5.3.4. Система смешанного типа с ограничением по длине очереди

В п. 5.2.3 была рассмотрена СМО с ограничением по времени пребывания в очереди. Здесь мы рассмотрим -канальную систему смешанного типа с другим видом ограничения ожидания - по числу заявок, стоящих в очереди (буфер имеет конечную длину ). Предположим, что заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь, только если в ней находится менее  заявок; если же число заявок в очереди равно  (больше  оно быть не может), то последняя прибывшая заявка в очередь не становится и покидает систему необслуженной. Остальные допущения - о простейшем потоке заявок и о показательном распределении  времени  обслуживания - оставим прежними.

Составим ДУ для вероятностей состояний системы. Заметим, что в данном случае число состояний системы будет конечно, так как общее число заявок, связанных с системой, не может превышать  ( обслуживаемых и  стоящих в очереди).

Возможны следующие состояния системы:

 - все каналы свободны, очереди нет;

 - занят один канал, очереди нет;

………………………..

 - занято  каналов, очереди нет;

………………………..

 - занято  каналов, очереди нет;

 - заняты все  каналов, очереди нет;

 - заняты все  каналов, одна заявка стоит в очереди;

…………………………..

 - заняты  все  каналов,  заявок стоят в очереди.

Очевидно, первые  уравнений для вероятностей  будут совпадать с уравнениями Эрланга (5.29). Выведем остальные уравнения. Имеем

,

откуда

.

Далее выведем уравнение для 

,

откуда

.                       (5.58)

Последнее уравнение будет иметь вид

.                                          (5.59)

Таким образом, получена система  ДУ:

                      (5.60)

Рассмотрим предельный случай при . Приравнивая все производные нулю, а все вероятности считая постоянными, получим систему алгебраических уравнений:

                                     (5.61)

и добавочное условие:

.                                                                            (5.62)

Уравнения (5.61) могут быть решены аналогично (5.41). Не останавливаясь на этом решении, приведем только окончательные формулы:

,                                     (5.63)

.                                  (5.64)

Вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной, равна вероятности  того, что в очереди уже стоят  заявок. Нетрудно заметить, что формулы (5.63) и (5.64) получаются из формул (5.50), (5.51), если положить в них  и ограничить суммирование по  верхней границей .

Пример 5.3. На телефонную станцию поступает простейший поток заявок с плотностью  (вызовов в минуту). Имеется один обслуживающий сервер. В буфере могут одновременно находиться, ожидая очереди,  не  более  трех заявок.  Среднее  время разговора составляет  [минуты]. Определить: а) пропускную способность системы; б) среднее время простоя станции; в) определить, насколько  изменятся  эти  характеристики, если добавить второй обслуживающий сервер.

Решение. Имеем: .

а) по формуле (5.64), полагая , находим вероятность того, что пришедшая заявка покинет систему необслуженной:

.

Относительная пропускная способность системы  . Абсолютная пропускная способность:  [заявок в минуту].

б) среднюю долю времени, которое система будет простаивать, найдем по формуле (5.63): .

в) полагая , найдем: .

При этом  (т. е. будет удовлетворяться около 98%  всех заявок) и  [заявок в минуту]. Относительное время простоя: , т. е. оборудование будет простаивать полностью около 34% всего времени.