Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ЗАМЕТКА О ПЕТЕРБУРГСКОЙ ИГРЕ НА КВИТ57. Петербургская игра на квит. Условия игры, при которых получается петербургский парадокс, могут показаться в достаточной мере искусственными. Однако их легко осуществить с помощью игры на квит, и такую игру естественно тоже назвать петербургской. Допустим, что два игрока, Петр и Павел, играют в орла и решку, причем Петру предоставляется правоустанавливать размер ставки и прервать игру, когда ему заблагорассудится. Такие условия не являются неразумными, если средства Павла превышают средства Петра. Сама же игра остается справедливой и математическое ожидание каждого игрока остается равным нулю, так как в каждой партии шансы каждого игрока на выигрыш равны его шансам проиграть. В этих условиях Петр избирает такую игру на квит. В первой партии он устанавливает ставку в 2 франка и в случае выигрыша, получив 2 франка, он прекращает игру с тем, что она может возобновиться на тех же условиях, то есть с первой ставкой в 2 франка. Если Петр проигрывает первую партию, он теряет 2 франка и тогда назначает в следующей игре ставку в 6 франков. Стало быть, если он выигрывает вторую партию, его чистая прибыль составляет 4 франка, и тогда Петр прекращает игру. Если он проигрывает вторую партию, он теряет всего 8 франков и в третьей партии назначает ставку в 16 франков, так что он получает в случае выигрыша чистую прибыль в 8 франков. Если он проиграет третью партию, он потеряет в итоге 24 франка и тогда он назначит ставку в 40 франков, чтобы в случае выигрыша четвертой партии иметь чистой прибыли 16 франков. В случае же проигрыша четвертой партии общий убыток Петра составит 64 франка. Легко видеть, что если Петр проиграет прибыль в
что подтверждает закон, сформулированный нами для Если исходить из естественного допущения, что средства Петра ограничены (или же, что он установил для игры некую предельную сумму), то надо допустить, что Петр установил и максимум для числа партий. Этот максимум не должен превышать Теперь мы вычислим математические ожидания для Петра и Павла в случае, когда максимальное число партий установлено равным 58. Вычисление математических ожиданий. Математическое ожидание для каждого игрока состоит из двух членов, один из которых положителен и соответствует ожиданию выигрыша, тогда как другой отрицателен и соответствует проигрышу. Так как выигрыш Петра равен проигрышу Павла и наоборот, то достаточно вычислить положительные математические ожидания для обоих игроков. Петр может выиграть Вычислим математическое ожидание для Петра, соответствующее выигрышу равна С другой стороны, выигрыш Петра в рассматриваемом нами случае, то есть когда первая выигранная им партия есть Полное математическое ожидание для Петра в случае выигрыша равно, стало быть, сумме Вычислим теперь положительное математическое ожидание <§ для Павла. Согласно принятым условиям, он может оказаться в выигрыше только в том случае, когда он выиграет
Итак, полное математическое ожидание Петра 59. Случай, когда число партий достаточно велико. Предположим, что состояние Петра достаточно велико для того, чтобы число равна 2 сантимам — тогда Петр должен иметь свыше 300 миллионов франков и, естественно, Павел должен располагать столь же большими средствами. При весьма малом размере начальной ставки мы должны предположить, что Петр и Павел разыгрывают весьма большое число серий, и каждая серия партий обрывается тогда, когда выигрывает Петр. Нетрудный подсчет (мы избавим от него наших читателей) показывает, что среднее число партий в каждой серии, если разыгрывается весьма большое число серий, равно двум. Если каждая партия длится только 5 секунд, то серия в среднем продолжается 10 секунд, и каждый день есть возможность сыграть около 3000 серий, а за год — около миллиона. Чтобы серия партий закончилась его выигрышем, Павлу необходимо выиграть 30 партий (по условию, максимальное число партий в серии), и вероятность этого равна одной миллиардной. Итак, Павел должен в среднем выигрывать один раз в тысячу лет при темпе игры один миллион партий за год. Следовательно, у Павла очень мало шансов выиграть. Для него теоретическое математическое ожидание остается равным нулю, как и для Петра, но практическое математическое ожидание для него отрицательно, тогда как для Петра оно положительно и немногим меньше 30 сантимов для каждой серии. Действительно, надо считать пренебрежимыми математические ожидания, соответствующие сериям, превышающим 25 партий, — сериям, которые на практике никогда не наблюдались. Если мы принимаем количество серий, сыгранных за год, равным миллиону, то средний годовой выигрыш Петра составит около 250 000 франков, считая по 25 сантимов на серию. Проигрыш Павла равен той же сумме. Все же, в виде исключения, выигрыш Петра может оказаться большим, если при исключительной удаче он выиграет серию в 20— 30 партий. И, как редчайшее исключение, может статься, что Павел выиграет 30 миллиардов единичных ставок, то есть 300 миллионов. Можно заметить, что в самом благоприятном для Петра случае (и этот случай надо считать нормальным) годовой выигрыш, приносимый ему его игрой на квит, не превосходит одной тысячной того капитала, который он обязан всегда иметь в своем распоряжении, чтобы вести такую игру. Все же надо считать эту игру на квит выгодной для Петра, если не учитывать значительной потери, вызываемой невозможностью для него получать проценты с капитала. Эта