4.1.2. Авторегрессионные модели случайных полей

Рассмотрим  линейную гауссовскую АР модель

,                                                  (4.6)

где применена многомерная развертка сетки W. Здесь  – весовые коэффициенты; ;  – локальное состояние;  – система стандартных гауссовских СВ. Одним из первых подобную модель применительно к оценке плоских изображений исследовал Хабиби  [20]:

.             (4.7)

При этом первый элемент поля формируется как ;

первый столбец  ;

первая строка  .

Схема вычислений для этой модели представлена на рис. 4.4, а. Порождаемое поле имеет разделимую экспоненциальную КФ

.                                       (4.8)

Перепишем (4.7) в виде

,

где  ,  - операторы сдвига вдоль соответствующих направлений.

Для -мерного случая будем иметь

                                   (4.9)

или  ,  где .

Порождаемое поле является анизотропным и имеет множительную КФ

.

На основе модели (4.7) разработано большое количество алгоритмов фильтрации случайных полей. Однако она, как и ее многомерный вариант (4.9), имеет существенный недостаток – множительность (факторизуемость) КФ. В двумерном случае элементы поля, одинаково коррелированные с элементом , расположены на ромбе с центром в , а в многомерном случае – на ромбоиде, хотя более естественными сечениями КФ для реальных полей были бы эллипс и эллипсоид (рис. 4.5). Для частичного скругления сечений КФ можно отказаться от частного вида весовых коэффициентов (4.9), а также расширить область локальных состояний. Однако такое расширение приводит к резкому увеличению числа слагаемых в  (4.6).

Существенного скругления сечений КФ случайного поля позволяют достичь модели с кратными корнями характеристических уравнений одномерных АР моделей [45]. Решим сначала эту задачу для одномерной модели, для чего рассмотрим одномерную авторегрессию длины :

            .                                              (4.10)

Здесь  – гауссовская последовательность независимых компонент с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . Решение задачи синтеза будет заключаться в том, чтобы по заданным  – корню характеристического уравнения,  – его кратности и  – требуемой дисперсии поля определить неизвестные коэффициенты авторегрессии .

Модели (4.6) и её частному случаю (4.10) соответствует пространственный линейный фильтр с передаточной функцией

,                                                  (4.11)

где . При этом спектральная плотность случайного поля  записывается следующим образом:

.

КФ поля  может быть найдена с помощью обратного ‑преобразования спектральной плотности:

                                       (4.12)

где  – единичная полиокружность в многомерном комплексном пространстве.

В случае с кратными корнями уравнение (4.10) можно записать в операторной форме следующим образом:

            , (4.13)

где  – оператор сдвига. Учитывая, что действие оператора сдвига на -й элемент последовательности определяется как , перепишем (4.13) в явном виде:

            .     (4.14)

Сравнение (4.13) и (4.14) дает возможность записать выражение для коэффициентов :

            .                              (4.15)

Значение неизвестного параметра , являющегося коэффициентом усиления в передаточной функции (4.11), должно выбираться так, чтобы фильтр был устойчив. Далее будет показано, как можно определить  на основе КФ модели.

Одной из задач статистического анализа модели, является получение ее КФ [45]. Найдем вначале нормированную КФ, т. е. будем полагать . Для решения этой задачи воспользуемся формулой (4.12), записанной для одномерного случая

.

Так как подынтегральная функция имеет в точке  полюс порядка , то интеграл представляет собой коэффициент  ее разложения в ряд Лорана, и поэтому может быть найден с использованием методов теории вычетов

Используя правила дифференцирования произведения функций, после предельного перехода получаем

,                                    (4.16)

где

            ,                     (4.17)

а коэффициент  находится из условия :

            .                                                   (4.18)

Формулы (4.16)-(4.18) дают, при заданных  и , общий вид нормированной КФ одномерной модели (4.10). Для того чтобы получить КФ при не равных единице дисперсиях  и , необходимо домножить правую часть (4.18) на . Тем самым, получаем выражение для коэффициента :

            .                                           (4.19)

Формулы (4.15) и (4.19) полностью определяют неизвестные коэффициенты одномерной АР модели (4.10) с кратными корнями характеристических уравнений [45].

