ЗАМЕТКА О ПЕТЕРБУРГСКОЙ ИГРЕ НА КВИТ

57. Петербургская игра на квит. Условия игры, при которых получается петербургский парадокс, могут показаться в достаточной мере искусственными. Однако их легко осуществить с помощью игры на квит, и такую игру естественно тоже назвать петербургской.

Допустим, что два игрока, Петр и Павел, играют в орла и решку, причем Петру предоставляется правоустанавливать размер ставки и прервать игру, когда ему заблагорассудится. Такие условия не являются неразумными, если средства Павла превышают средства Петра. Сама же игра остается справедливой и математическое ожидание каждого игрока остается равным нулю, так как в каждой партии шансы каждого игрока на выигрыш равны его шансам проиграть.

В этих условиях Петр избирает такую игру на квит. В первой партии он устанавливает ставку в 2 франка и в случае выигрыша, получив 2 франка, он прекращает игру с тем, что она может возобновиться на тех же условиях, то есть с первой ставкой в 2 франка. Если Петр проигрывает первую партию, он теряет 2 франка и тогда назначает в следующей игре ставку в 6 франков. Стало быть, если он выигрывает вторую партию, его чистая прибыль составляет 4 франка, и тогда Петр прекращает игру. Если он проигрывает вторую партию, он теряет всего 8 франков и в третьей партии назначает ставку в 16 франков, так что он получает в случае выигрыша чистую прибыль в 8 франков. Если он проиграет третью партию, он потеряет в итоге 24 франка и тогда он назначит ставку в 40 франков, чтобы в случае выигрыша четвертой партии иметь чистой прибыли 16 франков. В случае же проигрыша четвертой партии общий убыток Петра составит 64 франка. Легко видеть, что если Петр проиграет первых партий, его общий проигрыш составит и ему надо будет в игре назначить ставку в если он желает обеспечить себе чистую

прибыль в франков в случае выигрыша плртии Если же он ее проиграет, его убыток будет равен

что подтверждает закон, сформулированный нами для партии.

Если исходить из естественного допущения, что средства Петра ограничены (или же, что он установил для игры некую предельную сумму), то надо допустить, что Петр установил и максимум для числа партий. Этот максимум не должен превышать если Петр не может или не хочет, чтобы его проигрыш превысил с риском достичь

Теперь мы вычислим математические ожидания для Петра и Павла в случае, когда максимальное число партий установлено равным причем игра прерывается, или Петр выигрывает до достижения этого максимума.

58. Вычисление математических ожиданий. Математическое ожидание для каждого игрока состоит из двух членов, один из которых положителен и соответствует ожиданию выигрыша, тогда как другой отрицателен и соответствует проигрышу.

Так как выигрыш Петра равен проигрышу Павла и наоборот, то достаточно вычислить положительные математические ожидания для обоих игроков.

Петр может выиграть различными способами, так как он заканчивает игру, как только он выиграл одну партию, а эта партия может быть первой, второй и т. д., наконец, Его полное математическое ожидание равно сумме математических ожиданий, соответствующих каждой из этих возможностей, так как он мог бы продать каждое из них различным покупателям, расположенным принять участие в справедливой игре.

Вычислим математическое ожидание для Петра, соответствующее выигрышу партии, где любое целое число, меньшее или равное Согласно принятым условиям, игра заканчивается на партии, если Петр проиграл предыдущих партий и выиграл Вероятность этого равна ибо такова вероятность того, чтобы в последовательных партиях проигрыши и выигрыши чередовались в любом установленном заранее порядке. Вероятность того, что первая партия будет выиграна определенным игроком,

равна и так же обстоит дело для второй партии и для каждой из последующих. Следовательно, чтобы получить вероятность сложного события, состоящего в выигрыше каждой из партий заранее указанным игроком, надо перемножить чисел, каждое из которых равно 54.

С другой стороны, выигрыш Петра в рассматриваемом нами случае, то есть когда первая выигранная им партия есть равен 2. Поэтому математическое ожидание, равное произведению этого выигрыша на его вероятность, равно единице.

