Глава II. ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ

7. Азартные игры. В предыдущей главе мы уже рассмотрели несколько примеров, заимствованных из азартных игр. В этом нет порочного круга по крайней мере с точки зрения того, кому эти игры известны, но не известны математические теории, так как изобретение азартных игр предшествовало математическому исследованию вероятностей, хотя изобретатели этих игр, несомненно, интуитивно достаточно ясно представляли себе, что такое вероятность.

Если говорить о костях, картах или домино, то есть о наиболее распространенных азартных играх, которые являются также и наиболее старыми, то они основаны на равенстве некоторых вероятностей. Различные грани кости имеют одинаковую вероятность появиться при бросании кости на горизонтальном столе; различные карты колоды имеют одинаковые шансы попасть к любому из игроков, когда колода хорошо перетасована (дополнительной предосторожностью является «срезание» колоды перед раздачей; эта предосторожность становится мнимой, если сдающий умеет «передернуть»).

Таким образом, ученые, создавшие исчисление вероятностей (Галилей, Ферма, Паскаль), нашли как раз в игре в кости простой и хорошо подготовленный материал, который значительно облегчил их первые шаги. Они допустили, что правильно изготовленная кость является идеальным кубом, сделанным из однородного материала; равным образом они приняли, что те пометки, с помощью которых различают

шесть граней, то есть которым соответствуют первые шесте целых чисел, настолько ничтожны, что не нарушают серьезным образом симметрию куба.

Первая трудность, которую преодолел Паскаль в своей переписке с шевалье де Мере, связана с точным подсчетом случаев. Речь шла об игре, при которой бросают три кости, и один из игроков заключает пари, что сумма на выброшенных гранях будет больше чем 10, а другой — что она будет равна или меньше 10. Легко видеть, что шансы обоих игроков равны. Но трудность была в следующем. Терпеливый учет очень большого числа партий показал шевалье де Мере, что тот, кто ставит на сумму, большую 10, чаще выигрывает с 11, чем с 12 очками. Однако, возражал Мере, 11 очков можно получить шестью различными способами (6—4—1; 6—3—2; 5—5—1; 5—4—2; 5—3—3; 4—4—3), и 12 очков тоже можно получить шестью способами (6—5—1; 6— 4—2; 6—3—3; 5—5—2; 5—4—3; 4—4—4). Ответ Паскаля очень прост: сочетание 6—4—1 не является простым, а шестикратным, так как, если пронумеровать кости или если каждую из трех костей окрасить по разному, чтобы можно было их различать, значение 6 может быть получено на каждой из трех костей, а значение 4 - на каждой из двух остающихся, что уже составляет шесть комбинаций. Напротив, такое сочетание, как 5—5—1, может быть получено только тремя различными способами, а сочетание 4—4—4 — единственным способом.

Следовательно, если желательно узнать действительное число различных способов получить 11 или получить 12 очков, то надо для каждого из этих случаев составлять сумму тех шести чисел, которые соответствуют сочетаниям, указанным выше в скобках.

Таким образом, для случая 11 очков мы получаем, взяв эти сочетания в том порядке, в каком мы их написали,

тогда как для случая 12 очков мы имеем

Отсюда заключаем, что в среднем мы получаем 11 очков 27 раз, тогда как 12 очков мы получаем только 25 раз, и этот результат отлично сошелся с наблюдениями шевалье де Мере.

8. Повторные испытания. Замечание, сделанное Паскалем по поводу игры в три кости, полностью применимо в случае, когда кости выбрасываются последовательно, одна за другой, если учитывать общий результат трех бросаний. В этом случае можно пользоваться только одной косгыо, и мы получим 6—5—1 шестью различными способами, потому что шестерка может быть получена либо при первом, либо при втором, либо при третьем бросании, а когда это бросание уже проделано, остаются еще две возможности, чтобы получить 5 перед 1 или 1 перед 5.

