К главе 15. Специальная теория относительности

15. 1. Используя формулы преобразований Лоренца, выразите $x, y, z$ и $t$ через $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ и $t^{\prime}$.
15. 2. Проанализируйте работу «световых часов», которые ориентированы параллельно направлению своего движения. Схема этого устройства приведена на фиг. 15.3 «Лекций» (вып. 2, стр. 15). Не забудьте учесть лоренцево сокращение.
15. 3. В верхних слоях атмосферы рождается $\mu$-мезон, движущийся со скоростью $v=0,99$. До распада он успевает пролететь 5,00 км.
a) Қаково время жизни $\mu$-мезона, наблюдаемое нами, и чему оно равняется в системе координат, связанной с самим $\mu$-мезоном?
б) Чему равна толщина слоя атмосферы, пройденного $\mu$-мезоном, измеренная в его «собственной» системе координат?
15. 4. Производство электроэнергии Соединенными Штатами в 1962 г. составляло $2,15 \cdot 10^{12}$ квт-ч.
a) Қакова масса вещества, превращенного при этом в энергию?
б) Представим себе, что вся эта энергия вырабатывалась бы за счет превращения дейтерия в гелий, причем разность масс использовалась бы целиком (в действительности часть ее идет на испускание нейтрино). Сколько тяжелой воды пришлось бы расходовать ежесекундно для обеспечения такого годового производства энергии?
Примечание.
\[
\begin{array}{c}
M_{\mathrm{H}^{2}}=2,0147 \text { a. e. } м, \\
M_{\mathrm{H}^{4}}=4,0039 \text { a. e. } м .
\end{array}
\]

15. 5. Мощность солнечного излучения, поглощаемая в земной атмосфере, составляет примерно $1,4 \mathrm{\kappa вm} / \mathrm{m}^{2}$. Если вся эта энергия получается на Солнце за счет превращения обычного водорода в гелий, то сколько же тонн водорода в секунду «сгорает» на Солнце? (Потерей на испускание нейтрино пренебрегите.)
15. 6. Частица с массой покоя $m_{0}$ движется вдоль оси $x$ так, что ее положение в каждый момент времени задается формулой
\[
x=\sqrt{b^{2}+c^{2} t^{2}}-b .
\]

Чему равна сила, под действием которой частица совершает такое движение?
15. 7. а) Выразите ускорение силы тяжести в единицах свет.год/год ${ }^{2}$.
б) Космический корабль движется с таким ускорением, что его экипаж ощущает такую же постоянную силу тяжести, как на Земле. С точки зрения наблюдателя, неподвижного относительно точки, в которой корабль находился в момент $t=0$, такой разгон продолжается 5,00 лет. На какое расстояние улетит корабль за это время и какова будет его скорость в конце разгона?

К главе 16. Релятизистская энергия и релятнвистский импульс

16. 1. Напишите преобразование Лоренца в дифференциальной форме: $d x=\gamma\left(d x^{\prime}+\beta c d t^{\prime}\right)$ и т. д. и вычислите таким образом $d x / d t$ и $d y / d t$, выразив эти производные через $v_{x}{ }^{\prime}, V$ и пр.
16. 2. Частица движется вдоль оси $x$ со скоростью $v_{x}$ и ускорением $a_{x}$. Система координат $S^{\prime}$ движется по отношению к исходной со скоростью $v$. Чему равны скорость и ускорение частицы в этой системе?
16. 3. Проверьте формулу $m_{w}=m_{v} \sqrt{1-\left(u^{2} / c^{2}\right)}$, полученную в «Лекциях» (вып. 2, стр. 34).
16. 4. Частица массы покоя $m_{0}$, движущаяся со скоростью $4 c / 5$, испытывает неупругое соударение с покоящейся частицей равной массы.
a) Чему равна скорость образовавшейся составной частицы?
б) Чему равна ее масса покоя?
16. 5. Ускоритель «беватрон» в Беркли проектировался с таким расчетом, чтобы он мог разгонять протоны до энергии, достаточной для образования пар протон – антипротон в реакции $p+p \rightarrow p+p+(p+\bar{p})$. Так называемая пороговая энергия этой реакции соответствует случаю, когда четыре частицы, перечисленные в правой части формулы реакции, движутся вместе как одна частица с массой покоя $M=4 m_{p}$. Если протоны мишени до соударения покоятся, чему равна пороговая кинетическая энергия бомбардирующих протонов?

К главе 17. Пространство-время

17. 1. Масса покоя протона составляет $m_{p}=938$ Мэв. В космических лучах встречаются протоны с энерих удается определить с помощью разных косвенных методов. Пусть протон с такой энергией пересекает по диаметру Галактику. Длина этого диаметра равна $10^{5}$ световых лет. Сколько времени потребуется протону на это путешествие «с его точки зрения»?
17. 2. Покажите, что энергия покоя электрона $m_{e} c^{2}=$ $=0,511$ Мэв.
17. 3. Покоящийся $\pi$-мезон ( $m_{\pi}=273 m_{e}$ ) распадается на $\mu$-мезон $\left(m_{\mu}=207 m_{e}\right.$ ) и нейтрино ( $\left.m_{
u}=0\right)$. Выразите в Мәв кинетическую энергию и импульс $\mu$-мезона и нейтрино.
17. 4. Изучается движение заряженной частицы в магнитном поле. Если $q$ измеряется в зарядах электрона, $p-$ в $M э$, а $B$ – в $2 c$, то как связаны между собой величины $p, B$ и $R$ ? Обозначьте $q=Z q_{e}$.
17. 5. Строится циклотрон, ускоряющий протоны до кинетической энергии 150 Мэв. Напряженность магнитного поля в нем составляет $1,00 \cdot 10^{4}$ гc.
a) Чему должен быть равен радиус магнита?
б) На какой частоте должны работать ускоряющие электроды?
в) На сколько процентов должна меняться эта частота в процессе ускорения данной частицы из-за. наличия релятивистских эффектов?

