центр бруска. Рассмотрите интервал расстояний от 0,001 см (внутри бруска) до расстояний, во много раз превышающих $100 \mathrm{~cm}$. Масштаб возьмите дважды логарифмический, т. е. нарисуйте $\log \varphi$ как функцию логарифма расстояния. На том же графике нарисуйте кривую зависимости напряженности электрического поля $\mathbf{E}$ от расстояния.
6. 4. Земля непрерывно облучается космическими лучами высокой энергии, приходящими из пространства вне Солнечной системы. С помощью измерений, выполненных на зондах и спутниках, было установлено, что космические лучи в основном состоят из протонов и лишь малую часть их составляют $\alpha$-частицы, тяжелые ядра и электроны. Средняя өнергия протоноз в космических лучах оказалась равной нескольким миллиардам электрон-вольт; интенсивность потока протонов, достигающих земной атмосферы, примерно равна одному протону в секунду на 1 см $^{2}$. Интересно, какое время необходимо, чтобы заряженные частицы космических лучей подняли потенциал Земли настолько, чтобы протоны уже не могли попасть на поверхность Земли из-за электрического отталкивания? Велико ли это время по сравнению с возрастом Земли, оцениваемым примерно в 5 миллиардов лет? Если это время меньше возраста Земли, то почему космические лучи продолжают достигать ее поверхности?
6. 5. Определите емкость, приходящуюся на единицу длины бесконечного цилиндрического конденсатора, изготовленного из двух проводящих коаксиальных цилиндров, радиусы которых равны $a$ (внутренний цилиндр) и $b$. Ответьте качественно на вопрос, что случилось бы, если бы в конструкции конденсатора оказались дефекты, скажем на поверхности внешнего цилиндра имелся бы острый выступ?
6. 6. а) Чему равна плотность поверхностных зарядов, индуцированных на поверхности незаряженной изолированной проводящей сферы, расположенной на расстоянии $b$ от точечного заряда $q$ ?
б) Чему равна сила, действующая на заряд со стороны сферы, если потенциал последней равен $V$ ?
6. 7. В гл. 6 «Лекций» (вып. 5) на основе качественных рассуждений было показано, что электрическое поле вне сферы, плотность поверхностных зарядов на которой меняется в зависимости от полярного угла $\theta$ как $\cos \theta$, можно себе представить как суперпозицию электрических полей двух слабо сдвинутых относительно друг друга и противоположно заряженных шаров. Покажите теперь это путем вычислений и найдите электрическое поле как вне, так и внутри сферы, считая, что плотность поверхностных зарядов на ней зависит от полярного угла $\theta$ : $\sigma(\theta)=A \cos \theta$, где $A$ – некоторая постоянная.
6. 8. Поле электрического диполя определяется выражениями (6.14) и (6.15) «Лекций» (вып. 5, стр. 113).
a) Найдите радиальную и тангенциальные составляющие вектора напряженности электрического поля диполя в точке $(r, \theta, \varphi)$.
б) Покажите, что электрическое поле диполя направлено в одну и ту же сторону во всех точках прямой, проходящей через диполь.
в) Найдите направление и относительные величины напряженности $\mathbf{E}$ на некотором произвольном расстоянии от диполя в точках, определяемых углами $0, \pi / 4$, и $\pi / 2$, отсчитанными от направления вектора p?
6. 9. Пусть диполь находится в однородном злектрическом поле с напряженностью $\mathbf{E}_{0}$.
a) Если направление дипольного момента совпадает с направлением электрического поля, то существует эквипотенциальная поверхность, охватывающая диполь. Покажите, что такой поверхностью является сфера, и найдите величину дипольного момента, для которой сфера имеет радиус $a$.
б) Опишите электрическое поле вне этой сферы.
в) Изменится ли электрическое поле, если с этой эквипотенциальной поверхностью совпадет тонкая проводящая сфера, заряженная до того же потенциала?
г) Как будут распределены заряды на сфере?