Если мы рассмотрим самую простую игру, игру в орла и решку, то ясно, что если Петр и Павел договорились сыграть партию из четырех последовательных бросаний, то общий результат будет допускать пять различных возможностей, так как Петр может выиграть 4, 3, 2, 1 или раз, тогда как Павел соответственно выигрывает 0, 1, 2, 3 или 4 раза. Но в действительности каждую из этих возможностей надо отличать от остальных, потому что они не эквивалентны. Для Петра есть только один способ выиграть 4 раза, потому что он должен выиграть при первом, втором, третьем и четвертом бросании, но есть 4 способа выиграть 3 раза, так как можно проиграть или в первый, или во второй, или в третий, или в четвертый раз. Легко видеть, что для выигрыша два раза (а следовательно, для проигрыша два раза) есть шесть различных возможностей, так как выигрыши могут иметь отметки 1 и 2, или 1 и 3, или 1 и 4, или 2 и 3, или 2 и 4, или 3 и 4.

Кроме того, имеется симметрия между Петром и Павлом и, если один выигрывает три раза, другой выигрывает один раз. Отсюда заключаем, что относительные возможности для Петра выиграть 4, 3, 2, 1 или раз выражаются числами:

Эти числа получаются с помощью простого метода, названного Паскалем арифметическим треугольником, первые строки которого мы выпишем:

Если принять, что каждая из этих строк дополнена справа и слева нулями, то можно высказать следующее правило: каждое число в любой из строк есть сумма числа, находящегося над ним в предыдущей строке, и числа, стоящего слева от последнего. Так, третье число в пятой строке это четвертое число в этой же строке есть пятое число будет

Когда число повторных испытаний очень велико, вычисление арифметического треугольника становится весьма длительным, если не невыполнимым. Математики вывели формулы, которые позволяют вычислять числа, фигурирующие в арифметическом треугольнике, равно как и суммы таких чисел, места которых расположены в известных пределах. Что касается вывода этих формул, мы отошлем к работам по исчислению вероятностей и ограничимся тем, что используем их существенные следствия. Для наших читателей достаточно знать, что эти результаты могут быть получены простым подсчетом всех возможностей, — подсчетом, который мы выполнили в случае четырех последовательных испытаний, но который был бы практически невыполним для миллиона испытаний.

9. Математическое ожидание и вероятное число. Во многих вопросах теории вероятностей удобно ввести понятие математического ожидания. Когда игрок должен получить некоторую сумму, если произойдет некое случайное событие, вероятность которого известна, то его математическое ожидание есть та сумма, которую по справедливости ему должен был бы внести тот, кто купил бы у него шансы на выигрыш. Например, Петр должен выбросить один раз кость и получить 6 франков, если покажется цифра 4. Легко видеть, что его математическое ожидание равно одному франку, то есть произведению суммы (6), которую можно получить, на вероятность благоприятного исхода 1/0.

Действительно, допустим, что банкомет предлагает выбросить кость и каждому предоставляет возможность держать пари на выбранную им грань, получая в случае выигрыша 6 франков. Если шесть различных игроков ставят соответственно на 6 граней косги, то банкомет должен будет

в любом случае уплатить франков, так как будет один выигравший, и только один. Для того чтобы игра была справедливой, нужно, чтобы каждый из шести игроков внес банкомету по одному франку, так как нет никаких оснований для того, чтобы кто-либо из них платил больше или меньше, чем другой, поскольку все шесть граней кости одинаково вероятны. Отсюда мы заключаем, что значение математического ожидания для каждого игрока составляет один франк.

Надо заметить, что численное значение математического ожидания не всегда соответствует вероятной и даже возможной прибыли. Например, если Петр пошел на то, что он будет бросать 11 раз кость и получать 6 франков всякий раз, как выпадет цифра 4, его математическое ожидание составляет 11 франков, а между тем достоверно, что он ни в каком случае не получит эту сумму: он получит франков, смотря по тому, выпадет ли цифра 4 у него раз. Можно лишь утверждать, как мы это с точностью увидим в дальнейшем, что при достаточно большом числе подобных партий он в среднем получит 11 франков за партию. В силу этого иной раз говорят, что 11 франков — это его средний, или вероятный, выигрыш. Наоборот, говорят, что его наиболее вероятный выигрыш есть 12 франков, так как легко видеть, что чаще всего будет иметь место выигрыш в двух партиях из одиннадцати. Но этот наиболее вероятный выигрыш значительно менее интересно определить, чем выигрыш вероятный, или средний.