К главе 18. Двумерные вращения

18. 1. Сила $\mathbf{F}=30 \mathbf{i}+40 \mathbf{j}$ ньютон приложена $к$ точке $\mathbf{r}=8 \mathbf{i}+6 \mathbf{j}$ м.
Найдите:
a) момент силы относительно начала координат;
б) плечо силы;
в) составляющую силы, перпендикулярную к r.
18. 2. На какой широте скорость точки земной поверхности за счет суточного вращения Земли на 200 м/сек меньше, чем в Лос-Анджелесе?
18. 3. На плоскую стальную пластинку, плавающую в ртути, действуют три силы, приложенные к трем разным углам квадрата со стороной 0,1 м (см. рисунок). Найдите силу, которая одна может удержать эту пластинку в положении равновесия. Найдите величину, направление и точку приложения этой силы (точка расположена на линии $A B$ ).
18. 4. На рисунке показан уголок, сделанный из металлического листа постоянной толщины. Он лежит на гладком горизонтальном столе. После удара, направление которого указано на рисунке, уголок начинает двигаться по поверхности стола без вращения. На каком расстоянии от вершины $O$ находится точка, в которой был нанесен удар?
18. 5. На рисунке изображена конструкция фермы моста. Она состоит из твердых невесомых стержней равной длины, соединенных между собой шарнирно. Трение в шарнирах отсутствует. Найдите силы реакции $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$ и усилие в стержне $D F$, если в точке $E$ подвешен груз весом $W$.
18. 6. Вычислите моменты инерции следующих твердых тел, каждое из которых имеет массу $m$ :
a) Тонкий прямолинейный однородный стержень длины $L$. Момент нужно вычислить относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через один из его концов.
б) Тот же стержень, но ось проходит через его середину.
в) Тонкостенный полый круговой цилиндр радиуса $r$; относительно оси цилиндра.
г) Сплошной круговой цилиндр радиуса $r$; относительно оси цилиндра.
18. 7. Груз массы $m$ подвешен на нити, обмотанной вокруг сплошного цилиндра массы $M$ и радиуса $r$. Цилиндр может вращаться вокруг своей оси без трения (см. рисунок). Найдите ускорение груза $m$.
18. 8. Груз массы $m$ движется по горизонтальной гладкой поверхности стола. К грузу привязана нить, проходящая вниз через маленькое отверстие в столе. В начальный момент длина конца нити, находящегося на поверхности стола, равна $r_{1}$, а масса $m$ движется по кругу радиуса $r_{1}$ со скоростыо $v_{1}$. Затем за нить тянут снизу, и длина конца, оставшегося на поверхности стола, сокращается до $r_{2}$. Найдите:
a) скорость груза $v_{2}$ в конечном состоянии;
б) работу, совершенную силой, которая тянула нить под стол;
в) величину силы, которую необходимо приложить к нижнему концу нити, чтобы радиус окружности, по которой движется $m$, оставался постоянным.
Используйте принцип виртуальной работы.
18. 9. Найдите момент количества движения планеты массы $m$, которая движется по круговой орбите радиуса $R$. Используя этот результат, покажите, что из-за приливов, тормозящих вращение Земли, расстояние между Луной и Землей с течением времени будет увеличиваться (хотя и очень медленно). Обсудите еще вопрос о сохранении энергии в системе Земля – Луна.
18. 10. Решите задачу 4.9 (стр. 14), используя следующее условие: в положении статического равновесия результирующая сила и результирующий момент, приложенные к телу, должны равняться нулю.
18.11. Центробежный регулятор, показанный на рисунке, должен выключать машину, когда скорость вращения вала превосходит 120 оборотов в минуту. Управляющая обойма $C$ весит 4 кг и скользит без трения по вертикальному валу $A B$. Выключение происходит, когда расстояние $A C$ сокращается до 43 см. Длина каждого из звеньев регулятора равна $30 \mathrm{~cm}$, их можно считать невесомыми, трение в соединительных шарнирах отсутствует. Чему должна равняться масса грузиков $M$, чтобы регулятор работал в соответствии с техническим заданием?
18.12. На вертикальный вал простого регулятора скорости (см. схему) перпендикулярно ему насажен горизонтальный стержень, по которому могут свободно скользить тяжелые тормозные колодки. Во время вращения вала колодки прижимаются к внутренней поверхности неподвижного тормозного цилиндра (барабана). Масса каждой колодки равна $m$, толщина их пренебрежимо мала по сравнению с радиусом барабана $r$, а коэффициент трения скольжения между колодками и барабаном равен $\mu$. Выведите формулу, которая выражала бы мощность, необходимую для вращения вала, через $m, r, \mu$ и $\omega$ – угловую скорость вращения вала.
18.13. Однородный брусок длины $L$ лежит на гладкой горизонтальной поверхности (см. рисунок). Сверху на него накладываются такие же бруски так, ч̇то их боковые грани образуют одну плоскость, а торец каждого следующего бруска смещается по отношению к предыдущему на величину $L / a$ ( $a$ – целое число). Сколько брусков удастся уложить, прежде чем все сооружение опрокинется?

