5.3.1. Система массового обслуживания с отказами. Уравнения Эрланга

Рассмотрим -канальную СМО с отказами как физическую систему  с конечным множеством состояний [6]:

 - свободны все каналы;

 - занят ровно один канал;

. . .  - занято ровно  каналов . . .

 - заняты все  каналов.

Определим вероятности состояний системы   для любого момента времени   при следующих допущениях:

1) поток заявок – простейший, с плотностью ;

2) время обслуживания   имеет показательный закон распределения с параметром :   .

Рассмотрим возможные состояния  системы и их вероятности .  Очевидно, для любого момента времени   .

Составим ДУ для всех вероятностей , начиная с .  Вначале зафиксируем момент времени  и найдем вероятность  того, что в момент  система будет находиться в состоянии  (все каналы свободны).  Переход в состояние  определяется двумя событиями (рис. 5.10):

 – в момент  система находилась в состоянии , а за время  не перешла из нее в  (не пришло ни одной заявки);

 – в момент  система находилась в состоянии , а за время  канал освободился, и система перешла в состояние .

Рис. 5.10. Диаграмма возможных переходов в состояние

Возможностью «перескока» системы через состояние (например, из  в  через ) за малый промежуток времени  можно пренебречь, как величиной высшего порядка малости по сравнению с  и . По теореме сложения вероятностей имеем:  .

Найдем вероятность события  по теореме умножения. Вероятность того, что в момент  система была в состоянии , равна . Вероятность того, что за время  не придет ни одной заявки, равна .  С точностью до величин высшего порядка малости  при  имеем . Следовательно,  вероятность события  равна .

Найдем вероятность события . Вероятность того, что в момент  система была в состоянии , равна .  Вероятность того, что за время  канал освободится, равна ;  при малых :  . Следовательно, искомая вероятность .

Отсюда .

Перенося в левую часть, деля на  и переходя к пределу при , получим ДУ для :

.                                           (5.25)

Аналогичные ДУ могут быть составлены и для других вероятностей состояний.

Возьмем любое  и найдем вероятность  того, что в момент  система будет в состоянии . Эта вероятность вычисляется как вероятность суммы трех событий (рис. 5.11):

 – в момент  система была в состоянии  (занято  каналов), а за время  не перешла из него ни в , ни в  (ни одна заявка не поступила, ни один канал не освободился);

 – в момент  система была в состоянии  (занято  каналов), а за время  перешла в  (пришла одна заявка);

 - в момент  система была в состоянии  (занято  каналов), а за время  перешла в  (один из каналов освободился).

Рис. 5.11. Диаграмма возможных переходов в состояние

Найдем вероятность .  Для этого сначала вычислим вероятность того, что за время  не придет ни одна заявка и не освободится ни один из каналов: . При :  ,  откуда . Аналогично получаем ,  , откуда имеем

.

Выполнив предельный переход, получаем ДУ для :

.                      (5.26)

Составим уравнение для последней вероятности  (рис. 5.12).  Имеем 

,

где  ,  при   - вероятность того, что за время  не освободился ни один канал;   - вероятность того, что за время  придет одна заявка. 

Рис. 5.12. Диаграмма возможных переходов в состояние

Таким образом,  ДУ для  имеет следующий вид:

.                                             (5.27)

В итоге получена система ДУ для вероятностей :

              (5.28)

Уравнения (5.28) называются уравнениями Эрланга.  Интегрирование системы уравнений (5.28) при начальных условиях    (в начальный момент все каналы свободны)  дает зависимость  для любого . Вероятности  характеризуют среднюю нагрузку в СМО и ее изменение с течением времени. В частности,  есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент , застанет все каналы занятыми (получит отказ):  .

Зачастую в целях удобства используют величину , называемую относительной пропускной способностью системы. Для данного момента  это есть отношение среднего числа обслуженных за единицу времени заявок к среднему числу поданных.