5.2.3. Виды самоподобных случайных последовательностей

Простым примером самоподобных случайных последовательностей может служить случайное движение точки, начиная с некоторого момента времени , когда она находилась в нуле. В каждый последующий момент времени  ее координата меняется на произвольную случайную добавку . Тогда модель движения можно описать как

,

т. е. текущая координата определяется на основе предыдущей плюс случайное смещение. Если СВ  подчиняется нормальному закону распределения

с нулевым математическим ожиданием и дисперсией , то формируемый процесс  будет представлять собой броуновское движение частицы (стохастический винеровский процесс).

Рассмотрим координату частицы  в момент времени . Величина  будет состоять из случайных добавок ,  в предшествующие моменты времени, т. е.

.

Следовательно, математическое ожидание координаты частицы

,

а дисперсия

.

Таким образом, при  математическое ожидание СВ  равно нулю, а дисперсия стремится к бесконечности. Кроме того, для любых двух моментов времени  и , дисперсия разности .

Так как процесс  представляет собой суммы гауссовских СВ и имеет известную дисперсию для каждого момента времени , то можно записать ПРВ данной величины в виде

,

где  - координата или приращение координаты броуновской частицы (т. к. данный процесс в момент времени  равен нулю);  - интервал времени наблюдения.

Для того чтобы процесс  обладал свойством самоподобия, т. е. являлся фракталом, достаточно значение дисперсии  заменить на , где  - параметр Херста. Такая замена приводит к тому, что отсчеты стохастического броуновского движения становятся коррелированными между собой, т. е. . Следовательно, можно записать, что

.

Следовательно, корреляция приращений  и  может быть определена следующим выражением

В дискретном случае, когда величины  и  заменяются на  и  соответственно, получаем следующую КФ для приращений фрактального броуновского движения

.                                     (5.15)

Последовательность случайных приращений с данной КФ называется фрактальным гауссовским шумом [25]. Причем коэффициент корреляции  при  и определяет долговременную зависимость между отсчетами СП. КФ  отличается от гауссовских  и экспоненциальных  тем, что предполагает спад в корреляции при увеличении  заметно более медленный, что согласуется с результатами наблюдений интенсивностей в реальных трафиках с пакетной коммутацией. Кроме того, она полностью описывается только двумя параметрами – дисперсией и показателем .

Одной из характеристик самоподобия является величина выбросов процесса. Для самоподобных процессов характер выбросов сохраняется при рассмотрении процесса в различных масштабах времени. Это означает, что если вы будете записывать нагрузку на каком-либо элементе сети с дискретностью, например, 10 миллисекунд, то, рассматривая график изменения нагрузки во времени на интервалах 10 секунд, 10 минут или 10 часов, вы не заметите существенных различий в поведении кривой. В этом смысле самоподобие графиков может быть охарактеризовано соотношением

,

где   -  коэффициент самоподобия непрерывных процессов.