д) Каким дипольным моментом будет обладать это распределение зарядов?
е) Как бы вы использовали полученные результаты?
6 10. Частица с дипольным моментом р помещена на расстоянии $r$ от длинного провода, на единицу длины которого приходится заряд $\lambda$ ( $\lambda$ – константа). Вектор дипольного момента расположен в плоскости, проходящей через провод и частицу.
a) Чему равна сила, действующая на частицу, и момент этой силы, если вектор $\mathbf{p}$ направлен нормально к проводу?
б) Чему равна сила, действующая на частицу, и момент силы, если вектор р параллелен проводу?
6.11. Найдите потенциал, создаваемый большой пластиной, на единицу площади которой приходится $N$ диполей, как функцию расстояния от этой пластины. Считайте, что все диполи обладают одинаковым дипольным моментом p, направленным перпендикулярно поверхности пластины.
6.12. Электрический заряд $+q$ равномерно распределен по тонкому кольцу радиуса $a$. Центр кольца совпадает с началом координат, а плоскость кольца совпадает с плоскостью $y z$. В начале координат помещен заряд $-q$.
a) Найдите потенциал $\varphi$ в точке $P$, расположенной на оси $x$ на расстоянии $x$ от начала координат.
б) Чему равно электрическое поле в этой точке?
в) Как зависит электрическое поле от $x$ на расстояния $x \gg a$ ? Убывает ли оно быстрее электрического поля диполя на болыших расстояниях? Как это объяснить?
6.13. Плоский конденсатор емкостью 100 nd, расстояние между обкладками которого 1 см, заряжается с помощью батареи до разности потенциалов 10 в. После этого батарея отключается. Ннжняя пластина конденсатора затем облучается синим светом, выбивающим из нее электроны, кинетическая энергия которых лежит в интервале от 0 до 1,5 эв. Обкладки заряжены так, что электроны притягиваются к верхней из них. На приведенном рисунке показана зависимость от времени полного тока, текущего на верхнюю пластину конденсатора. Сколько времени понадобится для того, чтобы разность потенциалов на обкладках обратилась в нуль (время $t_{1}$ на рисунке)? Чему равна разность потенциалов в момент времени $t \gg t_{2}$ ? Как изменится ваш ответ, если перед зарядкой конденсатора расстояние между пластинами увеличить вдвое?
Как изменится ваш ответ, если расстояние между пластинами было увеличено вдвое лишь после того, как конденсатор был полностью заряжен и батарея отключена?
6.14. Палочка из изолятора длиной 1 м и радиусом $R=1 \mathrm{~cm}$ вытянута вдоль оси $x$ так, что ее концы расположены в точках с координатами $x=0,5$ м и $x=-0,5 м$. Плотность объемного заряда в палочке равна $\rho=a r^{2}$, где $r$ – расстояние до оси палочки, а $a$ – положительная постоянная, равная $2 \mathrm{\kappa улон} / \mathrm{M}^{-5}$.
a) Найдите напряженность электрического поля $\mathbf{E}$ в четырех точках $x=0, z=0, y=0,0,5,1,0$ и 2,0 см. В этой части задачи считайте палочку бесконечно длинной.
б) Дайте разумную оценку потенциала в точке $x=0$, $y=0, z=0$, взяв за нуль потенциала его значение на бесконечности Укажите неопределенность вашей оценки и обоснуйте ее.
в) Будет ли потенциал в точке $x=0,5 м, y=z=0$ больше, меньше или равен потенциалу в начале координат?
7. 1. а) Покажите, что эквипотенциальные поверхности вокруг двух параллельных противоположно заряженных нитей представляют собой цилиндры вращения. Нити находятся на расстоянии $d$, линейная плотность зарядов на них равна $+\lambda$ и $-\lambda к у л о н / м$.
б) Используя результат предыдущей части задачи, найдите емкость, приходящуюся на единицу длины двух параллельных проводов с радиусом поперечного сечения $r_{0}$, оси которых находятся на расстояиии $d$. Считайте, что $d \gg 2 r_{0}$.