Применение математических ожиданий во многих вопросах имеет то большое преимущество, что математические ожидания, относящиеся к двум каким-либо событиям, можно попросту складывать, независимо от того, связаны ли эти события друг с другом или нет. Действительно, владелец этих математических ожиданий мог бы их продать двум различным лицам и получить таким образом доход, равный сумме значений этих двух ожиданий.

10. Определение отклонения и единицы отклонения. Предположим, что мы раз подряд повторяем испытание, при котором вероятность благоприятного события равна Обозначим через вероятность противоположного события,

то есть события, отличного от благоприятного, и мы будем иметь

Например, при игре в рулетку, где имеем 36 номеров и нуль, вероятность получить нечетное число есть противоположное событие (четное число или пуль) имеет вероятность -Так же точно обстоит дело с красным цветом, потому что 18 из 36 номеров имеют этот цвет.

Если произвести испытаний, вероятное число благоприятных событий равно пр, и это вероятное число в большинстве случаев может не быть целым числом. Обозначим фактически наблюдавшееся число благоприятных событий через где число может быть положительным или отрицательным. Это число по определению, называют отклонением, и существенной задачей теории повторных испытаний является определение закона отклонений, или точнее, вероятностей того, что отклонения будут находиться в тех или иных пределах.

Когда число мало, арифметический треугольник позволяет немедленно решить эту проблему. Допустим, например, что мы проводим последовательно четыре партии игры в орла и решку и рассмотрим определенное сочетание четырех букв например Вероятность получить в первой партии равна вероятность получить во второй партии также равна вероятности для О в третьей и в четвертой — тоже равны Следовательно вероятность получить равна произведению четырех множителей, равных так что эта вероятность равна 716; такова же будет вероятность каждого иного сочетания, состоящего из четырех букв Но мы знаем, что среди этих сочетаний (см. § 8) есть одно, которое содержит и одно, которое содержит 40; есть 4, которые содержат и 10, а также 4, которые содержат наконец, есть 6, содержащих и 20. Эти последние сочетания соответствуют отклонению равному 0; вероятность такого отклонения, следовательно, Есть четыре сочетания, соответствующих отклонению и четыре сочетания с отклонением —1; вероятность каждого из этих отклонений есть , или Наконец, вероятность каждого из отклонений 2 и —2 составляет .

Но, как мы уже сказали, как только число становится достаточно большим, превосходит 40 или 50, вычисление арифметического треугольника будет слишком обременительным, и тогда выгодно использовать приближенные

формулы, выведенные как раз при допущении, что значение достаточно велико. Эти формулы дают вполне удовлетворительные приближенные результаты, кактолькоп превосходит значения, при которых арифметический треугольник неприменим.

Эти формулы основаны на рассмотрении числа и, которое называется единицей отклонения и, по определению, равно корню квадратному из Мы уделим особое внимание двум частным случаям, весьма важным для практики. Первый из этих случаев тот, когда два числа равны пли мало отличаются одно от другого (как в случае рулетки и 19/37). Произведение тогда равно (или мало от этого отличается), так что единица отклонения равна корню квадратному из Но при как раз равно вероятному числу благоприятных событий. Следовательно, в рассматриваемом частном случае единица отклонения и равна как раз корню квадратному из этого вероятного числа.

Второй частный случай — тот, когда число мало и, следовательно, число настолько близко к единице, что его можно принять за единицу. Например, так обстоит дело, когда ставят на определенный номер в рулетке: вероятность тогда равна 36/37. Единицу отклонения и можно принять в этом случае равной корню квадратному из то есть корню квадратному из удвоенного вероятного числа благоприятных событий.

Существенным результатом теории повторных испытаний является следующий: когда известна единица отклонения и, можно утверждать, что вероятность того, что отклонение содержится между -Х и зависит только от числа Таким образом, среди всех задач на повторные испытания, относящихся к различным числам пир, имеется известная схожесть или подобие: достаточно подсчитать число и с помощью данных задачи, и эти данные войдут в результат только посредством этого числа.

