Глава V. ТОЧКА ЗРЕНИЯ МАТЕМАТИКА

32. Неверные равенства. Анри Пуанкаре в своих глубоких изысканиях в области философии науки подчеркивал то обстоятельство, что с точки зрения математика ошибки не имеют градаций и что любое неверное равенство надо рассматривать как тягчайшим образом неверное, сколь бы мала ни была ошибка, ибо из него можно вывести любое другое неверное равенство.

Действительно, допустим, что мы неосторожно написали

когда число а не равно строго Это сводится к записи

причем разность нулю не равна. А так как эта разность не нуль, то, каково бы ни было число А, можно найти такое число что

С другой стороны, мы имеем право помножить на обе части равенства (2), которое предполагается верным, и это нам дает

а сравнивая (3) и (4), получаем

Итак, соотношение (5), где А — любое число, есть необходимое следствие нашего отправного соотношения (1). Такова точка зрения, которая представляется обязательной для всякого математика. Для него нет градаций в ошибке, как нет для него чисел малых или больших, потому

что все зависит от выбора единицы измерения. Миллиард для нас большое число, если имеем дело с годами или тоннами золота, но и это есть малое число, когда речь идет о молекулах водорода или даже о каплях воды в океане. Впрочем, в известной мере так же обстоит дело с отвлеченными числами, какими являются вероятности: вероятность в одну тысячную нам покажется ничтожной, если речь идет о небольшом риске, скажем, риске выйти без зонтика от дождя, но она была бы огромной, если бы нам сказали, что это каждодневная вероятность взрыва множества атомных бомб, помещенных неподалеку от нас.

Эти же примеры показывают, что все люди на деле сходятся на том, что некоторыми погрешностями можно пренебречь, то есть на том, что неравные числа можно рассматривать как равные. Тот, кто поставил бы себе задачу определить число кубических миллиметров воды, содержащихся в океанах, должен был бы себя поздравить, если бы допустил ошибку, не превышающую миллиарда; можно даже утверждать, что искомое число далеко не определено с такой точностью, потому что каждую секунду оно увеличивается благодаря притоку рек и уменьшается из-за испарения на такие величины, которые значительно больше этого миллиарда.

Однако математик вправе отвергнуть такой ответ, потому что некоторые могущие быть изученными им вероятности действительно определяются с очень большой точностью, и эти вероятности можно затем комбинировать так, чтобы получать как меньшие, так и большие числа. Поэтому необходимо рассмотреть несколько примеров.

33. Десятичные вероятности. Мы назовем десятичными вероятности появления той или иной цифры некоторого числа (целого или дробного) записанного в десятичной системе. Числа предполагаются записанными в виде десятичных дробей. Обратимся именно к этому случаю и рассмотрим десятичную дробь с десятью цифрами после запятой:

Можно задать себе вопрос, какова вероятность точно получить это число а при последовательной выборке различных Цифр, например, с помощью колес вроде тех, какими пользуются при случайной выборке выигрышных номеров

какой-нибудь лотереи. Поскольку вероятность получить для первой цифры цифру 3, для второй — цифру 1 и т. д. равна при каждой выборке одной десятой, то ясно, что вероятность получить в точности число а равна десятой степени одной десятой, то есть одной десятимиллиардной. Достаточно взять число состоящее не из 10, а из 20 цифр, чтобы иметь вероятность равную квадрату предыдущей, то есть одной стомиллиардной от одной миллиардной.

Вероятности точно определены и хорошо известны. Обе они весьма мало отличны от нуля, но математик все же не должен их смешивать с нулем, как мог бы поступить физик, если бы получил эти числа как вероятные значения разницы в длине примерно метровых линеек, считая единицей длины метр.

Если бы мы могли повторять случайную выборку 10 миллиардов раз, то математическое ожидание того, что получится число а, было бы равно единице. Этим не хотят сказать, что число а было бы получено безусловно, а только то, что в среднем его получали бы по разу в каждой серии из такого числа выборок.

Согласно формуле Пуассона [141, при десяти миллиардах испытаний, каждое из которых состоит в выборке десяти цифр, есть 36,8% шанса не получить а, столько же шансов получить его один раз, вдвое меньше, 18,4% шанса, получить его два раза, втрое меньше — 6,1% шанса получить его трижды, и т. д. Если бы каждое испытание занимало секунду, число а в среднем получалось бы один раз примерно в 300 лет (точнее, в 317 лет).