в) Покажите, что при $x, y>d$ нотенциал может быть представлен в комплексном виде
\[
f(z) \equiv U+i V=\frac{1}{z}=\frac{1}{x+i y} .
\]
$K$ главе 8. Электростатическая экергия
8. 1. Согласны ли вы с утверждением, содержащимся в гл. 8 «Лекций» (вып. 5), что электростатическая энергия ядра, содержащего $Z$ протонов, более или менее однородно распределенных по объему сферы радиуса $r$, примерно равна величине
\[
U=\frac{3}{5} Z(Z-1) \frac{e^{2}}{r} ?
\]
8. 2. Максимальная емкость конденсатора настройки в радиоприемнике равна $100 n \phi$. Путем поворота подвижных пластин емкость конденсатора может быть уменьшена до $10 n \phi$. Предположим, что конденсатор заряжен до разности потенциалов 300 в, когда его емкость максимальна. Затем ручка настройки поворачивается и емкость конденсатора становится минимальной. Чему равна работа, совершенная при повороте ручки настройки?
8. 3. Заряды на обкладках двух конденсаторов емкостью $C_{1}$ и $C_{2}$ равны $q_{1}$ и $q_{2}$. Покажите, что, за исключением особых случаев, запасенная электростатическая энергия конденсаторов уменьшается, если они соединяются параллельно. Куда при этом девается энергия? Найдите условия, при которых соединение конденсаторов не приводит к потере энергии.
8. 4. а) Покажите, что в электрическом поле $\mathbf{E}$ электростатическая энергия диполя с дипольным моментом $\mathbf{p}$ равна
\[
U=-\mathbf{p} \cdot \mathbf{E} .
\]
б) Вычислите момент силы, действующей на диполь в электрическом поле E. Сделайте это как прямым путем, так и с помощью приведенного выше выражения для энергии диполя. Будет ли энергия диполя той же самой, если он создан путем последовательного помещения его зарядов в электрическое поле? Если нет, то вычислите разность энергий; если да, то приведите физические соображения в защиту вашего утверждения.
8. 5. Покажите, что обкладки плоского конденсатора притягивают друг друга с силой $F=q^{2} / 2 \varepsilon_{0} A$ ( $A$ площадь обкладки). Найдите работу, которую необходимо затратить, чтобы расстояние между обкладками увеличить с $x$ до $x+d x$.
8. 6. Известно, что пион ( $\pi$-мезон) может находиться в трех различных зарядовых состояниях. Иными словами, существуют положительный, отрицательный и нейтральный пионы. Масса (умноженная на $c^{2}$ ) заряженного пиона равна 139,6 Мэв, масса же нейтрального пиона равна 135 Мяв. В одной из моделей пиона предполагается, что различие масс определяется лишь электростатической энергией. Если далее предположить, что заряженные пионы имеют сферическую форму и заряд равномерно распределен по их объему, то можно вычислить радиус пиона. Вычислите радиус пиона в этих предположения. Находится ли ваш результат в согласии с существующими оценками размеров ядер?
8. 7. Внутренний радиус металлической сферической оболочки равен $a$, ее внешний радиус равен $b$, а центр находится в начале координат. В оболочке просверлено небольшое отверстие. Полный заряд оболочки равен нулю. Какую работу нужно затратить, чтобы заряд $q_{1}$ перевести из бесконечности через отверстие в начало координат? Чему равна эта работа, если полный заряд оболочки равен $q_{2}$ ?

К алаве 10. Диэлектрики
10. 1. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено диэлектриком, состоящим из двух половинок равных размеров, но с разными диэлект. рическими проницаемостями $x$ (см. рисунок).

Покажите, что емкость такого конденсатора равна
\[
C=\frac{\varepsilon_{0} A}{d} \frac{x_{1}+x_{2}}{2} .