Иногда мы будет называть X, положительно оно или отрицательно, относительным отклонением; тогда о произведении говорят как о действительном, или абсолютном, отклонении (но не надо смешивать с абсолютным значением отклонения).

11. Важные результаты о вероятности относительных отклонений. В трактатах по теории вероятности можно найти таблицы, в которых приводятся вероятности того, что относительное отклонение меньше заданного числа Здесь мы ограничимся весьма краткими указаниями, достаточными для тех приложений, которые мы имеем в виду в этой книге.

Вот вероятности того, что отклонение не заключено между — для некоторых значений X, взятых в арифметической прогрессии:

Сразу же скажем, что для упрощения таблицы мы слегка изменили значения X, но для тех приложений, которые нас интересуют и в которых особенно существенны порядки величин, эти сознательные искажения не имеют значения. Те из наших читателей, которые пожелают провести точные расчеты, должны будут обратиться к таблицам функции, обозначаемой

Вероятности, которые соответствуют значениям X, входящим в нашу таблицу, соответственно равны одной десятой-, одной тысячной, одной миллионной и одной десятимиллиардной. Мы увидим, что эти вероятности соответствуют для противоположного события (то есть для того, чтобы отклонение содержалось между — степени достоверности от события вполне вероятного до события достоверного с переходом через очень вероятное и исключительно вероятное.

12. Применение к задаче о разорении игрока. Мы применим теперь эти результаты к задаче о разорении игрока, долго возбуждавшей страсти у теоретиков-вероятностников. Мы увидим, что если игра справедлива, то это разорение, хотя и в полном согласии с предсказаниями математиков, происходит, однако, достаточно медленно для того, чтобы тот, кто не ведет слишком большую игру, не имел оснований беспокоиться.

Рассмотрим игрока в орла и решку с раз навсегда установленной ставкой, которую мы примем равной одному франку. Каждый читатель может умножить эту цифру на

100 и 1000, .., и ему достаточно будет умножить на то же число результаты, которые мы получим. Само собой разумеется, те же результаты применимы в более сложной игре, чем орел и решка, при условии, что шансы обоих игроков всегда равны. Так обстояло бы дело с игроком, который постоянно ставил бы на красное или черное, на чет или нечет в рулетке без нуля. Так же обстояло бы дело и с игроком в экарте или пикет, который состязался бы с игроками одинаковой с ним силы. Все же надо заметить, что наиболее верным средством для выяснения, одинаковой ли силы два игрока, является наблюдение за тем, будут ли отклонения при большом числе сыгранных между ними партий находиться в пределах, указываемых вычислением.

Допустим, что каждая партия продолжается только несколько секунд, а это позволило бы сыграть в течение дня несколько тысяч, а в течение года около миллиона партий. Вероятное число выигранных партий в этом случае 500 000, а единицей отклонения является корень квадратный из этого числа, примерно 707, произведение которого на 4,6 равно приблизительно 3250. Следовательно, можно утверждать, что число выигранных партий заключено между 503250 и 496750, так как вероятность противоположного события меньше одной десятимиллиардной. Итак, нашему игроку понадобилось бы повторять игру в течение 10 миллиардов лет, чтобы имелись заметные шансы на то, что его выигрыш или проигрыш в течение одного из этих лет превзошел 3250. Если наш игрок играет подряд 64 года, относительное отклонение и умножится на 8 (корень квадратный из 64) и мы должны будем заменить 3250 его произведением на 8, то есть 26 000.

Таким образом, азартный игрок может миллион раз ставить 1 франк в орла и решку каждый год в течение 64 лет, то есть в общей сложности поставить 64 миллиона, рискуя при этом потерять в общем не больше 26 000 франков. Однако, чтобы быть точным, следует добавить, что мы рассуждали так, как если бы расчеты по пари производились только после окончания всех игр, но не исключено, что в ходе партии из 64 миллионов игр убыток игрока превзойдет указанную сумму. Это не меняет сути наших заключений.

Общая сумма, которую рискует потерять игрок, растет как корень квадратный из числа партий. Если речь идет об играх, требующих некоторого размышления, как экарте, число партий едва ли может превзойти 100 в течение дня и миллион в течение 27 лет. Следовательно, отклонение практически никогда не превзойдет ставки более чем раз, то есть трех миллионов при ставке в 1000 франков. Таково должно быть соотношение между обычной ставкой и имуществом азартного игрока, который не хочет разориться.

