3.1. Моделирование марковских случайных процессов

Случайная величина позволяет представить поведение изменяющегося случайным образом сигнала в определенный момент времени. Однако при проектировании целого ряда систем связи важно учитывать изменение случайных сигналов не только по уровню, но и во времени. В качестве моделей случайных сигналов и помех, позволяющих отразить их динамические характеристики, используются случайные процессы (СП), представляющие собой случайные функции времени. При этом конкретный вид, который принимает СП в отдельном эксперименте, называется реализацией СП [4, 6].

Во многих радиотехнических приложениях СВ  связаны со значениями непрерывного процесса   в моменты времени , т. е. . В этом случае упорядоченная система непрерывных СВ  (рис. 3.1) называется случайной последовательностью, которую можно также интерпретировать как реализацию СП в данном опыте [5].

Простейшее вероятностное описание СП соответствует независимым СВ , тогда совместная ПРВ . Однако последовательность независимых СB представляет собой ММ довольно узкого класса реальных процессов. Действительно, с помощью СП с независимыми значениями невозможно дать описание «гладких», коррелированных помех или медленно изменяющихся параметров полезных сигналов, например, координат радиолокационных целей. Поэтому во многих задачах необходимо использовать модели СП с зависимыми значениями. В общем случае совместная ПРВ таких СП определяется по формуле

Математические трудности применения этой формулы для вероятностных расчетов быстро нарастают с увеличением  . В связи с этим необходимо из всех возможных СП с зависимыми значениями выделить класс СП, имеющих относительно простое математическое описание. Очевидно, наиболее простые соотношения для ПРВ получатся, если положить

.                                  (3.1)

Это равенство означает, что условная ПРВ и, следовательно, любые другие вероятностные характеристики СП для момента времени  являются функциями только значения , принятого СП в предшествующий момент времени. Случайные последовательности, удовлетворяющие (3.1), называются марковскими по имени  русского математика А.А. Маркова, разработавшего основы теории таких СП. Марковская последовательность называется однородной, если условные ПРВ  , называемые ПРВ перехода, не зависят от . Марковская последовательность называется стационарной, если она однородна и все состояния  имеют одну и ту же безусловную ПРВ . При моделировании марковских СП для формирования на ЭВМ случайных чисел с заданным законом распределения могут быть использованы методы, рассмотренные выше.

В более общем случае рассматриваются -связные марковские процессы, т. е.  взаимосвязанных между собой процессов , в совокупности обладающих марковскими свойствами [1, 4, 11]. Эти процессы характеризуются условной ПРВ перехода, которая имеет вид:

.

Моделирование -связных марковских процессов по заданной условной ПРВ перехода в принципе не отличается от моделирования рассмотренных выше одномерных (простейших) марковских процессов, однако получение -связных  дискретных реализаций с ростом  усложняется.

Другим обобщением одномерных марковских процессов являются одномерные марковские процессы -го порядка, отличающиеся от простейших марковских процессов тем, что ПРВ перехода в очередное состояние зависит не от одного, а от  предшествующих состояний.  Стохастическое уравнение  при соответствующих начальных условиях порождает марковский процесс -го порядка, который можно рассматривать как компоненту -связного марковского процесса, поэтому моделирование марковских процессов -го порядка может быть сведено к моделированию -связных марковских процессов.

Выше шла речь о моделировании марковских процессов общего вида: на характеристики процессов не накладывалось других ограничений, кроме указанных выше. Распространенными являются марковские процессы, которые удовлетворяют дополнительным условиям, чаще всего, условию нормальности распределения, стационарности (однородности), а также условию нормальности и стационарности одновременно. В этих случаях моделирование марковских процессов упрощается.

Действительно, у стационарных марковских СП ПРВ перехода вида

зависит лишь от разности . Это упрощает процесс моделирования (в особенности для одномерных марковских процессов), так как уменьшается число аргументов функции , которую требуется хранить в памяти ЭВМ при моделировании.

Как уже отмечалось, наиболее полное описание стационарных СП дает многомерная ПРВ. Однако этот подход требует большого количества информации. Для описания негауссовских СП используются различные преобразования гауссовских процессов и марковские процессы. Реальные СП можно с требуемой точностью аппроксимировать многомерными марковскими процессами [44]. Действительно [1, 38], любой СП, спектральная плотность которого является дробно-рациональной функцией частоты, является компонентой многомерного марковского процесса.