К главе 19. Центр масс; момент инерции

19. 1. Восемь тонких однородных стержней образуют плоский квадрат, поддерживаемый невесомой рамкой (показана пунктиром на рисунке $A$ ). Длина каждого стержня равна $L$, а масса $M$. Қвадрат свободно вращается без трения вокруг оси $O$, перпендикулярной его плоскости, с угловой скоростью $\omega_{0} p a \partial / c е к$. В процессе вращения внутренний механизм $K$, соединенный с рамкой и имеющий постоянный момент инерции ${ }^{40} / 3 M L^{2}$, складывает квадрат в крест, изображенный на рисунке $B$. Қакую он при этом затрачивает энергию?
18. 8. Упругий момент, создаваемый закручиваемой нитью, пропорционален углу закручивания $\tau_{\text {нити }}=-k \theta$. a) Покажите, что потенциальная энергия такой нити, закрученной на угол $\theta$, равна $1 / 2 k \theta^{2}$.
б) Момент, действующий на катушку гальванометра, имеет вид
\[
\tau=n A B i,
\]

где $i$ – ток, текущий через катушку; $n$ – число витков в катушке; $B$ – магнитное поле, создаваемое постоянным магнитом гальванометра.
Для измерения заряда конденсатора его разряжают через катушку гальванометра и отмечают максимальный угол отклонения. При этом $|i|=|d q / d t|$, и разряд происходит так быстро, что за то время, пока течет ток, катушка не успевает существенно отклониться от начального положения $\theta=0$. Пренебрегая трением, покажите, что максимальный угол отклонения пропорционален первоначальному заряду конденсатора.
19. 3. Прямолинейная однородная проволока длины $L$ и массы $M$ согнута посередине, и концы ее образуют между собой угол $\theta$. Чему равен ее момент инерции относительно оси, проходящей через точку $A$ и перпендикулярной плоскости проволоки?
19. 4. Металлическая пластинка неправильной формы, но постоянной толщины имеет массу $M$ и центр тяжести ее расподожен в точке $C$. Момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости пластинки (и проходящей через точку $A$ ), известен и равен $I_{A}$. При каких условиях, налагаемых на расстояния $r_{1}, r_{2}$ и $r_{3}$, справедливо следующее выражение для момента инерции пластинки относительно оси, также перпендикулярной плоскости пластинки, но ,проходящей через точку $B$ :
\[
I_{B}=I_{A}+M r_{3}^{2} \text { ? }
\]
19. 5. Круг радиуса $R$ вращается вокруг своей касательной $A A^{\prime}$. При этом образуется тело вращения, называемое тором. Найдите объем этого тора.
19. 6. Материальные точки с массами $M_{1}$ и $M_{2}$ помещены на противоположных концах невесомого стержня длины $L$. Стержень приводится во вращенне вокруг оси, перпендикулярной ему. Через какую точку стержня должна проходить ось вращения, гобобы энергия, затрачиваемая на достижение заданной угловой скорости $\omega_{0}$, была минимальна?
19. 7. Для замедления вращательного движения искусственных спутников используется следующее устройство. Однородный круглый диск радиуса $R$ и массы $M$ может свободно вращаться в горизонтальной плоскости вокруг шарнира $P$, установленного в центре диска. На краю диска укреплены два маленьких груза, масса каждого из них $m$. С диском их соединяют две нити длины $l$, намотанные по его периферии (см. рисунок). Когда диск вращается, грузики одновременно освобождаются без изменения полного момента количества движения системы. После этого грузики отлетают от диска, и в тот момент, когда нити натягиваются вдоль радиальных направлений, они соскакивают с крючков $H$ и $H^{\prime}$, позволяя грузикам улететь. Найдите длину нитей $l$, при которой угловая скорость диска в результате этой операции уменьшится в $n$ раз.
19. 8. Джим находится в системе координат $\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ и вращается относительно Джо, который неподвижен и находится в системе координат $(x, y)$. Найдите выражение для компонент силы, которая, по мнению Джима, действует на некоторую частицу, и покажите, что она складывается из компонент истинной силы F, которую наблюдает и Джо, и двух псевдосил: радиальной центробежной силы и силы Кориолиса, которая перпендикулярна скорости.
19. 9. Однородный шар радиуса $R$ и массы $M$ в начальный момент пущен по плоскости так, что он скользит по ней без качения. Между шаром и плоскостью существует трение, козффициент которого равен $\mu$. Қакое расстояние пройдет шар, прежде чем его движение превратится в качение без скольжения, и какова будет к этому моменту его скорость?
19.10. На рисунке изображена упрощенная схема устройства для подачи типографской краски в печатном станке. Краска подается из барабана $K$, который свободно вращается на закрепленной оси. Момент инерции этого барабана пренебрежимо мал; $P$ ведомый печатный вал с неподвижной осью, а $T$ передающий валик, свободно катящийся по $K$ и $P$. Валик $T$-это сплошной цилиндр радиуса $r$ и массы $M$; он все время катится по $K$ и $P$ без скольжения, и геометрия устройства такова, что линия, соединяющая оси $T$ и $P$, образует с горизонталью угол $\theta$. Какое максимальное угловое ускорение $A$ можно сообщить валу $P$ без потери контакта между $T$ и $K$ ?
19.11. Сплошной цилиндр состонт из четырех секций квадрантов, причем плотности материалов, из которых сделаны разные секции, различаются и относятся, как числа, указанные на рисунке. Проведем оси $x$ и $y$ так, как показано на рисунке; как будет выглядеть уравнение прямой, проходящей через начало координат и через центр масс цилиндра?
19.12. В диске постоянной плотности вырезано отверстие, как показано на рисунке. Найдите положение центра масс.
18.13. Найдите пөложение центра масс однородной проволоки, изогнутой по дуге окружности радиуса $R$. Длина проволоки $L \quad(R>L / 2 \pi)$. Используйте систему координат с началом в центре окружности и с осью $x$, проходящей через середину проволоки.
19.14. Используя результат предыдущей задачи или другим способом, найдите центр тяжести сектора с углом раствора $\alpha$, вырезанного из однородного диска радиуса $R$.
19.15. Цилиндр, радиус которого $\pi$ см, а масса 3 кг, разрезан на три равные части. То же самое сделано с другим цилиндром радиусом $\pi с м$, но весом уже 6 кг. Эти куски склеены друг с другом, как показано на рисунке, причем линия $O A$ направлена горизонтально. Стенка абсолютно гладкая, а «пол» – абсолютно шероховатый.
a) $\mathrm{C}$ какой силой цилиндр давит на стенку?
б) На каком расстоянии от центра на линии $O A$ следует поместить материальную точку массы $m$, чтобы система оставалась в равновесии и после удаления стенки?
19.16. Из квадратной металлической пластинки с длиной ребра а необходимо вырезать с одной стороны равнобедренный треугольник так, чтобы оставшаяся фигура, будучи подвешена за точку $P$ (вершину треугольника), оставалась в равновесии независимо от положения. Чему равна высота треугольника?
19.17. Катушка состоит из двух одинаковых дисков радиуса $R$ и массы $M$, насаженных на невесомую ось радиуса $r$. Нить, намотанная на ось катушки, прикреплена к потолку. Расстояние от катушки до потолка равно $D$ (см. рисунок). Из этого состояния катушка начинает двигаться вниз.
a) Қакой угол должна образовать нить с вертикалью в начальный момент, чтобы, опускаясь, катушка не раскачивалась?
б) Каково вертикальное ускорение центра катушки?
19.18. Поворотный стол с моментом инерции $I_{0}$ свободно вращается вокруг вертикальной оси. На столе проложена прямолинейная радиальная дорожка, по которой может без трения двигаться тележка массы $m$ (см. рисунок). Нить, привязанная к тележке, перекинута через маленький блок, а затем уходит под стол через полую ось. Первоначально система вращается с угловой скоростью $\omega_{0}$, и тележка находится на фиксированном расстоянии $R$ от оси. Затем нить некоторой внешней силой втягивается внутрь оси на такое расстояние, что тележка теперь отделена от оси меньшим промежутком $r$ и остается в этом положении.
a) Чему равна угловая скорость системы в конечном состоянии?
б) Покажите подробно, что разность между значениями энергии системы в конечном и начальном состояниях равна работе, которую совершила сила, вытягивающая нить.
в) Если нить отпустить, с какой радиальной скоростью $v_{r}$ пройдет тележка через точку $R$ ?