При этом игра предполагается справедливой, что может иметь место при игроках, знающих друг друга. Непрофессиональному игроку приходится посещать клубы и казино, которые, какова бы ни была их бескорыстность, вынуждены присваивать известную долю ставок, чтобы оплатить свои расходы на помещение, инвентарь и персонал, не говоря уже о налогах. Это присвоение происходит либо прямым образом (например, из сумм, поставленных банкометом при игре в баккара), либо косвенно, с помощью правил игры (нуль рулетки). Легко увидеть, что такое присвоение влечет за собой значительное убыстрение разорения игроков и, главное, делает его абсолютно достоверным. Действительно, все происходит так, как если бы банкомет присваивал известную долю ставок, долю, строго пропорциональную общей сумме ставок, тогда как максимальный выигрыш (или отклонение) увеличивается только пропорционально корню квадратному из числа партий. При миллионе партий этот максимальный выигрыш не может превзойти более чем в 3000 раз обычную ставку, тогда как изъятие в пользу игорного заведения всегда превышает одну сотую ставок и, следовательно, при миллионе партий в 10 000 раз больше ставки. Таким образом, тот, кто участвует в миллионе партий, может быть абсолютно уверен в том, что даже если счастье ему будет благоприятствовать, он потеряет по крайней мере в 7000 раз больше своей средней ставки.

13. Закон больших чисел. Из закона отклонений можно вывести закон больших чисел, который впервые был сформулирован в XVIII веке Яковом Бернулли. Будем рассматривать неограниченную последовательность повторных испытаний и назовем частотой благоприятного исхода в течение первых испытаний частное от деления на числа благоприятных исходов. Обозначим эту частоту через Закон больших чисел состоит в утверждении, что

когда неограниченно возрастает, частота стремится к пределу, который равен вероятности

Некоторые современные теоретики утверждали, что этот закон больших чисел является простой тавтологией, так как они думают, что вероятность можно определить только как частоту при очень большом числе испытаний. Если при очень большом числе испытаний эта частота не стремится к пределу, а более или менее колеблется между различными пределами, то надо утверждать, что вероятность не остается постоянной, а изменяется в ходе испытаний. Это имеет место, например, для людской смертности в течение веков, так как успехи медицины и гигиены имеют своим следствием увеличение средней продолжительности жизни. Стало быть, вероятность для родившегося ребенка достичь возраста 60 лет имеет тенденцию к росту. Эта эмпирическая точка зрения вполне приемлема для статистика, изучающего демографические явления, так как здесь мы должны, за неимением других научных средств для предвидения, ограничиться использованием бесчисленных наблюдений. Но для простых явлений, вероятность которых может быть вычислена в силу самой их природы, дело обстоит иначе; такой случай мы имеем при игре в кости, при наблюдениях за правильно сконструированной рулеткой, при некоторых физических и биологических явлениях, о которых речь будет идти дальше.

Если мы бросаем кость небольшое число раз и всякий раз отмечаем полученный результат, мы заметим, что между различными результатами есть существенная разница: если кость бросали 60 раз, мы, быть может, получим 13 раз висло 6 и только семь раз число 5. Но закон отклонений учит нас, что если кость бросать раз, то отклонение вероятного числа 5000 от действительного числа раз, когда появится 6, не может превзойти единицы отклонения с небольшим множителем, что в данном случае примерно равно 100 (корень квадратный из Следовательно, частота появления 6 будет заключена между частными от деления на 30 000 чисел 5300 и 4700, так что она будет отличаться от вероятности меньше чем на одну сотую. Если бы число испытаний было во 100 раз больше, единица отклонения была бы только в 10 раз больше и разница между частотой и вероятностью достоверно была бы меньше одной тысячной.