Рассмотрим теперь случай  измерений. Модель случайного поля, при заданной дисперсии , полностью определяется вектором параметров  и вектором кратностей  характеристических корней.

Пусть многомерное разделимое случайное поле порождается следующими АР уравнениями, записанными в операторной форме:

            ,                                  (4.20)

где  – размерность поля;  и  – параметр и кратность корней модели вдоль -й оси;  – сетка, на которой определено поле .

Определим коэффициенты авторегрессии для многомерной модели с кратными корнями. Для этого раскроем в (4.20) скобки:

,                                     

.                                            (4.21)

Шаблон коэффициентов модели  определен на -мерном параллелепипеде размера . Из (4.20) и (4.21) следует, что коэффициенты  являются произведениями соответствующих коэффициентов  одномерных авторегрессий вдоль -й оси:

            ,                                                           (4.22)

где . Коэффициент  многомерной модели (4.21) находится аналогично:

            ,                                                           (4.23)

где  – соответствующий нормированный одномерный коэффициент.

Таким образом, выражение (4.21) дает общий вид АР модели многомерного разделимого гауссовского случайного поля, а формулы (4.22) и (4.23) полностью определяют ее коэффициенты, т. е. задача синтеза модели решена. КФ модели (4.21), как уже отмечалось, является произведением КФ соответствующих одномерных авторегрессий:

            .                                                (4.24)

Для того чтобы корни характеристического уравнения были действительными, необходимо, чтобы параметр  выбирался из диапазона от нуля до единицы. Чем больше значение , тем более крупные детали появляются на моделируемом изображении, т. е. этот параметр характеризует величину связи между соседними элементами.

Рассмотрим некоторые примеры. Хорошо изученная трехточечная модель Хабиби (4.7) является частным случаем 2‑мерной модели (4.21) кратности (1,1), причем значение параметра  задает коэффициент корреляции соседних элементов. Легко видеть, что ее КФ, вычисленная по формулам (4.16), (4.24), совпадает с (4.8):

.

Для 2‑мерной модели кратности (2,2) КФ записывается более сложно [45]:

.

Анализ приведенных результатов показывает, что, варьируя параметры связи и соотношения кратностей, можно получить широкий спектр разнотипных текстур, на основе которых возможно построение комплексных моделей многозональных изображений, причем, с ростом кратности корней, случайное поле приближается по свойствам к изотропному. Это подтверждается также видом сечений равного уровня КФ, приведенных на рис. 4.5.

Полезный во многих приложениях вариант модели многомерного случайного поля можно получить, взяв за основу одномерную авторегрессию с кратными корнями. Пусть необходимо сформировать реализации ‑мерного случайного поля  заданного на сетке . Это можно сделать следующим образом: вначале моделируется  одномерных АР последовательностей  на основе модели с кратными корнями (4.14) ( – вектор кратностей вдоль соответствующих осей). Далее, элемент  поля  получается перемножением соответствующих элементов одномерных последовательностей:

            .                                  (4.25)

Найдем КФ данной модели, для чего умножим (4.25) на  и найдем

            .                               

Здесь  – КФ (4.16) одномерной АР модели вдоль -й оси. Таким образом, данная модель является разделимой моделью случайного поля, причем ее КФ совпадает с КФ -мерной АР модели с кратными корнями. Закон распределения вероятностей такого случайного поля оказывается негауссовским и, в общем случае , достаточно сложным. Вместе с тем, рассмотренная модель отличается простотой и очень малыми вычислительными затратами. Действительно, даже для простейшего случая  одномерная ПРВ случайного поля находится как ПРВ произведения двух гауссовских СВ в виде [38]:

            ,                                                     

где  – модифицированная функция Бесселя третьего рода нулевого порядка.

Проведем оценку вычислительной сложности предложенной модели. Для получения реализации -мерного СП, определенного на сетке размером  элементов, требуется  операций умножения.