К главе 20. Вращение в пространстве

20. 1. Записав векторы в компонентной форме или какнибудь по-другому, докажите следующие соотношения:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{a} \times(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a} \times \mathbf{b}+\mathbf{a} \times \mathbf{c}, \\
\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}), \\
(\alpha \mathbf{a}) \times \mathbf{b}=\alpha(\mathbf{a} \times \mathbf{b}), \quad \mathbf{a} \times \mathbf{a}=0, \\
\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}, \quad \mathbf{a} \cdot(\mathbf{a} \times \mathbf{b})=0 .
\end{array}
\]
20. 2. Твердое тело вращается с угловой скоростью $\boldsymbol{\omega}$ относительно некоторой фиксированной оси. Покажите, что скорость любой точки $P$ этого тела равна $\mathbf{v}=\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$, где $\mathbf{r}$ – вектор, проведенный из произвольно выбранной точки, расположенной на оси вращения, к данной.
20. 3. Твердое тело вначале поворачивается на бесконечно малый угол $\Delta \theta_{1}$ относительно одной оси, а затем на бесконечно малый угол $\Delta \theta_{2}$ относительно другой оси, пересекающей первую в точке 0 . Покажите, что общее смещение любой точки рассматриваемого тела такое же, как если бы оно было сразу повернуто на некоторый бесконечно малый угол относительно промежуточной оси. Как найти ось и угол?
Докажите, что твердое тело, подвергнутое одновременно действию нескольких угловых скоростей относительно различных осей, движется так, как если бы на него действовала только одна угловая скорость, равная векторной сумме всех слагающих скоростей. (Каждую угловую скорость следует рассматривать как вектор длины $\omega$, направленный вдоль оси вращения.)
20. 4. Система $N$ частиц с массами $m$, координатами $\mathbf{r}_{i}$ и скоростями $\mathbf{v}_{i}$ обладает моментом количества движения, равным
\[
\mathbf{L}=\sum_{i=1}^{N}\left(\mathbf{r}_{i} \times \mathbf{p}_{i}\right)=\sum_{i} m_{i}\left(\mathbf{r}_{i} \times \mathbf{v}_{i}\right) .
\]

Если же рассматривать систему координат, жестко связанную с центром масс, то можно считать, что система имеет момент количества движения $\mathbf{L}_{\text {ц.м }}$. Пусть $\mathbf{R}_{\text {ц.м. }}$ и $\mathbf{v}_{\text {и.м. }}$ – это положение и скорость центра масс, а $M=\sum_{i=1}^{N} m_{i}-$ общая масса всех частиц. Покажите, что

