Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава VI. БОЛЬШИЕ ЧИСЛА И ВСЕЛЕННАЯ38. Астрономические числа. В повседневной речи большие числа называют астрономическими, потому что помимо математиков, которым, как мы только что видели, не составляет труда выписывать весьма большие числа, именно астрономы пользуются такими числами при определении межзвездных расстояний, массы Солнца, размеров вселенной. Мы намереваемся оценить порядок величины этих астрономических чисел относительно единицы длины в системе Расстояния до звезд обычно определяются по времени, за которое их проходит свет, а скорость света (в пустоте) равна Итак, расстояние от Земли до Солнца в сантиметрах равно произведению 500 на
Если предположить, что средняя плотность звезд нашей Галактики почти равна плотности вблизи Солнца и что средняя масса этих звезд того же порядка величины, что и масса Солнца, то вычисленная только что плотность дает достаточно точное представление о порядке величины средней плотности материи в нашей Галактике. Это значит, что показатель 20 верен с точностью до нескольких единиц в ту или другую сторону. Если оценить наибольший поперечник нашей Галактики в 100 000 000 световых лет Таковы наибольшие астрономические числа, которые получаются при измерении известной вселенной в единицах CGS 39. Астрономические сроки. При вычислении промежутков времени, которые необходимы для прошлого и будущего развития нашей солнечной системы, мы будем получать значительно меньшие числа. В начале нашего столетия геологи и астрономы вступили в спор по вопросу о возрасте Земли. Сроки, которые казались геологам необходимыми для того, чтобы объяснить формирование земных отложений, превышали промежутки, которые, согласно астрономам, отделяют от нас те времена, когда земной шар охладился настолько, что стало возможным образование океанов и появление жизни. Этот спор возник из-за того, что по подсчетам астрономов светило типа Солнца не может излучать свет в течение продолжительного времени. Но после открытия радиоактивности и того факта, что при превращениях материи высвобождается огромная энергия, выяснилось, что для эволюции светил можно указать значительно большие сроки, чем это казалось раньше. Теперь геологи и астрономы сходятся на том, что со времени охлаждения земного шара прошло около миллиарда лег, а возможная в будущем продолжительность жизни на Земле есть величина того же порядка. Чтобы гарантировать себя от ошибок, неизбежных в рассуждениях такого рода, мы могли бы допустить даже сотни миллиардов лет, что дало бы около тысячи миллиардов раз по десять миллионов секунд, то есть 1022 секунд. Таково наибольшее из астрономических чисел в оценках сроков, если ограничиться нашим шаром, что для нас особенно интересно. Быть может, хотя это представляется все менее и менее вероятным, это число следует умножить на миллион или миллиард при учете возможностей эволюции всего наблюдаемого нами звездного мира. Но и при этом нам не удастся превысить 1030 секунд. 40. Экскурсия в бесконечно малое. Уже давно замечено, что хотя бесконечно малое кажется нам более доступным, чем бесконечно большое, его сравнительно труднее измерить и постичь. Молекулы и атомы, из которых состоят химически простые и сложные тела, долгое время считались недоступными, их существование было только чистым предположением. Однако в конце прошлого и в начале настоящего века удалось их измерить различными, но согласующимися методами, а важные экспериментальные работы (среди которых одно из первых мест надо отвести работам Порядок величины массы молекул по отношению к грамму около механикой (Планк, Шредингер, Луи де Бройль). Наименьшие полученные при этом массы имеют порядок Все эти теории находятся в процессе развития и, без сомнения, еще не сказали своего последнего слова. Поэтому будет благоразумно принять большой «запас прочности» в оценках того, как малы будут по сравнению с размерами атома те размеры, с которыми придется иметь дело в будущем. По-видимому, множитель порядка тысячи миллиардов, то есть 1012, является достаточным для такой цели, по крайней мере пока будут читать эту книгу. Мы получаем таким образом линейные размеры порядка Если сопоставим результаты, полученные в бесконечно малом, с тем, что мы получили в бесконечно большом, то мы увидим, что для оценки размеров вселенной с помощью наименьшей возможной инфрамолекулярной шкалы достаточно чисел меньших, чем 1050 для линейных размеров и, стало быть, меньших, чем 10160 — для объемов. 41. Самые короткие сроки. Для наибольших промежутков времени в системе единиц CGS мы получили числа, приблизительно равные тем, которыми выражаются в той же системе наибольшие расстояния. Примерно таково же соотношение между самыми малыми промежутками времени и самыми малыми длинами. Такими самыми короткими промежутками являются, с одной стороны, периоды световых колебаний, с другой, — интервалы между двумя последовательными столкновениями одной и той же молекулы. И здесь мы можем принять определенный запас, чтобы учесть как прогресс наших средств исследования, так и развитие физических теорий. Так мы получаем в качестве наименьшего промежутка времени, какой приходится рассматривать, Помножив отношение промежутков времени на отношение объемов, то есть 1060 на 10150, мы получим 10200 в качестве максимального числа элементарных событий, могущих произойти во всей вселенной, — событий, локализованных в минимальном возможном объеме и во времени происходящих в кратчайшие сроки. В последней главе мы обсудим те проблемы, которые возникают в связи с рассмотрением сложных событий. Здесь мы ограничимся замечанием, что даже считая наши оценки весьма большого и весьма малого чересчур робкими, не легко будет заменить 42. Вселенная конечная или бесконечная. Известно, что теория относительности позволила поставить вопрос о том. конечна или бесконечна вселенная, в точной формулировке. А именно, кривизна вселенной в определенной области была получена в виде простой функции от средней плотности