34. Нормальные десятичные числа. Теперь предположим, что мы хотим определить бесконечное десятичное число, выбирая наудачу все его последовательные цифры. Ясно, что мы не можем произвести все эти выборки, но математик может представить себе, что их число сколь угодно велико, что в точности и представляет математическое определение бесконечного числа. Мы знаем, что по закону больших

чисел Бернулли частота каждой из десяти цифр стремится к предельному значению когда число выборок неограниченно возрастает. Очевидно, что то же самое верно для любого конечного числа последовательных цифр. Если взяты две цифры, например 35, вероятность получить их в этом порядке есть следовательно, частота сочетания 35 будет одна сотая. Точно так же частота сочетания 206 будет одна тысячная, а частота сочетания из десяти цифр числа а — будет одна десятимиллиардная. Отсюда заключаем, что если делать в секунду 10 выборок по одной цифре, то в среднем цифра три будет получаться каждую секунду, сочетание 35 — каждые 20 секунд, сочетание 206 — каждые 300 секунд, то есть каждые 5 минут, и, как мы знаем, сочетание а — каждые 300 лет.

Говорят, что десятичное число нормально, если предельная частота его цифр, равно как и сочетаний из произвольного числа последовательных цифр, следует тому же закону, что и для чисел, цифры которых выбраны случайно, то есть равна одной десятой для одной цифры, одной сотой — для сочетания двух цифр, одной тысячной — для сочетания трех цифр и т. д. [161.

Если стать на точку зрения теории меры точечных множеств, то приходим к заключению, что числа ненормальные образуют множество нулевой меры 1171, тогда как мера множества нормальных десятичных чисел (между и 1) равна единице. Следовательно, надо считать, что нормальных чисел бесконечно больше, чем чисел ненормальных. Впрочем, здесь не место развивать такие соображения. Но замечательно то, что исключительно трудно определить нормальное число, особенно если требовать, чтобы оно полностью имело характер числа, цифры которого выбраны случайно Это вызвано тем, что человеческому разуму трудно имитировать случай. Наоборот, нужно считать весьма вероятным, что все просто определяемые числа, за исключением чисел рациональных, нормальны. Так, например, обстоит дело с , с числами которые играют столь важную роль в математическом анализе, с синусами и

косинусами, аргумент которых выражается целым числом градусов или минут, или секунд (кроме весьма частных случаев, когда они рациональны). Строгое доказательство этого факта было бы одним из самых блестящих успехов, каких можно достичь в исследовании свойств чисел, но это доказательство, по-видимому, очень трудно.

Если все же математики вообще сходятся на том, что такой факт имеет место, то это происходит в силу принципа достаточного основания. Этот принцип имеет большое значение для нашей убежденности в равенстве определенных вероятностей (выпадения различных граней кости или игральных карт одной и той же колоды и т. п.) Действительно, не видно никаких оснований для того, чтобы определенная цифра десятичной системы была в особом положении по отношению к такому числу, как Кроме того, некоторые из этих чисел вычислены с большим числом десятичных знаков (например, я — более чем с 800), и тщательное рассмотрение полученных цифр подтверждает, что отклонения частот цифр от их среднего значения находятся в пределах, которые следовало бы ожидать при случайной выборке. Однако надо сознаться, что (ограничиваясь десятичной системой) нашему воображению трудно, если не невозможно, охватить все своеобразные следствия того обстоятельства, что число, такое как или является нормальным. Это связано с тем, что нам не легко отличить последовательность из нескольких сотен цифр от другой подобной же последовательности; для нас имеют свое лицо лишь крайне редкие последовательности, образованные, например, только из нулей или вообще только из одинаковых цифр или из двух правильно чередующихся цифр. В силу этого представляет интерес рассмотрение, наряду с десятичной нумерацией, того, что мы назовем алфавитной нумерацией.

35. Алфавитная нумерация. Можно условиться выбрать систему счисления с основанием 26, в которой 26 цифр изображаются 26-ю буквами французского алфавита. Пусть при этом буква а соответствует нулю, единице и т. д. двадцати пяти. Тогда всякий французский (или английский, испанский и др.) текст можно рассматривать как

число при условии, что отбрасываются такие знаки как пунктуационные, промежутки между буквами, апострофы и знаки ударения. Если пожелать учесть и такие знаки, надо было бы выбрать систему счисления с основанием, превышающим 26, что нетрудно. Так, можно было бы принять все знаки пишущей машинки (где есть и прописные буквы, и десятичные цифры), прибавив к ним знаки для промежутка между словами и красной строки, что составит знака. Но мы ограничимся 26.

Если допустить, что число я нормально в такой системе алфавитной нумерации, то отсюда следует, что всякое сочетание определенного количества знаков должно получаться при вычислении последовательных цифр (эти цифры мы называем десятичными в случае десятичной системы счисления) числа в этой алфавитной системе счисления.

