§ 6. Мнимые экспоненты

Чтобы лучше понять, что такое число в мнимой степени, вычислим последовательные степени десяти. Мы не будем каждый раз удваивать степень, чтобы не повторять табл. 22.3, и посмотрим, что случится с действительной частью после того, как она станет отрицательной. Результат можно увидеть в табл. 22.4.

Таблица 22.4 Последовательные произведения числа

В этой таблице собраны последовательные произведения числа . Видно, что  уменьшается, проходит через нуль, достигает почти  (в промежутке между  и  величина точно равна ) и возвращается назад. Точно так же величина  ходит взад-вперед.

Точки на фиг. 22.1 соответствуют числам, приведенным в табл. 22.4, а соединяющие их линии помогают следить за изменением  и . Видно, что числа  и  осциллируют;  повторяет себя. Легко объяснить, почему так происходит.

Фиг. 22.1. Вещественная и мнимая части функции .

Ведь  в четвертой степени - это  в квадрате. Это число равно единице; следовательно, если  равно , то, возведя это число в четвертую степень, т. е. вычислив , мы получим . Если нужно получить, например, , то нужно умножить  на . Иначе говоря, функция  повторяется, имеет период. Мы уже знаем, как выглядят такие кривые! Они похожи на график синуса или косинуса, и мы назовем их на время алгебраическим синусом и алгебраическим косинусом. Теперь перейдем от основания 10 к натуральному основанию. Это только изменит масштаб горизонтальной оси; мы обозначим  через  и напишем , где  - действительное число. Известно, что , и мы запишем это число в виде

.                   (22.8)

Каковы свойства алгебраического косинуса  и алгебраического синуса ? Прежде всего ; это мы уже доказали, и это верно для любого основания, будь то 10 или . Следовательно, . Мы знаем, что  для малых ; значит, если  - близкое к нулю число, то  близок к единице, a  близок к . Продолжая дальше, мы придем к выводу, что все свойства этих замечательных функций, получающихся в результате возведения в мнимую степень, в точности совпадают со свойствами тригонометрического синуса и тригонометрического косинуса.

А как обстоит дело с периодом? Давайте найдем его. В какую степень надо возвести , чтобы получить ? Иными словами, чему равен логарифм  по основанию ? Мы вычислили уже логарифм  по основанию 10; он равен ; чтобы перейти к основанию , мы умножим это число на 2,3025 и получим 1,5709. Это число можно назвать «алгебраическим ». Но поглядите-ка, оно отличается от настоящего  всего лишь последним десятичным знаком, и это просто-напросто следствие наших приближений при вычислениях! Таким образом, чисто алгебраически возникли две новые функции - синус и косинус; они принадлежат алгебре и только алгебре. Мы пошли по их следам и обнаружили, что это те же самые функции, которые так естественно возникают в геометрии. Мы отыскали мост между алгеброй и геометрией.

Подводя итог нашим поискам, мы напишем одну из самых замечательных формул математики

.               (22.9)

Вот она, наша жемчужина.

Связь между алгеброй и геометрией можно использовать для изображения комплексных чисел на плоскости; точка на плоскости определяется координатами  и  (фиг. 22.2). Представим каждое комплексное число в виде . Если расстояние точки от начала координат обозначить через , а угол радиуса-вектора точки с осью  - через , то выражение  можно представить в виде . Это следует из геометрических соотношений между  и . Таким образом, мы объединили алгебру и геометрию.

Фиг. 22.2. Комплексное число как точка на плоскости.

Начиная эту главу, мы знали только целые числа и умели их считать. Зато у нас была небольшая идея о могуществе шага в сторону и обобщения. Используя алгебраические «законы», или свойства чисел, сведенные в уравнения (22.1), и определения обратных операций (22.2), мы смогли создать не только новые числа, но и такие полезные вещи, как таблицы логарифмов, степеней и тригонометрические функции (они возникли при возведении действительных чисел в мнимые степени), и все это удалось сделать, извлекая много раз квадратный корень из десяти!