\]
10. 2. Расстояние между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму квадратов с площадью $400 \mathrm{~cm}^{2}$, равно $1 \mathrm{~cm}$. С помощью электрической батареи конденсатор заряжается до разности потенциалов 10 в, а затем отключается от нее. После этого между обкладками конденсатора вставляется широкая пластина из диэлектрика толщиной, немного меньшей 1 см, причем так, что остается закрытой лишь площадь $10 \times 20$ см $^{2}$. Диэлектрическая проницаемость пластины равна 4.
a) Чему равна сила притяжения обкладок конденсатора друг к другу?
б) Чему равен дипольный момент единицы объема диэлектрика внутри, но достаточно далеко от краев конденсатора (чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами)?
в) Предположим, что внутри диэлектрика с диэлектрической проницаемостью 4,0 равномерно распределены маленькие металлические шарики. Будет ли при этом разность потенциалов на пластинах конденсатора больше, меньше или равна той, которая существовала бы в случае однородного диэлектрика?
10. 3. Емкость плоского конденсатора с расстоянием $d$ между его пластинами на воздухе равна $C_{0}$. Между пластинами конденсатора вдвигается пластина из изолятора с диэлектрической проницаемостью $x$, толщиной $t<d$ и площадью, равной площади пластин конденсатора, причем так, что ее плоскости параллельны пластинам. Пренебрегая краевыми эффектами, покажите, что емкость конденсатора при этом становится равной
\[
C=\frac{C_{0}}{1-[(x-1) / x](t / d)} .
\]
10. 4. Изолированному металлическому шару радиуса $a$ сообщен заряд $Q$. Поверхность шара равномерно покрыта слоем диэлектрика с внутренним радиусом $a$ и внешним радиусом $b$.
a) Вычислите поверхностный заряд, наведенный на внутренней и внешней поверхности диэлектрика.
б) Найдите, чему равна плотность наведенных зарядов в объеме диэлектрика.
10. 5. Плоский конденсатор подключен к электрической батарее, поддерживающей на его пластинах разность потенциалов $V_{0}$. В пространство между обкладками конденсатора вдвигается пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $x$ так, что это пространство полностью заполняется диэлектриком.
a) Покажите, что при этом электрической батареей совершается работа $q_{0} V_{0}(x-1)$, где $q_{0}$ – заряд на обкладках конденсатора до заполнения его диэлектриком.
б) Қакую работу при заполнении конденсатора диэлектриком совершают механические силы? Совершается ли эта работа над диэлектриком или самим диэлектриком?
10. 6. Две коаксиальные трубки радиуса $a$ и $b(a<b)$ погружаются вертикально в масляную ванну. Покажите, что, если между трубками существует разность потенциалов $V$, масло в них поднимется на высоту
\[
h=\frac{2 V^{2}(x-1) \varepsilon_{0}}{\ln (b / a) \rho\left(b^{2}-a^{2}\right) g},
\]

где $x$ – диэлектрическая проницаемость масла.

10. 7. Покажите, что силовые линии электрического поля, пересекающие поверхность раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями $x_{1}$ и $x_{2}$, образуют с нормалью к этой поверхности углы $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$, связанные соотношением $x_{1} \operatorname{ctg} \theta_{1}=x_{2} \operatorname{ctg} \theta_{2}$.

К главе 11. Внутреннее устройство диэлектриков
11. 1. Найдите электрическое поле внутри и вне однородно поляризованного шара радиуса $a$ (см. фиг. 11.7, вып. 5, стр. 223).
11. 2. Диэлектрическая проницаемость газа гелия при $0^{\circ} \mathrm{C}$ и давлении 1 amм равна 1,000074 . Найдите дипольный момент атома гелия в однородном электрическом поле с напряженностью 100 в/см.
