Глава VII. ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПАРАДОКС

45. Формулировка парадокса. В XVIII веке наиболее выдающиеся французские вероятностники в переписке между Петербургом и Парижем сформулировали и подвергли углубленному изучению задачу, за которой закрепилось название «Петербургский парадокс».

Петр и Павел уговариваются сыграть ряд партий в орла и решку или в подобную же игру, в которой шансы обоих партнеров равны, на следующих условиях.

Если Петр выиграет первую партию, Павел выплачивает ему два франка и на этом игра прекращается. Если Петр проигрывает первую партию и выигрывает вторую, Павел выплачивает ему четыре франка и игра прекращается, если Петр проигрывает первых партий и выигрывает Павел выплачивает ему франков и игра прекращается. Задача состоит в том, чтобы определить, какова должна быть ставка Петра, то есть та сумма, которую он до начала игры должен выплатить Павлу в виде возмещения за взятые тем на себя обязательства.

Парадоксальным результатом является то, что эта ставка должна быть бесконечно большой, а это означает, что сколь бы ни была велика ставка Петра, игра для него выгодна, то есть Петр может до начала игры продать свои права за большую цену.

То вычисление, которое приводит к такому результату, весьма просто и кажется неуязвимым, Дело сводится к вычислению полного математического ожидания для Петра. Это полное математическое ожидание, очевидно, есть сумма математических ожиданий для каждой из возможностей, влекущих за собою выигрыш Петра, — ведь Петр, действительно, мог бы продать по отдельности различным покупателям каждое из этих математических ожиданий.

Итак, рассмотрим тот случай, когда Петр выигрывает партию после проигрыша им а? — 1 первых. Вероятность такого события равна действительно, такова

вероятность того, что партий будут выиграны, каждая тем или иным из игроков, в определенном заранее указанном порядке. По условиям игры в этом случае выигрыш Петра равен стало быть, математическое ожидание для Петра (произведение такой вероятности на величину возможного выигрыша) равно единице.

Такова та цена, за которую Петр мог бы продать покупателю, согласному заключить справедливую сделку, свои шансы на выигрыш партии после проигрыша всех предыдущих. А гак как это рассуждение верно для любого значения то полное математическое ожидание для Петра равно сумме бесконечного ряда, все члены которого равны единице, стало быть, оно бесконечно.

Тем не менее, надо думать, что ни один здравомыслящий и имеющий некоторый опыт в игре человек не согласился бы на месте Петра поставить и 100 франков против обязательств Павла (считаю, что единицей выбран франк). В этом и состоит «петербургский парадокс».

Среди теорий, вызванных этим парадоксом, одной из наиболее любопытных является теория морального ожидания, ныне оставленная, однако имеющая некоторые бесспорные психологические основания. Она исходит из замечания, что действительная выгода выигрыша для того или иного лица не пропорциональна этому выигрышу, а зависит от отношения выигрыша к состоянию выигравшего.

Например, тот, кто, обладая тысячью франков, выигрывает миллион, столь же рад этой удаче, как и тот, кто, обладая миллионом, выиграл бы миллиард. Но с полным основанием рассудили, что, каково бы ни было психологическое значение этого соображения, его нельзя учитывать при оценке математического ожидания, так как последнее имеет ценность как товар и может быть продано любому. Поэтому при установлении его цены нельзя исходить из того, каково состояние продавца или покупателя.

Можно занять другую позицию по отношению к петербургскому парадоксу — отрицать наличие парадокса и объявить корректным результат, полученный безупречным рассуждением.

Такую позицию занял Жозеф Бертран: он утверждает, что, какова бы ни была ставка Петра, тот может быть

уверен, что в конце концов он разбогатеет и разорит Павла. Разумеется, для этого требуется, чтобы от Петра в случае проигрыша не требовали уплаты наличными, — его надо кредитовать, и он, быть может, задолжает астрономическую сумму, превышающую стоимость массы золота объемом в Землю; но если у него хватит терпения, если он будет жить достаточно долго, либо если он завещает эту игру своим наследникам, то подсчет сулит ему обогащение, а подсчет никогда не подводит.

Мы сейчас уточним выводы из утверждений Жозефа Бертрана, и это позволит нам объяснить парадокс и опровергнуть сделанные из него выводы.

46. Объяснение парадокса. Как уже сказано, бесконечное значение, приписываемое математическому ожиданию для Петра, получается как сумма бесконечного числа слагаемых, равных единице, а каждое слагаемое является математическим ожиданием, которое могло бы быть предметом отдельной сделки, то есть быть проданным возможному покупателю за один франк. Так вот, мы покажем, что если Петр может надеяться на то, что покупателей на первые члены ряда легко будет найти, то на следующие члены ряда найти их будет сначала трудно, а затем невозможно.

Рассмотрим прежде случай явной невозможности, для чего достаточно взять равным 1000. Мы знаем, что

откуда получаем, что

Итак, Петр располагает определенной вероятностью выиграть сумму, равную 10300, и эта вероятность равна 10 300, так что математическое ожидание как раз равно единице. Но можно ли пустить это математическое ожидание в оборот? Как следует из вычислений предыдущей главы, сумма выигрыша оценивается стоимостью массы золота в объеме, значительно превышающем объем шара с центром в Солнце и радиусом, равным расстоянию от Солнца до ближайшей звезды. С другой стороны, чтобы иметь заметные шансы на получение такого выигрыша, надо было бы возобновлять игру каждую секунду в течение миллиардов веков в каждом из кубических сантиметров нашей вселенной. Предложение Бертрана уменьшить ставку и играть не на франк, а на

молекулу водорода, уменьшит всего лишь на несколько единиц показатель степени 300 и ничего не изменит в наших выводах.

Рассказывают, что игроки, тщательно следившие, в тщетной надежде победить случай, за появлением черного и красного в рулетке, ни разу не отметили серии одного цвега, превышавшей 23 или 24 выхода. Ни один из этих искушенных игроков не согласился бы купить у Петра его шансы, соответствующие 30-му члену ряда — шансы, состоящие в обязательстве Павла выплатить миллиард рублей, если произойдет событие, вероятность которого близка к одной миллиардной (так как 30-я степень числа 2 несколько больше 9-й степени числа 10). Это событие состоит в последовательности 29 выпадений решки, за которой следует выпадение орла, и оно как раз столь же невероятно, как выпадение решки 30 раз кряду.

Итак, мы приходим к выводу, что хотя математическое ожидание для Петра равно сумме бесконечного ряда, все члены которого равны единице, в действительности только первые члены этого ряда могут быть предметом сделки, ценность же следующих членов быстро становится строго равной нулю, так как они представляют совершенно иллюзорное математическое ожидание получения суммы столь огромной, что ее нельзя было бы выплатить.

Таково весьма простое разрешение петербургского парадокса. Мы постараемся уточнить его в следующей главе, где будет затронут вопрос о возможно более точном определении того предела, начиная с которого членами ряда надо действительно пренебречь.

Мы отсылаем также к заметке в конце книги: «Петербургская игра на квит», в которой рассматриваются некоторые свойства математического ожидания, имеющие отношение к этому парадоксу.