Сравните результат с решением задачи 11.9 (стр. 36).
20. 5. а) Любые три вектора А, B, C можно рассматривать как определяющие твердое тело с шестью попарно параллельными плоскостями, т. е. параллелепипед. Покажите, что объем этого тела равен
\[
V=|\mathbf{A} \cdot(\mathbf{B} \times \mathbf{C})| .
\]
б) Параллелепипед, одна из вершин которого находится в начале координат, имеет три соседние вершины в точках $(10,-5,3),(3,-4,7)$ и $(-5,-6,3)$. Используется прямоугольная система координат $(x, y, z)$. Чему равен объем параллелепипеда?
20. 6. Два однородных одинаковых жестких стержня $A B$ и $A C$ скреплены в точке $A(A C \perp A B)$ и перемещаются на гладком горизонтальном столе. В точке $C$ перпендикулярно $A C$ наносится горизонтальный удар. Найдите отношение скоростей центров масс стержней $A B$ и $A C$ немедленно после удара.
20. 7. Маховик, имеющий форму однородной тонкой круглой пластинки массы 10,0 ке и радиуса $1,00 \mathrm{M}$, смонтирован на оси, проходящей через центр масс и составляющей угол $1^{\circ}$ с перпендикуляром, восстановленным к плоскости маховика. Если последний вращается относительно этой оси с угловой скоростью 25,0 рад/сек, то чему равна пара сил, приложенная к его подшипникам?
20. 8. Два тела с одинаковыми массами $m$, скрепленные жестким стержнем (не имеющим массы) на расстоянии $2 r$ друг от друга, притягиваются гравитационным образом телом массы $M$, расположенным на расстоянии $R \gg r$ от центра стержня. Стержень составляет угол $\theta$ с направлением $R$. Найдите приближенную величину пары сил, приложенной к стержню, относительно его центра.
20. 9. Қак Луна, так и Солнце в результате действия на Землю образуют пару сил, поскольку Земля слегка сплющена. Қакое тело образует бо́льшую пару сил и приблизительно во сколько раз? (См. предыдущую задачу.)
20.10. Экваториальный и полярный радиусы Земли равны 6378,388 и 6356,912 км соответственно. Плотность $\rho$ на различных глубинах $D$, отсчитанных на поверхности Земли, приведена ниже (звездочкой помечена разрывность):
Используя эти значения, оцените:
a) момент инерции Земли;
б) ее вращательный момент количества движения;
в) кинетическую энергию вращения.
20.11. 1) Симметричное тело начинает катиться (без скольжения) вниз по наклонной плоскости с высоты $h$. Момент инерции тела относительно собственного центра масс равен $I$, масса $M$, радиус поверхности качения, находящейся в контакте с наклонной плоскостью, $r$. Определите линейную скорость центра масс в нижней точке наклонной плоскости.
2) Примените полученное вами общее выражение для определения скорости центра масс тела, если это тело а) сфера; б) диск; в) диск массы $M_{1}$ с внешним радиусом $R_{1}$, насаженный на вал массы $m_{2}$ и радиуса $r_{2}$.
20.12. Тонкий стержень массы $M$ и длины $L$ лежит на горизонтальной абсолютно гладкой поверхности. Маленький кусочек замазки такой же массы, обладающей скоростью $v$, которая направлена перпендикулярно стержню, ударяется об один конец стержня и прилипает к нему, совершая тем самым неупругое столкновение очень малой продолжительности.
a) Қакова скорость центра масс системы до и после столкновения?
б) Чему равен момент количества движения системы относительно ее центра масс непосредственно перед столкновением?
в) Чему равна угловая скорость (относительно центра масс) сразу же после столкновения?
г) На сколько уменьшается кинетическая энергия системы при столкновении?
20.13. Если весь лед на Земле растопить, то средний уровень мирового океана поднимется приблизительно на 61 м. Примите среднюю широту, где находятся льды, равной $80^{\circ}$; нерегулярным распределением водных масс океанов на Земле пренебрегите и рассчитайте, на сколько секунд увеличится при этом длина дня? Предполагаем, что Земля – сфера радиуса $6370 \mathrm{\kappa м}$ с моментом инерции $8,11 \cdot 10^{37} \mathrm{\kappa} \mathrm{m}^{2}$.
20.14. Однородный стержень длины $L$ и массы $M$ покоится на абсолютно гладкой горизонтальной поверхности. За очень малый промежуток времени он получает импульс $J=\int F d t$, приложенный в точке $P(O P=r)$.
a) Чему равна скорость центра масс $O$ сразу же после сообщения импульса? Чему равна угловая скорость относительно точки $O$ ? Қакова мгновенная скорость точки $A$ на другом конце стержня?
б) Определите расстояние $A P$, для которого скорость точки $A$ равнялась бы нулю сразу же после удара?