11. 3. Диэлектрическая проницаемость водяного пара, газа полярных частиц, весьма заметно зависит от температуры. В приведенной ниже таблице представлены экспериментальные данные по исследованию этой зависимости. Считая водяной пар идеальным газом, вычислите поляризуемость его молекул как функцию температуры и начертите график этой зависимости, откладывая по оси абсцисс обратную температуру. По наклону кривой определите дипольный момент молекулы воды.
\begin{tabular}{ccc}
\hline$T,{ }^{\circ} \mathrm{K}$ & Давление, см. pm. сm. & $(\varkappa-1) \cdot 10^{5}$ \\
\hline & & \\
393 & 56,49 & 400,2 \\
423 & 60,93 & 371,7 \\
453 & 65,34 & 348,8 \\
483 & 69,75 & 328,7
\end{tabular}
11. 4. Рассмотрите систему, состоящую из двух атомов, расположенных на расстоянии $a$ друг от друга. Поляризуемость каждого атома равна $\alpha$. Найдите связь между $a$ и $\alpha$, при которой эта система будет сегнетоэлектриком. (Oтвет: $a^{3}=\alpha / 2 \pi$.) Если эта задача покажется вам слишком простой, рассмотрите линейную цепочку атомов кислорода, расположенных на расстояиии $a$ друг от друга, между каждой парой которых находится атом титана.

Найдите соотношение между поляризуемостью атома кислорода $\alpha_{0}$ и атома титана $\alpha_{\mathrm{Ti}}$, при котором такая система будет сегнетоэлектриком.
Примечание:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}=1,20
\]
11. 5. «Диэлектрик» представляет собой пространственную решетку регулярно расположенных стеклянных шариков диаметра $d$ с минимальным расстоянием между соседними шариками, равным $3 d$. Предполагая, что поляризация, наведенная во внешнем электрическом поле в каждом стеклянном шарике, не зависит от наличия остальных (т. е. пренебрегая перераспределением наведенных зарядов благодаря взаимному влиянию шариков), найдите диэлектрическую проницаемость такого «диэлектрика».
$К$ главе 12. Электростатические аналогии
12. 1. Из медной проволоки диаметром поперечного сечения $b$ сделано кольцо радиуса $a$, причем $b \ll a$. Кольцо помещено в центр пластмассового шара, радиус которого во много раз больше радиуса кольца. Переменным магнитным полем в кольце наводится ток. Ток нагревает проволоку, причем в единицу времени в кольце выделяется $W$ тепла $T_{0}$. Чему равна температура в центре шара в стационарном случае?
12. 2. В задаче 5.10 была обрисована одна из простейших моделей для описания теплового баланса Земли. Другая модель (тоже сильно упрощенная) состоит в предположении, что внутри Земли существует ядро радиуса а с предельно высокой теплопроводностью. Найдите, какого размера должно быть это ядро, считая его температуру равной $2500^{\circ} \mathrm{C}$, а коэффициент теплопроводности окружающих ядро пород равным 0,03 джсм.сек. град и принимая во внимание тот факт, что Земля ежегодно выделяет $8 \cdot 10^{20} \partial ж$ тепла.
12.3. а) В ряде случаев электростатический потенциал $\varphi$ можно представить в виде $\varphi=f(r) \cos \theta=f(r) z / r$, где $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$. Например, потенциал такого вида в гл. 12 «Лекций» (вып. 5) возникает при решении задачи об обтекании шара «сухой» водой. Если функцию $f(r)$ разложить в ряд
\[
f(r)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} b_{n} r^{n},
\]

то для потенциала $\varphi$, удовлетворяющего уравнению Лапласа, только два коэффициента $b_{n}$ будут отличны от нуля. Найдите эти коэффициенты.
б) В двумерной задаче потенциал $\varphi$ может быть записан в виде
\[
\varphi=g(\rho) \cos \theta=g(\rho) \cdot \frac{z}{\rho}, \quad g(\rho)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \rho^{n},
\]

где $\rho^{2}=y^{2}+z^{2}$. Найдите отличные от нуля коэффициенты, если потенциал $\varphi$ удовлетворяет уравнению Лапласа.
При решении задачи используйте декартову систему координат.