На этом простом примере мы наблюдаем механизм действия закона больших чисел. Мы обозначили через

наблюденное число благоприятных событий, и мы знаем, что положительное или отрицательное отклонение не может превзойти произведения единицы отклонения и на небольшой множитель; а эта единица отклонения есть корень квадратный из то есть произведение определенной числовой постоянной на корень квадратный из Итак, частота равная частному от деления на числа равна вероятности плюс положительный или отрицательный член, содержащий отношение корня квадратного из то есть имеющий в знаменателе корень квадратный из тогда как числитель — это число К, о котором мы знаем, что для него крайне маловероятно превзойти 4 или 5. Таково, на обычном языке, самое простое доказательство закона больших чисел. Долгое время оно казалось удовлетворительным. Более глубокие исследования показали, что для полной строгости доказательства надо использовать теорию счетных вероятностей, которую здесь мы не можем излагать, но которую читатели могут найти в одной из уже цитированных книг.

Однако надо согласиться с эмпиристами в том, что если в ходе длительного наблюдения за повторными испытаниями обнаружилось противоречие с законом больших чисел, мы должны отсюда заключить о неверности принятого нами значения для вероятности и постараться получить более правильное значение, стремясь одновременно и к учету результатов эксперимента и к углубленному исследованию используемого материала. Например, мы можем заключить, что такая-то кость имеет определенную асимметрию, а при тщательных наблюдениях открыть, в чем именно эта асимметрия состоит. Такой факт ничуть не снижает значения закона больших чисел как математического закона, установленного с помощью правильных вычислений; он просто доказывает, что мы имеем дело со случаем, когда совокупность сведений, с помощью которых определена вероятность, содержит неточные элементы: мы предполагали, что наша кость была правильно изготовлена, тогда как это не имеет места.

14. Многократные испытания и точные вероятности. С теорией повторных испытаний можно связать то, что называется многократными испытаниями, состоящими в выполнении одного и того же испытания при условиях не

вполне идентичных, а имеющих переменный элемент. Например, последовательно обращаются к некоторой группе людей и требуют от каждого человека наудачу выбрать целое двузначное число. Если один из них не понимает вопроса и отвечает неправильно, то это не учитывается.

Использование многократных испытаний позволяет с помощью мало известных или грубо приближенных вероятностей определять некоторые вероятности с очень большой точностью.

Чтобы составить себе об этом представление, мы решим следующую задачу. Не зная, будет ли число а четным или нечетным, мы примем, что вероятность его четности есть а его нечетности — Так же обстоит дело с числом только число заменяется на в. Что можно сказать о числе

Это число четно в двух случаях: или оба четны, или же они оба нечетны. Вероятность его четности, следовательно, равна

Отсюда легко заключить, что если в полку человек и если от каждого требуется указать двузначное целое число, то вероятность того, что сумма указанных целых чисел будет четным числом, равна

Тут положительные или отрицательные числа, которые надо прибавить к чтобы получить вероятность того, что каждый из опрошенных людей выбрал четное число. Эти числа нам неизвестны, но мы наперед знаем, что они заведомо меньше по абсолютному значению и, сверх того, почти с достоверностью можно предположить, что они очень малы. Очевидно, может статься, что некоторые предпочитают четные числа, другие же предпочитают нечетные, но неправдоподобно, чтобы это предпочтение доходило до того, что, например, более трех раз из четырех будет выбрано четное число.

Итак, если предположить, что по абсолютному значению числа меньше 1/4, то разность между будет меньше отношения единицы к степени 2. Если то есть в полку 1000 человек, то 1000-я степень 2 есть число, превышающее 300-ю степень 10 (так как 10-я степень 2, то есть, 1024, больше 1000, куба 10). Мы определили, таким образом, вероятность с ошибкой меньше крайне малого числа; в главе VI мы увидим, с помощью каких сопоставлений можно попытаться представить себе исключительную малость этого числа, недоступную нашему воображению.

Само собой разумеется, что тот же подход можно использовать во всех случаях, когда вероятность известна очень приближенно, например, заключена между 0,3 и 0,7. Комбинируя подходящим образом достаточно большое число последовательных событий, можно определить сложное событие с вероятностью весьма точной. Например, можно много раз бросать кость, или одновременно бросить большое число костей, и сложить полученные результаты: вероятность того, что последняя цифра суммы будет или 9, весьма точно равна одной десятой, причем ошибкой можно вполне пренебречь, если число бросанийоченьвелико.