массы материи в этой области, и если эта кривизна больше фиксированного числа, сколь бы мало оно ни было, то отсюда с неизбежностью следует, что вселенная конечна, и что линии, которые мы называем прямыми — траектории лучей света — в действительности окружности очень большого радиуса. Двигаясь по ним, мы возвращаемся к исходной точке, как это проделывало бы крохотное животное, если бы оно каждый год продвигалось по земному меридиану на долю миллиметра. Но такому животному нужно было бы жить миллиарды лет, чтобы обойти таким образом Землю, так что оно не было бы под угрозой заметить это движение по замкнутой траектории, как не заметили бы этого и его потомки, даже если бы их сведения и наблюдения передавались от поколения к поколению. Но хотя теория относительности приводит к выводу, что гипотеза конечности вселенной является вероятной, эта теория не позволяет целиком отбросить гипотезу, что вселенная бесконечна. Только в последнем случае следует допустить, что если мы рассматриваем шар с центром в какой-то точке и с неограниченно растущим радиусом, то средняя плотность материи внутри такого шара стремится к нулю. Впрочем, уже давно было указано на то, что если в бесконечной вселенной средняя плотность звезд постоянна, то небо должно было бы нам казаться столь же светлым, как солнечный диск, по крайней мере, если допустить, что межзвездные пространства пусты и не поглощают света. Если же эти пространства не пусты, мы сталкиваемся с другими трудностями. Итак, попытаемся представить себе эту вселенную, в которой средняя плотность материи равна нулю. Нам известна наша Галактика, то есть скопление звезд, образующих Млечный Путь, причем ближайшие к нам звезды рассеяны по всем направлениям. Средняя плотность этой Галактики примерно такая, какую мы вычислили в § 39, то есть Мы подходим здесь к крайним пределам того, что может достичь наша наука, и дальше можно двигаться, только опираясь на аналогии и нагромождая предположения. И все-таки для нас это единственное средство, чтобы превзойти те астрономические числа, которые мы смогли получить, то есть 10200. 43. Числа сверхастрономические. Итак, допустим, что галактики, подобные нашей и которые мы назовем галактиками первого порядка, столь же многочисленны, как и звезды, образующие нашу Галактику, и что сами они составляют то, что мы будем называть галактикой второго порядка. Мы видели, что звезды, образующие нашу Галактику, отделены одна от другой при наибольшей близости несколькими световыми годами, при наибольшем удалении — десятками миллионов световых лет. По нашему допущению в галактике второго порядка самые близкие друг к другу галактики первого порядка находятся на расстояниях в несколько миллионов световых лет. Таким образом, для расстояний между ними приходится принять миллионы миллионов световых лет, что указывает размеры галактики второго порядка. Следовательно, линейные размеры такой галактики второго порядка примерно в 10 раз больше размеров нашей Галактики, стало быть, ее объем больше объема галактики первого порядка примерно в Теперь нам надо представить себе другие галактики второго порядка, чьи взаимные расстояния должны быть по меньшей мере в 10 раз больше их максимальных размеров, и так далее. С каждым новым нашим шагом объем галактики умножается примерно на Разумеется, математик не обязан остановиться на этом, он может брать сколь угодно большие порядки галактик, поскольку он располагает неограниченной последовательностью целых чисел. Однако пора задать себе вопрос, могут ли эти рассуждения соответствовать чему-то для нас реальному. 44. Сверхгалактики. Действительно, мы только что видели, что размеры галактики некоторого порядка примерно в 10 миллионов раз больше размеров галактики порядка непосредственно предшествующего. Это почти такое же отношение, в каком находятся размеры земного шара и капли воды. Если мы представим себе, что капля воды населена разумными, как и мы, существами, но настолько же малыми, по сравнению с этой каплей, насколько мы малы по сравнению с Землей, то станем ли мы рассматривать как возможное и правдоподобное то, что эти обитатели капли воды составили себе достаточно точное представление о разнообразии минералов, растений, животных на поверхности Земли, не говоря уже о внутренности нашей планеты, о которой мы сами мало что знаем? И каковы должны быть наши выводы, если предположить, что операция перехода от галактики к галактике высшего порядка повторяется тысячу раз? Как уже сказано, наши допущения о соотношениях между галактиками различных порядков вполне произвольны, ибо они основаны только на грубых аналогиях. Но надо отдавать себе отчет в том, что в наших выводах ничто не изменилось бы и при том или ином видоизменении этих допущений. Действительно, надо отбросить как абсурдное то допущение, что плотность числа звезд нарастает по мере удаления от Земли; даже если считать эту плотность близкой к постоянной, мы сталкиваемся с непреодолимыми трудностями. Но даже выводы теории относительности о конечности вселенной не изменят наших выводов. Задолго до достижения чисел порядка величины Поэтому не только невообразимо, но и абсурдно допущение, что опыт, подобный опыту с дактилографирующими обезьянами 1191 или опыту Джинса, можно повторять Наконец, приведем любопытное следствие теории расширяющейся вселенной: часть вселенной, которая нам доступна зрительно, конечна, потому что расположенные за нею части удаляются от нас со скоростями, превышающими скорость света, и никакой сигнал оттуда никогда не сможет попасть к нам. Следовательно, если исходить из наших сведений, все происходит так, как если бы вселенная была конечной, а ее размеры едва превышали бы миллиард световых лет. В главе IX мы попробуем уточнить те выводы относительно понятий достоверности и вероятности, которые можно извлечь из этих замечаний. В ближайших двух главах мы будем изучать простые задачи, в связи с которыми в теорию вероятностей проникли понятия бесконечности и непрерывности.
|
1 |
Оглавление
|