Полное математическое ожидание для Петра в случае выигрыша равно, стало быть, сумме равных слагаемых, соответствующих значениям для от 1 до включительно, и каждое слагаемое равно единице. Итак, это положительное математическое ожидание для Петра равно а отрицательное математическое ожидание для Павла равно — то есть —

Вычислим теперь положительное математическое ожидание <§ для Павла. Согласно принятым условиям, он может оказаться в выигрыше только в том случае, когда он выиграет первых партий, а вероятность этого равна Мы знаем, что тогда выигрыш Павла составит следовательно, его математическое ожидание

Итак, полное математическое ожидание Петра равно нулю, равно как и полное математическое ожидание Павла Так и должно было получиться, потому что игра справедлива в каждой из партий, значит, она должна быть справедливой и в их совокупности. Тем не менее, мы сейчас покажем, что когда большое число, возникают затруднения.

59. Случай, когда число партий достаточно велико. Предположим, что состояние Петра достаточно велико для того, чтобы число можно было принять равным 30. Так как 230 приблизительно равно то есть миллиарду, то состояние Петра, которое должно превышать единицу ставки в раз, должно быть при больше чем 30 миллиардов таких единиц. Пусть в качестве единицы ставки принят сантим, стало быть, в первой партии ставка

равна 2 сантимам — тогда Петр должен иметь свыше 300 миллионов франков и, естественно, Павел должен располагать столь же большими средствами.

При весьма малом размере начальной ставки мы должны предположить, что Петр и Павел разыгрывают весьма большое число серий, и каждая серия партий обрывается тогда, когда выигрывает Петр. Нетрудный подсчет (мы избавим от него наших читателей) показывает, что среднее число партий в каждой серии, если разыгрывается весьма большое число серий, равно двум. Если каждая партия длится только 5 секунд, то серия в среднем продолжается 10 секунд, и каждый день есть возможность сыграть около 3000 серий, а за год — около миллиона. Чтобы серия партий закончилась его выигрышем, Павлу необходимо выиграть 30 партий (по условию, максимальное число партий в серии), и вероятность этого равна одной миллиардной. Итак, Павел должен в среднем выигрывать один раз в тысячу лет при темпе игры один миллион партий за год.

Следовательно, у Павла очень мало шансов выиграть. Для него теоретическое математическое ожидание остается равным нулю, как и для Петра, но практическое математическое ожидание для него отрицательно, тогда как для Петра оно положительно и немногим меньше 30 сантимов для каждой серии. Действительно, надо считать пренебрежимыми математические ожидания, соответствующие сериям, превышающим 25 партий, — сериям, которые на практике никогда не наблюдались.

Если мы принимаем количество серий, сыгранных за год, равным миллиону, то средний годовой выигрыш Петра составит около 250 000 франков, считая по 25 сантимов на серию. Проигрыш Павла равен той же сумме. Все же, в виде исключения, выигрыш Петра может оказаться большим, если при исключительной удаче он выиграет серию в 20— 30 партий. И, как редчайшее исключение, может статься, что Павел выиграет 30 миллиардов единичных ставок, то есть 300 миллионов.

Можно заметить, что в самом благоприятном для Петра случае (и этот случай надо считать нормальным) годовой выигрыш, приносимый ему его игрой на квит, не превосходит одной тысячной того капитала, который он обязан всегда иметь в своем распоряжении, чтобы вести такую игру. Все же надо считать эту игру на квит выгодной для Петра, если не учитывать значительной потери, вызываемой

невозможностью для него получать проценты с капитала. Эта выгода была бы еще больше, если бы отношение капитала Петра к ставке было бы в тысячу раз больше и позволяло ему установить максимальное число партий в серии равным 40. Вероятность проигрыша была бы настолько мала, что ею можно было бы пренебречь, а достоверность регулярного выигрыша практически была бы полной, особенно, если учесть продолжительность человеческой жизни.

Однако вполне очевидно, что с математической точки зрения Жозефа Бертрана, то есть предполагая, что наследники могут продолжать игру сколько угодно столетий, в конце концов день реванша для Павла наступит. Таким образом, игра справедлива, сколь бы велико ни было максимальное число партий в серии, установленное заранее и раз навсегда.

Но мы сейчас увидим, что если значение не устанавливается наперед, получаются другие выводы.