Рассмотрим сочетание знаков.

Вероятность его получения равна частному от деления единицы на степень числа 26. Чтобы составить себе представление о ее величине, проведем простое вычисление, используя число 25 и то, что десятая степень двух, то есть 1024, приближенно равна 1000 — кубу десяти. Так как 25 есть квадрат пяти, то имеем

следовательно, 255 примерно равно частному от деления 1010 на 103, то есть , а 2510 примерно равно 1014. Таким образом, 2610 заключено между 1014 и 1015. Отсюда заключаем, что знаменатель в выражении для вероятности определенной последовательности из 1000 букв (числитель равен 1) есть степень десяти с показателем, заключенным между 1400 и 1500, то есть число с 1400—1500 цифрами.

В следующей главе мы попробуем составить себе представление о столь больших числах. В данный же момент мы станем на точку зрения математиков, которые не усматривают никакой трудности в рассмотрении сколь угодно большого числа, лишь бы они его могли записать так, чтобы два математика, говоря о нем, были уверены, что они говорят об одном и том же.

Таким образом, если мы рассматриваем последовательность в один миллион букв, что соответствует книге от 400

до 500 страниц среднего формата, то вероятность обнаружить в ходе вычисления числа в алфавитной системе именно эту последовательность в миллион букв равна частному от деления единицы на число, которое имело бы немногим больше чем цифр.

Алфавитная нумерация более интересна для нас, чем нумерация десятичная, в силу того, что последовательность в миллион букв, составляющая книгу, имеет для нас свое лицо, и это позволяет сразу отличить ее от подобного же собрания знаков, образующего другую книгу. Даже не обладающий исключительной памятью человек может в конце концов выучить наизусть целый том, особенно если это том стихов, тогда как самые знаменитые специалисты по вычислениям в уме были бы далеки от того, чтобы быть в состоянии безошибочно запомнить миллион цифр или даже только сто тысяч цифр. Отсюда следует, что если, допустим, нам известно нормальнее число в алфавитной системе счисления, то его свойства нам покажутся гораздо более странными, чем при десятичной системе.

36. Нормальное число в алфавитной нумерации. Мы уже указывали, каковы соображения, в силу которых можно быть уверенным, что число есть нормальное число в десятичной системе. Эти соображения остаются в силе для любой другой системы счисления, в частности, для алфавитной Впрочем, если бы паче чаяния то, что изложено ниже, оказалось неприменимым к нам нужно было бы только взять вместо любое инее нормальное число. Мы ведь знаем, что таких чисел бесконечно много, хотя точно указать какое-либо такое число и не легко.

Согласно предыдущему, есть конечная вероятность (равная единице, поделенной на число, имеющее около цифр) того, что в алфавитном представлении числа имеется некоторая определенная последовательность в миллион букв, образующая данную книгу. Хотя эта вероятность крайне мала, но поскольку разложение следует мыслить неограниченным, ибо не рационально, приходится допустить, что эта последовательность букв встретится не один раз, а даже бесконечное число раз.

Итак, если мы попытаемся представить себе это алфавитное разложение в целом, то мы вынуждены признать,

даже без перехода к бесконечности, что оно содержит все книги, написанные по-французски или на любом другом языке с тем же алфавитом.

Само собой разумеется, что в этом разложении будут содержаться тексты всех газет, опубликованных на этих языках, как, впрочем, и тексты всех газет, которые будут опубликованы завтра или в будущем столетии. Между всеми этими текстами, конечно, будут находиться бесчисленные последовательности букз, совершенно лишенные смысла. Но такие последовательности не будут бесконечными и между ними будут слова, фразы и, гораздо реже, более длинные тексты, имеющие смысл.

Было уже показано на примерах, в какой мере наше воображение неспособно на деле представить себе ту непрерывную бесконечность точек, которую математики помещают на отрезке прямой Но здесь нет нужды переходить к бесконечности. Достаточно взять достаточно большое конечное число, например, число с тысячью миллиардов цифр, чтобы быть уверенным, что, выписав первых цифр в алфавитной системе, мы найдем при этом где-либо один за другим тексты всех книг библиотеки в 300 000 томов.

Таково несравненное богатство, заключенное в числе, которое мы обозначаем одной буквой Мы знаем простые методы для вычисления его первых знаков то ли в десятичной, то ли в алфавитной системе, а реальные успехи в области вычислительных машин, быть может, вскоре позволят вычислять тысячи его знаков, цифровых или буквенных. Однако ясно, что это еще далеко до того огромного числа знаков, которое необходимо, чтобы увидеть свершившимся то, что можно было бы назвать чудом математиков. Впрочем, мы сейчас увидим, что даже если бы это чудо осуществилось, оно оказалось бы менее интересным, чем это склонны считать.