12. 4. Две тонкие водопроводные трубы, расположенные параллельно на расстоянии $d$ друг от друга, пересекают под прямым углом широкую стенку толщиной $t$. Теплопроводность стенки равна $K$, а температура на далеких расстояниях от труб равна $T_{0}$. По трубе, пересекающей стенку в точке $x=+d / 2$, течет горячая вода, сообщающая стенке $+W$ вm тепла. По другой трубе течет холодная вода, которая, наоборот, забирает от стенки – вт тепла. Считая трубы бесконечно длинными, а задачу двумерной, найдите температуру в точке $P$ с координатами $x=100 \mathrm{~d}, y=100 \mathrm{~d}$. Пусть $T_{0}=20^{\circ} \mathrm{C}, d=50 \mathrm{~cm}$, $K=0,03 \mathrm{sm} / \mathrm{cм} \cdot$ град, $W=200 \mathrm{вm}$ и толщина стенки равна 10 см. Решите задачу в разумных приближениях.
$К$ главе 13. Магнитостатика
13. 1. Концы четырех параллельных медных проводов сечением 1 мм $^{2}$ достаточно большой длины образуют квадрат со стороной 20 см (см. рисунок). По каждому проводу течет ток $20 a$ в направлении, указанном стрелками. Қакова величина и направление вектора магнитного поля В в центре квадрата? Куда направлена сила, действующая на 1 погонный метр левого нижнего из проводов, и какова ее величина?
13. 2. Длинный диэлектрический цилиндр радиуса а cmaтически поляризован, причем вектор поляризации во всех точках цилиндра направлен радиально, а величина его пропорциональна расстоянию от оси, т. е. $\mathbf{P}=P_{0} \mathbf{r} / 2$. Цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг своей оси. Найдите магнитное поле в точках на оси цилиндра, достаточно удаленных от его концов.
13. 3. Длинный коаксиальный кабель состоит из двух концентрических проводников, размеры которых указаны на рисунке. Предполагается, что плотность токов в проводниках однородна по сечению.
a) Найдите магнитное поле В в точках $r$ внутри центрального проводника $(r<a)$.
б) Найдите В в пространстве между проводниками $(a<r<b)$.
в) Найдите В внутри внешнего проводника ( $b<r<c$ ).
г) Найдите В вне кабеля $(r>c)$.
13. 4. Развертка электронного луча в телевизионной электронно-лучевой трубке осуществляется магнитным полем, создаваемым системой отклоняющих катушек, расположенных в узкой части электроннолучевой трубки. Источником электронов, как правило, служит электронная пушка, из которой электроны вылетают с энергией 3 кэв. После отклонения электроны затем ускоряются электрическим полем. Оцените напряженность магнитного поля, соответствующую максимальному отклонению электронного луча. Оцените в тот же момент времени число ампер-витков в отклоняющей катушке. При оценке ускорением электронов после отклонения можно пренебречь. В какую сторону изменятся ваши оценки, если учесть это ускорение?
13. 5. По длинному прямолинейному проводу течет ток $I_{1}$, а по контуру, имеющему форму прямоугольника со сторонами $l$ и $\omega$, течет ток $I_{2}$. Прямолинейный проводник и контур лежат в одной плоскости.
a) Чему равна сила, действующая на контур? Какая сила действует при этом на линейный проводник?
б) Какой вращающий момент приложен к контуру? Чему равен вращающий момент, приложенный к линейному проводнику?
13. 6. Внутри очень длинного проводящего стержня радиуса $a$ имеется цилиндрическая полость радиуса $b$, ось которой параллельна оси стержня, но находится от нее на расстоянии $d$. По проводнику течет ток, плотность которого по сечению однородна и равна $+j$. Чему равно магнитное поле на оси полости, вдали от концов стержня?
14. 1. При производстве пластмассовой пленки широкая тонкая полоса пластмассы протягивается со скоростью $v$ через два последовательно расположенных ролика. В процессе обработки поверхность пленки приобретает равномерно распределенный электрический заряд $\sigma$.
a) Найдите векторный потенциал вблизи поверхности полосы в центре пролета между роликами (вблизи точки $P$ на рисунке).