К главе 21. Гармонический осциллятор

21. 1. Твердое тело массы $M$ свободно насажено на расположенную горизонтально ось, которая проходит на расстоянии $d$ от центра масс $C$. Момент инерции относительно оси вращения равен I (трение отсутствует).
a) Напишите дифференциальное уравнение, которое описывает изменение угла отклонения $\theta$ со временем (угол $\theta$ отсчитывайте от равновесного положения тела).
б) Если тело совершает малые колебания, так что $\sin \theta \approx \theta$, то чему равен период этих колебаний?
21, 2. В предыдущей задаче момент инерции твердого тела относительно его центра масс равен $I_{c}$. Найдите выражение для периода малых колебаний как функции $d$ (и $I_{c}$ ) и покажите:
a) что имеются два значения $d: d_{1}$ и $d_{2}$, которые соответствуют данному периоду;
б) что период равен $T=2 \pi\left(\frac{d_{1}+d_{2}}{g}\right)$;
в) что период минимален, когда $d=\sqrt{I_{c} / M}$. Найдите это минимальное значение периода.
21. 3. Линейная пружина, находясь в свободном состоянии, имеет длину $D$, а когда на ее конце подвешен груз массы $m$, ее длина становится равной $D+A$. На груз, находящийся в покое, с высоты $A$ падает другой груз такой же массы, прилипающий к первому. Найдите период и амплитуду колебаний такой системы и максимальную высоту (над первоначальным положением равновесия), достигаемые в результирующем движении.
21. 4. Две частицы $A$ и $B$ совершают гармоническое движение с одинаковой амплитудой ( $10 \mathrm{~cm}$ ) по одной д той же прямой. Частоты их движений составляют $\omega_{A}=20$ сек $^{-1}, \omega_{B}=21$ сек $^{-1}$ соответственно. В момент времени $t=0$ обе частицы проходят точку $x=0$ в положительном направлении оси $x$ (следовательно, они находятся «в фазе»).
a) На каком расстоянии они будут находиться друг от друга в момент $t=0,350$ сек?
б) Қакова скорость частицы $B$ относительно $A$ Е этот же момент времени?
21. Б. Қаркас, сделанный из жесткой проволоки однородного поперечного сечения и постоянной плотности, состоит из дуги полуокружности $A C B$ и диаметра $A B$. Этот каркас прикрепляется с помощью абсолютно гладкого штифта в точке $P$, проходящей через отверстие в средней точке его диаметра, и приводится в движение, как маятник. Если диаметр каркаса $A B$ равен $50 \mathrm{~cm}$, то каков период колебательного движения такого каркаса?
21. 6. На вертикальной пружине пренебрежимо малой массы подвешена пластина 20 г, на которой лежит грузик 5 г. Если оттянуть пружину, то система начнет колебаться с периодом $\pi / 3$ сек. Затем груз 5 г заменяется другим с массой 25 г. Қаково будет смещение пластины при равновесии?
21. 7. Две частицы с массами $3 / 4$ и $M$ соединены пружиной пренебрежимо малой массы; длина пружины в свободном состоянии равна $L$, упругая постоянная $K$. Вначале массы покоятся на расстоянии $L$ друг от друга на горизонтальном абсолютно гладком столе. Третья частица массы $1 / 4 M$, движущаяся вдоль линии, соединяющей первые две частицы, сталкивается и прилипает к частице с массой $3 / 4$. Найти амплитуду и период колебаний системы.
21. 8. Гравитационная сила, действующая на частицу, которая помещена в твердый однородный шар, прямо пропорциональна расстоянию от центра шара. Если принять за такой шар Землю и просверлить сквозь нее вдоль ее диаметра, соединяющего полюса, отверстие, то сколько времени понадобится телу, попавшему в это отверстие, чтобы достигнуть поверхности с противоположной стороны Земли? Сопротивлением воздуха пренебречь.
21. 9. В начальном состоянии колония бактерий растет со скоростью, пропорциональной числу наличных бактерий. Написать дифференциальное уравнение, выражающее это соотношение.
21.10. Точка подвеса математического маятника, период собственных колебаний которого равен 1 сек, совершает синусоидальные колебания с амплитудой 1,00 см и периодом 1,10 сек. Қакова амплитуда установившихся колебаний маятника?

K главе 22. Алгебра

Наиболее общим видом числа, которое удовлетворяет правилам элементарной алгебры, является комплексное иисло. Оно может быть записано в виде суммы действительного (вещественного) и мнимого чисел
(Комплексное число) $u=$ (Вещественное число) $x+$ + (Мнимое число) $i y$,
$i=\sqrt{-1}$ называется мнимой единицей.
Любое алгебраическое уравнение должно оставаться справедливым при изменении знака $i$. Такая операция носит название комплексного сопряжения. Если $u=x+i y$, то комплексно сопряженное число $u^{*}$ равно $x$ – $i$.

Правила алгебры, примененные к комплексным числам, дают
\[
\begin{aligned}
(a+i b)+(c+i d) & =(a+c)+i(b+d), \\
(a+i b)(c+i d) & =(a c-b d)+i(a d+b c) .
\end{aligned}
\]

Величина $|u|=\sqrt{u u^{*}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ называется модулем числа $u$.
Вещественное число, возведенное в мнимую степень, становится комплексным числом с амплитудой, равной єдинице. Вещественная и мнимая части комплексного числа осциллируют подобно синусу и косинусу, когда величина мнимой степени изменяется. В частности,
\[
e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta .
\]
22. 1. В равенстве $u+i v=(a+i b)(c+i d)$ положим
\[
\frac{b}{a}=\operatorname{tg} \alpha, \quad \frac{d}{c}=\operatorname{tg} \beta .
\]

Используя формулу (22.4) «Лекций» (вып. 2, стр. 118) и формулы тригонометрии, покажите, что
а) $\sqrt{u^{2}+v^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cdot \sqrt{c^{2}+d^{2}}$,
б) $\frac{v}{u}=\operatorname{tg}(\alpha+\beta)$.
22. 2. Решите предыдущую задачу, используя приведенную выше формулу (A).
22. 3. Покажите, что
\[
\cos \theta=\frac{e^{i \theta}+e^{-i 9}}{2}, \quad \sin \theta=\frac{e^{i 9}-e^{-i 9}}{2 i} .
\]
22. 4. Покажите, что
\[
\frac{a+i b}{c+i d}=\frac{a c+b d+i(b c-c d)}{c^{2}+d^{2}} .
\]
22. 5. Функции $\operatorname{ch} \theta$ и $\operatorname{sh} \theta$, определяемые равенствами
\[
\operatorname{ch} \theta=\frac{e^{4}+e^{-j}}{2}, \quad \operatorname{sh} \theta=\frac{e^{y}-e^{-4}}{2},
\]