60. Случай, когда число партий не установлено. Если согласиться с точкой зрения Бертрана в его работе о петербургском парадоксе, то не следует принимать во внимание ни того, что ограничены средства обоих игроков, ни того, что ограничена и продолжительность их жизни. Рассматриваются абстрактные игроки, играющие на абстрактные деньги, а выигрыши и проигрыши попросту записываются в огромную книгу. Эта книга — тоже абстракция, так как в иных случаях размеры ее должны были бы превысить размеры известной нам вселенной, чтобы в нее можно было вписать сверхастрономические числа, которыми выражаются долги игроков.

Очевидно, математикам позволительно изучать такие абстрактные задачи, и история науки показывает нам, что построения, по видимости лишенные реального содержания, оказывались иногда весьма полезными для развития науки и для ее практических применений.

Итак, предположим, что максимальное число партий в серии не фиксируется, а за Петром остается право устанавливать ставки по своему усмотрению и прекратить игру, когда ему это угодно. Стало быть, он может прибегнуть к петербургской игре на квит и продолжать игру, пока не выиграет одну партию.

Тогда соблазнительно следующее рассуждение. Как мы видели, математические ожидания и

соответственно для Петра и Павла, в случае выигрыша оба равны каково бы ни было число таким образом, разность постоянно равна нулю, следовательно, игра является справедливой. Так как это верно для любого то это верно и при бесконечном возрастании поэтому предел разности при бесконечном равен нулю. Итак, игра остается справедливой и при новых условиях: математическое ожидание для каждого из игроков остается нулем.

Все же такое рассуждение неточно, и мы поймем причину этого, если обратимся к вычислениям, с помощью которых получены значения Что касается это — сумма математических ожиданий, каждое из которых равно единице. Когда возрастает, число членов суммы увеличивается, а каждый член остается равным единице.

Таким образом, их сумма неограниченно возрастает, то есть ее надо считать бесконечной при бесконечном Иначе говоря, при достаточно большом значении она может быть сколь угодно велика.

Против этого можно было бы возразить, что члены высокого порядка в этой сумме соответствуют весьма мало вероятным событиям, которые могут произойти, только если будет сыграно исключительно большое число серий партий. Однако для каждого из этих членов можно установить такое число серий (равное для члена порядка что будут серьезные шансы за осуществление этого события. Но наше рассуждение проводится в предположении, что число серий не ограничено привходящими обстоятельствами, как продолжительность жизни игроков, от каковых мы отвлекаемся. Поэтому мы действительно получим сколь угодно большое значение для при условии, что допускается достаточно большое число сыгранных серий. Итак, законно сказать, что бесконечно в математическом смысле этого слова, ибо это переменная величина, которая может превзойти любое данное число.

Совсем иначе обстоит дело с Если мы обратимся к то увидим, что получено в виде произведения двух множителей, вероятности и выигрыша, причем, когда неограниченно возрастает, первый множитель стремится к нулю, а второй неограниченно растет. Если в алгебре встречается такое произведение, то о нем говорят, что оно получилось в виде неопределенности, но чаще всего можно вычислить его истинное значение с помощью простых приемов, которые в данном случае дали бы бесконечно большое значение.

Однако мы покажем, что в силу смысла обоих множителей в рассматриваемом произведении применение здесь алгебраической теории «истинного значения» неправомерно.

Действительно, первый множитель — вероятность, стремящаяся к нулю при неограниченном возрастании эта вероятность становится нулем при бесконечном что означает невозможность допущения, будто Павел может выиграть все партии. Эта невозможность остается в силе, каково бы ни было число сыгранных серий; вероятность того, что одна из серий — неограниченной продолжительности, всегда равна нулю, сколько бы серий мы не брали. Можно даже доказать, что эта вероятность остается равной нулю и при допущении, что можно действительно сыграть бесконечно большое число последовательных партий. Но этот последний пункт для нашего вывода не необходим: каково бы ни было число сыгранных партий, достоверно, что Павел никогда не выиграет, ибо всегда наступит момент, когда Петр выиграет партию и закончит победителем свою игру на квит. Следовательно, при вычислении <§ нам нечего заниматься оценкой гипотетического выигрыша, на который умножается вероятность, — как только вероятность становится нулем, нулем становится и математическое ожидание Между тем возрастает неограниченно, следовательно, неограниченно возрастает и разность

Итак, математическое ожидание для Петра бесконечно, а это значит, что оно тем больше, чем больше число серий партий. На деле оно приблизительно равно если число серий равно то есть оно по сравнению с числом серий растет очень медленно.