б) Чему равно поле В в этой же области?
14. 2. По тонкому проводу течет ток I. Чему равно магнитное поле в центре полукруга, созданное:
a) каждым из прямолинейных участков провода, длина которых равна $l$ ?
б) криволинейным участком провода длинэй $\pi r$ ?
в) всем проводом?
14. 3. В используемых на практике устройствах часто необходимо добиться высокой однородности магнитного поля. Одной из важнейших характеристик этих устройств является однородность поля, создаваемого кольцами Гельмгольца: двумя коаксиальными витками проволоки, по которым течет ток в одном направлении. Пусть радиус витков равен $a$, сила тока в них $I$, а расстояние между ними равно $b$.

a) Найдите магнитное поле на оси витков в точке $P$, расположенной на расстоянии $x$ от средней точки между витками.
б) Разложите полученное выражение в ряд по степеням $x$ с точностью до членов $x^{2}$.
в) Қаково соотношение между величинами $a$ и $b$, при котором слагаемые с $x^{2}$ обращаются в нуль?
г) Покажите, что созданное витками магнитное поле в указанном в пункте (б) приближении и при условии, найденном в пункте (в), определя ется выражением
\[
B_{x}=\frac{8 I}{5^{3 / 8} a \varepsilon_{0} c^{2}} .
\]
14. 4. По квадратной проволочной рамке со сторонами, равными $a$, течет ток $I$.
a) Используя закон Био-Савара, покажите, что магнитное поле В на оси рамки в точке, расположенной на расстоянии $x$ от ее центра, равно
\[
B=\frac{4 a^{2} I}{\pi\left(4 x^{2}+a^{2}\right)\left(4 x^{2}+2 a^{2}\right)^{1 / 2} \varepsilon_{0} c^{2}} .
\]
б) Получите тот же результат, определив векторный потенциал.
Примечание. Исходите из интегрального пред-: ставления векторного потенциала и используйте соотношения
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial x} \int_{a}^{b} f(x, y) d y & =\int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial x} f(x, y) d y, \\
\lim _{x \rightarrow c} \int_{a}^{b} f(x, y) d y & =\int_{a}^{b}\left\{\lim _{x \rightarrow c} f(x, y)\right\} d y .
\end{aligned}
\]
14. 5. Определив векторный потенциал, вычислите магнитное поле на оси бесконечно тонкого кольца радиуса $a$, по которому течет ток $I$.
14. 6. Проводящая сфера радиуса $a$ заряжена до потенциала $V$. Сфера вращается вокруг одной из осей, проходящих через ее центр, с угловой скоростью $\omega$. Покажите, что магнитное поле сферы совпадает с полем магнитного диполя, магнитный момент которого равен,
\[
\mu=\varepsilon_{0} \omega V\left(\frac{4}{3} \pi a^{3}\right) .
\]

Покажите также, что поле внутри сферы равно
\[
B_{\mathrm{Bн}}=\frac{2 \omega V}{3 c^{2}} .
\]

Эти выражения точные для всех точек соответственно вне и внутри сферы. Если вы не можете доказать этого, получите ответ на первый вопрос для расстояний, намного превышающих $a$, а второй результат – для центра сферы.
14. 7. Как отмечалось в «Лекциях», скорость вращения Земли в принципе можно определить, измерив разность потенциалов между центром и поверхностью проводящего цилиндра, помещенного на Северном полюсе Земли так, что его ось проходит через центр земного шара.
a) Покажите, что эту разность потенциалов можно представить в виде
\[
V=\left(\frac{v}{c}\right)^{2} \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_{0}},
\]

где $v$ – линейная скорость точек на поверхности цилиндра, а $\lambda$ – поверхностный заряд, приходящийся на единицу длины цилиндра.
б) Можно ли представить себе установку с разумными параметрами для измерения этого эффекта?