называются гиперболическим косинусом и гинерболическим синусом угла $\theta$.
Покажите, что
\[
\begin{aligned}
\cos i \theta & =\operatorname{ch} \theta, \\
\sin i \theta & =i \operatorname{sh} \theta, \\
\operatorname{ch}^{2} \theta & -\operatorname{sh}^{2} \theta=1 .
\end{aligned}
\]
22. 6. Используя основную формулу дифференцірования
\[
\frac{d f}{d x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
\]

докажите, что
\[
\frac{d}{d x}\left(e^{\alpha x}\right)=a e^{\alpha x} .
\]
22. 7. а) Последовательным дифференцированием или каким-либо иным способом покажите, что функция $e^{x}$ может быть представлена в виде следующего
2. Пространство. Время. Движение
бесконечного ряда:
\[
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\ldots
\]
б) Покажите, что функции $\cos x$ и $\sin x$ могут быть представлены следующими бесконечными рядами:
\[
\begin{array}{l}
\cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+\ldots, \\
\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}+\ldots .
\end{array}
\]
(Эти ряды часто применяются при вычислении функций $e^{x}, \cos x, \sin x$ для значений $x \ll 1$, хотя они сходятся при любых $x$.)
22. 8. Найдите полное алгебраическое решение уравнения
\[
y=\sqrt[n]{1} \text {, }
\]

где $n$ – целое число.
22. 9. Используя свойства функции $e^{i n^{9}}$ и биномиальную теорему, покажите, что
\[
\cos n \theta=\cos ^{n} \theta-\frac{n(n-1)}{2 !} \cos ^{n-2} \theta \sin ^{2} \theta+\ldots
\]
22.10. а) Воспользовавшись соотношением $e^{i\left({ }^{(\theta+i)}\right.}=e^{i \theta} \cdot e^{i ?}$, выведите тригонометрические формулы косинусы и синуса суммы двух углов.
б) Дайте геометрическую интерпретацию результата умножения одного комплексного числа $A e^{i 9}$ на другое комплексное число $B e^{i \varphi}$.
22.11. Используя таблицу последовательных значений корней $r$-й -степени из 11, найдите $\log _{11} 2, \log _{11} 7$ :
Проверьте свой результат с помощью тождеств:
\[
\log _{a} N=\log _{a} b \cdot \log _{b} N,
\]

где $a$ и $b$ – любые два значения основания логарифмов.

К главе 23. Резонанс

23. 1. Составьте и решите дифференциальное уравнение, описывающее поведение тока, когда он протекает:
a) по индуктивности $L$,
б) по емкости $C$,
если к ним приложено синусоидальное напряжение частоты (1).
Найдите комплексный импеданс указанных выше цепей.
23. 2. Найдите зависимость импеданса (полного сопротивления) $\hat{Z}$ от частоты $\omega$ для цепи, состоящей из индуктивности $L$ и емкости $C$, если они соединень:
a) последовате.тьно,
б) параллельно.
Қачественно обсудите полученные результаты.
23. 3. а) Покажите, что дифференциальное уравнение, описывающее движение прикрепленного к пружине с упругой постоянной $k$ тела массы $m$, на которо действует сила трения – mүv, имеет вид
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\gamma \frac{d x}{d t}+\omega_{0}^{2} x=0, \quad \text { где } \quad \omega_{0}^{2}=\frac{k}{m} .
\]
б) Найдите решение этого уравнения (используйте комплексную форму записи!), предполагая, что оно имеет вид $x=e^{\alpha t}$, а затем покажите, что общес решение дается выражением
\[
\begin{array}{l}
x=e^{-1 / 2} v t {\left[A \cos \left(\sqrt{\omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{4}} t\right)+\right.} \\
\left.+B \sin \left(\sqrt{\omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{4}} t\right)\right],
\end{array}
\]

если $\gamma<2 \omega_{0}$.

в) Қак изменится вид найденного решения, если $\gamma>2 \omega_{0}$ ?
23. 4. В момент времени $t=0$ положение и скорость тела массы $m$ (см. предыдущую задачу) равны $x=x_{0}$, $\dot{x}=v_{0}$. Найдите $A$ и $B$.
23.5. Часто требуется, чтобы в электрической цепи имелось синусоидальное напряжение постоянной амплитуды, но переменной фазы. Электрическая схема, с помощью которой можно осуществить это требование, называется цепью с фазовым сдвигом. Один из примеров такой цепи показан на рисунке. Докажите, что амплитуда напряжения между точками $A$ и $B$ составляет половину амплитуды входного напряжения, а фаза может меняться в пределах от 0 до $180^{\circ}$ при изменении $R^{\prime}$.
23.6. На входе цепей $A$ и $B$ (см. рисунок) находится источник с напряжением $V_{\mathrm{вx}} V_{0} \cos \omega t$. Положим, что ток, протекающий через клеммы на выходе цепей, пренебрежимо мал.
a) Найдите соотношение, которое должно существовать между $R, C, R^{\prime}$ и $L$, чтобы выходные напряжения обеих цепей $V_{A}(t)$ и $V_{B}(t)$ были равны.
б) Найдите постоянные токи $I_{A}(t)$ и $I_{B}(t)$.

