Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
1.5. Теорема
Котельникова
В
1933 году В.А. Котельниковым доказана теорема отсчетов [6, 32], имеющая важное
значение в теории связи: непрерывный сигнал
с ограниченным спектром можно точно
восстановить (интерполировать) по его отсчетам
, взятым через интервалы
, где
– верхняя частота
спектра сигнала.
В
соответствии с этой теоремой сигнал
можно представить рядом Котельникова [6,
32]:
.
|
(1.21)
|
Таким
образом, сигнал
,
можно абсолютно точно представить с помощью последовательности отсчетов
, заданных в
дискретных точках
(рис.1.16).
Функции
|
(1.22)
|
образуют
ортогональный базис в пространстве сигналов, характеризующихся ограниченным
спектром:
при .
|
(1.23)
|
Обычно
для реальных сигналов можно указать диапазон частот, в пределах которого
сосредоточена основная часть его энергии и которым определяется ширина спектра
сигнала. В ряде случаев спектр сознательно сокращают. Это обусловлено тем, что
аппаратура и линия связи должны иметь минимальную полосу частот. Сокращение
спектра выполняют, исходя из допустимых искажений сигнала. Например, при
телефонной связи хорошая разборчивость речи и узнаваемость абонента
обеспечиваются при передаче сигналов в полосе частот
. Увеличение
приводит к
неоправданному усложнению аппаратуры и повышению затрат. Для передачи
телевизионного изображения при стандарте в 625 строк полоса частот, занимаемая
сигналом, составляет около 6 МГц.
Из
вышесказанного следует, что процессы с ограниченными спектрами могут служить адекватными
математическими моделями многих реальных сигналов.
Функция
вида
называется
функцией отсчетов (рис.1.17).
Она
характеризуется следующими свойствами. Если
, функция отсчетов имеет максимальное
значение при
,
а в моменты времени
(
) она обращается в
нуль; ширина главного лепестка функции отсчетов на нулевом уровне равна
, поэтому минимальная
длительность импульса, который может существовать на выходе линейной системы с
полосой пропускания
,
равна
; функции
отсчетов ортогональны на бесконечном интервале времени.
На
основании теоремы Котельникова может быть предложен следующий способ дискретной
передачи непрерывных сигналов:
Для
передачи непрерывного сигнала
по каналу связи с полосой пропускания
определим мгновенные
значения сигнала
в
дискретные моменты времени
, (
). После этого передадим эти значения по
каналу связи каким - либо из возможных способов и восстановим на приемной стороне
переданные отсчеты. Для преобразования потока импульсных отсчетов в непрерывную
функцию пропустим их через идеальный ФНЧ с граничной частотой
.
Можно
показать, что энергия сигнала находится по формуле [6, 32]:
.
|
(1.24)
|
Для
сигнала, ограниченного во времени, выражение (1.24) преобразуется к виду:
.
|
(1.25)
|
Выражение
(1.25) широко применяется в теории помехоустойчивого приема сигналов, но
является приближенным, т.к. сигналы не могут быть одновременно ограничены по
частоте и времени.