1.2.3. ОСВЕЩЕННОСТЬ, СОЗДАВАЕМАЯ ТОЧЕЧНЫМИ И ПРОТЯЖЕННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ

Пусть точечный источник с индикатрисой  размещен в точке  и освещает элементарную площадку , координаты которой  (рис.1.2.2). Угловую ориентацию индикатрисы излучения и площадки определяют единичные векторы  и . Освещенность элементарной площадки  по определению равна , где  – элементарный лучистый поток в направлении . Величина  определяется через силу света в данном направлении .

Рис. 1.2.2. Схема определения освещенности от точечного источника

Телесный угол , в пределах которого распространяется поток излучения , равен , где  – угол между нормалью к площадке  и направлением на источник излучения;  – расстояние от источника излучения до облучаемой площадки.

После подстановок и преобразований для освещенности  получим формулу

,               (1.2.12)

которая носит название закона обратных квадратов расстояний. Полученная формула (1.2.12) по форме совпадает с известной формулой для освещенности от точечных источников. Отличие ее заключается в учете индикатрисы излучения.

Для практических расчетов (1.2.12) требует конкретизации. Вектор , определяющий направление на источник излучения

, ,

где  – орты соответствующих координатных осей .

Единичный вектор  и  вычисляются по формулам ; , а вычисление параметра  производится следующим образом: ; , где  - знак скалярного произведения векторов. В программе расчета должна предусматриваться проверка неотрицательности .

Рассмотрим освещенность, создаваемую протяженным источником, площадь которого равна , а поверхностная яркость – . Для анализа разместим освещаемый элемент в центре координатной системы так, чтобы нормаль к элементу совпадала с вертикальной осью координат, и сформируем условную полусферу единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 1.2.3).

Рис. 1.2.3. Схема определения освещенности от протяженного источника

Освещенность в точке , создаваемая элементом , будет определяться по формуле

,                (1.2.13)

где  и  – косинусы углов для элемента ;  – расстояние между элементом  и точкой .

Полная освещенность в точке  от всей поверхности  в соответствии с (1.2.13) может быть вычислена двумя путями:

;             (1.2.14)

.                      (1.2.15)

В большинстве случаев получить аналитические формулы для  не удается [15], и вычисление должно производиться численными методами даже при постоянной яркости  по всей светящейся поверхности.

В частности, можно разделить всю светящуюся поверхность на отдельные участки, которые можно заменить точечными источниками, затем найти освещенность суммированием:

,

где  – число участков протяженного источника излучения.

В ряде случаев весьма удобным является использование формулы (1.2.15). Если яркость  всей поверхности источника одинакова, то

,                  (1.2.16)

где  – проекция на освещаемую плоскость участка сферической поверхности единичного радиуса, вырезаемого телесным углом , который характеризует размеры источника.

Формула (1.2.1.6) позволяет получать в ряде ситуаций простые аналитические формулы. Например, требуется рассчитать освещенность горизонтальной площадки, создаваемую свечением купола с постоянной яркостью . В этом случае , а освещенность .