К главе 24. Переходные решения

24. 1. Тело на воздушной подушке при движении теряет свою скорость главным образом из-за вязкости в тонком воздушном слое под ним, причем сила торможения пропорциональна скорости. Составьте и решите дифференциальное уравнение плоского движения тела. Қак его скорость изменяется:
a) со временем?
б) с расстоянием?
24. 2. Пластины конденсатора емкости $C$, первоначально заряженного до напряжения $V_{0}$, в момент времени $t=0$ соединяются через сопротивление $R$. Составьте дифференциальное уравнение для $V$ как функции $t$. Решите это уравнение, предполагая, что существует экспоненциальное решение.
24. 3. Тело на воздушной подушке содержит в себе магнит. Этот магнит при движении тела генерирует круговые токи, магнитные поля которых действуют на магнит, в результате чего появляется замедляющая сила, пропорциональная скорости. Найдите (в зависимости от коэффициента торможения $\gamma$ ):
a) конечную скорость, достигаемую телом;
б) скорость тела в зависимости от времени;
в) его положение в зависимости от времени, если оно начинает двигаться из состояния покоя.
24. 4. Конденсатор емкостью $C$ и катушка с индуктивностью $L$ соединены так, как показано на рисунке. Конденсатор первоначально заряжен до напряжения $V_{0}$, а ключ $S$ разомкнут. В момент времени $t=0$ он замыкается.
a) Найдите напряжение на конденсаторе в зависи мости от времени.
б) Рассчитайте зависимость от времени величин $C V^{2} / 2$ и $L I^{2} / 2$. Қаков, по-вашему, физический смысл этих величин?
24. 5. В электрической цепи, показанной на рисунке, ключ $S$ вначале замкнут. По цепи протекает постоянный ток $I=V_{0} / R$. В момент времени $t=0$ ключ внезапно размыкает цепь.
Найдите максимальное напряжение на конденсаторе.
24. 6. Найдено, что тело массь 5,0 кс колеблется с затуханием, которым можно пренебречь. Подвешенное на пружине тело совершает 10 полных колебаний за 10,0 сек, затем приводится в действие маленький магнитный замедлитель движения и появляется затухание, пропорциональное скорости движения. В результате амплитуда колебаний уменьшается за 10 полных циклов от 0,2 до $0,1 \mathrm{~m}$.
a) Составьте уравнение движения тела, причем коэффициенты перед членами $d^{2} x / d t^{2}, d x / d t$ и $x$ выразите в численном виде, воспользовавшись системой единиц MKS.
б) Чему равен новый период колебаний тела?
в) За сколько колебаний (начиная с цикла с амплитудой 0,2 м) амплитуда уменьшается до 0,05 м? До 0,02 м?
г) Чему равна максимальная скорость диссипации энергии в течение первого колебания?
24. 7. Гармонический осциллятор с затуханием представляет собой шарик массой $m$, подвешенный на пружине с упругой постоянной $k$; он находится в вязкой среде, в результате взаимодействия с которой появляется сила затухания, равная $-m \gamma(d x / d t)$. 1) Для случая движения с затуханием найдите решения $x=x(t)$ для $t \geqslant 0$, если на шарик действует сила:
а) $F=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text { при } t<0, \\ F_{0}=\text { const } & \text { при } t \geqslant 0 ;\end{array}\right.$
б) сила отсутствует, но в момент времени $t=0$ шарику сообцается импульс $p=p_{x}$ :
в) $F=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text { при } t<0, \\ F_{0} \cos \omega_{0} t & \text { при } t \geqslant 0,\end{array} \quad \omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}\right.$.
2) Если на осциллятор действует сила $F=F_{0} \cos \omega t$ и рассматриваются достаточно большие отрезки времени, то чему равна частота $\omega^{*}$, при которой амплитуда колебаний достигает максимального значения?
Примечание. Помните, что полное решение содержит два члена, описывающие как стационарное, так и переходное движение, и что начальные условия полностью определяют постоянные интегрирования.

К главе 25. Линейные системы

25. 1. Чтобы уменьшить колебания напряжения, снимаемого с выпрямительного устройства, используется так называемый «сглаживающий» фильтр. В простейшей форме он состоит из сопротивления ( $r=10^{3}$ oм), соединенного с конденсатором ( $C=10$ мкф) так, как показано на рисунке. Найдите напряжение на выходе конденсатора, если входное напряжение имеет постоянную компоненту $V_{0}$ и переменную компоненту с циклической частотой 120 сек $^{-1}$ и амплитудой $V_{2}$.
25. 2. Во многих случаях желательно иметь электрическую цепь, которая «дифференцирует» функцию, описывающую подаваемое на ее вход напряжение по времени. Простая цепь, удовлетворяющая этому требованию, изображена на рисунке. Покажите, что выходное напряжение в такой цепи (если пренебречь
током, протекающим на выходе) равно
\[
V_{\mathrm{Bwx}}(t)=R C \frac{d V_{\mathrm{Bx}}}{d t}
\]

при условии, что
\[
\left|V_{\text {вых }}\right| \ll\left|V_{\text {вх }}\right| .
\]
25. 3. Найдите $V_{\text {вых }}$ в цепи, изображенной на рисунке к предыдущей задаче, для случая, когда $V_{\mathrm{zx}}=V_{0} \cos \omega t$, и проверьте еще раз правильность результата, полученного выше.
25. 4. Придумайте простую цепь, которая «интегрировала» бы входную функцию, и обсудите ее свойства.
25. 5. Тело массы $m$, прикрепленное двумя одинаковыми горизонтальными пружинами с упругими постоянными $k / 2$, скользит по поверхности стола. Предполагается, что коэффициент трения постоянен. Тело оттягивается в сторону на расстояние $A$ вправо от центральной точки и затем отпускается.
a) Составьте дифференциальное уравнение движения тела и решите его для временно́го интервала
\[
0<t<\pi \sqrt{\frac{m}{k}} .
\]
б) Каково должно быть расстояние $A$, чтобы размах колебания тела оставался больше расстояния $B$ от центра после пересечения точки $x=0$ целое число $(0,1,2 \ldots)$ раз?