выгода была бы еще больше, если бы отношение капитала Петра к ставке было бы в тысячу раз больше и позволяло ему установить максимальное число партий в серии равным 40. Вероятность проигрыша была бы настолько мала, что ею можно было бы пренебречь, а достоверность регулярного выигрыша практически была бы полной, особенно, если учесть продолжительность человеческой жизни. Однако вполне очевидно, что с математической точки зрения Жозефа Бертрана, то есть предполагая, что наследники могут продолжать игру сколько угодно столетий, в конце концов день реванша для Павла наступит. Таким образом, игра справедлива, сколь бы велико ни было максимальное число Но мы сейчас увидим, что если значение 60. Случай, когда число партий не установлено. Если согласиться с точкой зрения Бертрана в его работе о петербургском парадоксе, то не следует принимать во внимание ни того, что ограничены средства обоих игроков, ни того, что ограничена и продолжительность их жизни. Рассматриваются абстрактные игроки, играющие на абстрактные деньги, а выигрыши и проигрыши попросту записываются в огромную книгу. Эта книга — тоже абстракция, так как в иных случаях размеры ее должны были бы превысить размеры известной нам вселенной, чтобы в нее можно было вписать сверхастрономические числа, которыми выражаются долги игроков. Очевидно, математикам позволительно изучать такие абстрактные задачи, и история науки показывает нам, что построения, по видимости лишенные реального содержания, оказывались иногда весьма полезными для развития науки и для ее практических применений. Итак, предположим, что максимальное число Тогда соблазнительно следующее рассуждение. Как мы видели, математические ожидания соответственно для Петра и Павла, в случае выигрыша оба равны Все же такое рассуждение неточно, и мы поймем причину этого, если обратимся к вычислениям, с помощью которых получены значения Таким образом, их сумма неограниченно возрастает, то есть ее надо считать бесконечной при бесконечном Против этого можно было бы возразить, что члены высокого порядка в этой сумме соответствуют весьма мало вероятным событиям, которые могут произойти, только если будет сыграно исключительно большое число серий партий. Однако для каждого из этих членов можно установить такое число серий (равное Совсем иначе обстоит дело с Однако мы покажем, что в силу смысла обоих множителей в рассматриваемом произведении применение здесь алгебраической теории «истинного значения» неправомерно. Действительно, первый множитель — вероятность, стремящаяся к нулю при неограниченном возрастании Итак, математическое ожидание для Петра бесконечно, а это значит, что оно тем больше, чем больше число серий партий. На деле оно приблизительно равно Все же надо считать, с математической точки зрения, что оно бесконечно, если вопрос рассматривается отвлеченно, как это и предполагается. Действительно, это математическое ожидание пропорционально логарифму времени, а здесь нас не отпугивает представление об игре, длящейся столько веков, что это превосходит все вообразимое. Итак, оказывается, достаточно ввести бесконечность в ее потенциальном виде — и перестает быть верным положение, что игра безобидна, если она состоит из конечного числа партий, в каждой из которых игра безобидна. Это положение верно, если число партий фиксировано, то есть не может превзойти известного числа математическом смысле этого слова, то есть если это — переменное число, значение которого для каждой серии вполне определено и, стало быть, конечно, но в новой серии оно может оказаться большим заданного числа, сколь бы последнее не было велико. Вот это и называется потенциальной бесконечностью — в противоположность бесконечности осуществленной (актуальной), которую иной раз рассматривают математики и которая состоит в рассмотрении всех целых чисел сразу (или всех членов ряда со значками, представляющими все целые числа). Именно эта осуществленная бесконечность критикуется в знаменитых софизмах Зенона Элеата, когда греческий философ утверждает, что Ахиллес не может догнать черепаху или что летящая стрела неподвижна 1221. Иными словами, Павел может выиграть, при абстрактной постановке вопроса, каково бы ни было наибольшее число партий Пожалуй, можно составить еще более отчетливое понятие об этом, если представить себе неограниченную серию партий, состоящую из всех законченных серий, каждая из которых закончилась партией, выигранной Петром. Мы можем изобразить такую неограниченную серию с помощью бесконечного ряда цифр Мы довольно подробно рассмотрели наш вопрос с разных сторон, потому что полученный результат действительно своеобразен и более парадоксален, чем петербургский парадокс. Ведь дело свелось к тому, что Петр, играя все время в безобидную игру, может обеспечить себе игрой на квит те же преимущества, что и при петербургской игре, не выплачивая взамен Павлу ни сантима. Таким образом, выявляется, что предоставление Петру привилегии назначать ставку и прекращать игру по своему усмотрению оказываются чрезмерными и несправедливыми в условиях, когда на сцену выступает потенциальная бесконечность (то есть, когда число партий заранее не установлено или, что сводится к тому же, когда не зафиксирован наибольший размер ставки). Введение потенциальной бесконечности достаточно, чтобы сделать безобидную игру несправедливой. Я должен сознаться, что полагал возможным (в заметке относительно пари Паскаля ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|