Все же надо считать, с математической точки зрения, что оно бесконечно, если вопрос рассматривается отвлеченно, как это и предполагается. Действительно, это математическое ожидание пропорционально логарифму времени, а здесь нас не отпугивает представление об игре, длящейся столько веков, что это превосходит все вообразимое.

Итак, оказывается, достаточно ввести бесконечность в ее потенциальном виде — и перестает быть верным положение, что игра безобидна, если она состоит из конечного числа партий, в каждой из которых игра безобидна. Это положение верно, если число партий фиксировано, то есть не может превзойти известного числа впрочем, это заранее установленное число может быть сколь угодно большим. Но дело обстоит иначе, если число партий бесконечно в

математическом смысле этого слова, то есть если это — переменное число, значение которого для каждой серии вполне определено и, стало быть, конечно, но в новой серии оно может оказаться большим заданного числа, сколь бы последнее не было велико. Вот это и называется потенциальной бесконечностью — в противоположность бесконечности осуществленной (актуальной), которую иной раз рассматривают математики и которая состоит в рассмотрении всех целых чисел сразу (или всех членов ряда со значками, представляющими все целые числа). Именно эта осуществленная бесконечность критикуется в знаменитых софизмах Зенона Элеата, когда греческий философ утверждает, что Ахиллес не может догнать черепаху или что летящая стрела неподвижна 1221.

Иными словами, Павел может выиграть, при абстрактной постановке вопроса, каково бы ни было наибольшее число партий так как для этого достаточно допустить, что число серий превышает Однако его выигрыш невозможен, если не фиксировано, так как для этого потребовалась бы бесконечная последовательность удач, что не может осуществиться.

Пожалуй, можно составить еще более отчетливое понятие об этом, если представить себе неограниченную серию партий, состоящую из всех законченных серий, каждая из которых закончилась партией, выигранной Петром. Мы можем изобразить такую неограниченную серию с помощью бесконечного ряда цифр и 1, где отвечает партиям, выигранным Павлом, партиям, выигранным Петром. Согласно закону больших чисел, при случайной выборке цифр из такого ряда отношение числа нулей к числу единиц стремится к единице, когда число выбранных цифр неограниченно возрастает, потому что шансы указать и указать 1 равны. Итак, имеется бесконечно много нулей и бесконечно много единиц. Чтобы Павел выиграл, нужно, чтобы, начиная с определенного места, все цифры были нулями. И даже в этом случае никогда нельзя было бы утверждать, что Павел выиграл, так как для этого нужно было бы осуществить бесконечно много выборок.

Мы довольно подробно рассмотрели наш вопрос с разных сторон, потому что полученный результат действительно своеобразен и более парадоксален, чем петербургский парадокс. Ведь дело свелось к тому, что Петр, играя все время в безобидную игру, может обеспечить себе игрой на квит те же преимущества, что и при петербургской игре, не выплачивая взамен Павлу ни сантима.

Таким образом, выявляется, что предоставление Петру привилегии назначать ставку и прекращать игру по своему усмотрению оказываются чрезмерными и несправедливыми в условиях, когда на сцену выступает потенциальная бесконечность (то есть, когда число партий заранее не установлено или, что сводится к тому же, когда не зафиксирован наибольший размер ставки). Введение потенциальной бесконечности достаточно, чтобы сделать безобидную игру несправедливой.

Я должен сознаться, что полагал возможным (в заметке относительно пари Паскаля рассматривать предельное значение математического ожидания при обращении известной переменной в бесконечность. Так как в этом частном случае вычисление дало в качестве предельного значения нуль, результат оказался верным. Но я допустил ошибку, потому что все выглядело так, как если бы допускался и другой результат. В действительности же, как только что показано, обычные правила вычисления нельзя применять для подсчета предельного значения математического ожидания. Вопрос надо рассматривать по существу и, если установлено, что предполагаемое событие в действительности невозможно, надо считать математическое ожидание равным нулю, какова бы ни была бесконечность обещаний в случае выигрыша. Вот в чем причина того, что соображения в случае пари Паскаля не убедили ни одного неверующего.

ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА

(см. скан)

(см. скан)