37. Иллюзии математика. Действительно, в приведенных нами результатах есть немало обманчивого, даже если отвлечься от того, какие громадные сроки нужны для их осуществления. Мы сказали, что можно было бы получить полный и точный текст данной книги, например «Сида»

Корнеля. Но не надо забывать, что столь же часто, как и эта книга, нам будет попадаться ее текст, но с опущением одной-единственной буквы или с заменой одной буквы другой, или с перестановкой двух букв. Точно так же можно было бы допустить, что изменены 2, 3, 4,... буквы или целый стих, или даже несколько стихов, последовательно или в разбивку, или изменена даже целая сцена или один из актов.

Подобно этому мы нашли бы, как было сказано, тексты всех газет, помеченных завтрашней датой, которые появятся в Париже, Лондоне, Нью-Йорке или Буэнос-Айресе; но мы найдем также аналогичные тексты с той же датировкой, но несколько отличающиеся от предыдущих, либо с большими отличиями и с сообщениями как правдоподобными, так и нелепыми и неправдоподобными, вроде того, что на Женевском озере произошло сражение между русским и мексиканским флотами и т. п.

Таким образом, если даже мы вообразим себе сверхчеловека, по сравнению с которым самый образованный человек был бы таков, каков по сравнению с ним малограмотный, едва умеющий подписать свою фамилию, и даже если мы в тысячи раз усилим это допущение, так что наше сверхсущество сможет охватить целиком алфавитное представление настолько, что найдет в нем «Сида», то оно найдет заодно столько других разных и странных текстов, что ему легче было бы самому создать произведения, не уступающие шедеврам, чем выделить шедевры из огромного числа нелепых или посредственных текстов. Так же обстояло бы дело, если бы это существо занялось новостями, содержащимися в завтрашних газетах: только то предвидение близкого будущего, которым оно располагало бы, могло бы дать ему некоторые шансы на то, чтобы извлечь весьма редкие точные сообщения из бесчисленного множества сообщений ложных или нелепых.

Впрочем, достаточно лишь немного поразмыслить, и мы отдадим себе отчет в том, что исчезни текст «Сида» во всех его печатных изданиях, самым неудачным средством для точного восстановления текста была бы случайная выборка алфавитных знаков до тех пор, пока это не будет достигнуто. Допустим даже, что сверхчеловеческое существо могло бы осуществить такую выборку,— оно получило бы при этом огромное множество текстов более или менее сходных с «Сидом» и, чтобы выбрать настоящий, должно было

бы использовать свою память или память своих современников. Было бы проще с этого начать.

Надо ли сделать отсюда вывод, что полученные нами результаты лишены значения? Ничуть, но их значение с практической точки зрения равно нулю. Их значение было бы достаточно велико с точки зрения математической, если бы они указывали путь к исследованию поведения на бесконечности тех выражений, которыми определяется то или иное иррациональное число. Я уже не раз указывал на тот интерес, который представляют такие изыскания, но мне ясно, что они трудны, и я должен сознаться, что не вижу средств для преодоления этих трудностей.

Как мне кажется, из этих рассуждений можно извлечь вывод, что в том с виду весьма отчетливом представлении, которое составили себе математики относительно неограниченной последовательности целых чисел, есть немало иллюзорного. Вслед за каждым целым числом имеется другое, и операция перехода от числа кажется нам сначала одной и той же, каково бы ни было но ведь надо, чтобы мы могли представить себе это число Самые большие числа, какие мы можем считать определенными, — это те, которые в алфавитной системе счисления представляют книги наших библиотек, — книги, которые нам позволительно, если их не слишком много, считать расположенными одна за другой в определенном порядке. Но для нас абсолютно невозможно выявить какое-либо свойство чисел, определенных таким образом.

Разумеется, можно определить и значительно большие числа, но это будут числа «изолированные», особым образом определенные. Например, обозначим через десятую степень десяти, затем обозначим через степень десяти, через степень десяти и т. д., кончая таким а, индексом которого будет и которое обозначим через затем можно определить такое а, что его индекс равен и так далее. Но, повторяем, числа, определенные по такому способу, который может быть и видоизменен различным образом, — это числа исключительно редкие, тогда как числа, определенные в алфавитной системе последовательностями напечатанных слов, весьма сходны с наиболее общими числами, — такими, что их можно получить случайной выборкой последовательных цифр.